【例题】已知正比例函数$y= kx和反比例函数y= \frac{3}{x}的图象都过点A(m,1)$,求此正比例函数的表达式及另一个交点的坐标.
【思路点拨】点$A(m,1)同时满足y= kx和y= \frac{3}{x}$,所以代入$y= \frac{3}{x}可求出m$的值,进而求出点$A$坐标,这样就可求出$y= kx中k$的值了.
【解答】______
【学法点睛】确定函数表达式的方法是待定系数法,所以只要先通过$y= \frac{3}{x}求出点A$,再代入正比例函数表达式即可.

正比例函数的表达式为 $y = \frac{1}{3}x$，另一个交点的坐标为 $(-3, -1)$。

1. 由于反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象过点 $A(m,1)$，代入点 $A$ 的坐标得到：
$1 = \frac{3}{m}$
解得 $m = 3$，所以点 $A$ 的坐标为 $A(3,1)$。
2. 正比例函数 $y = kx$ 的图象也过点 $A(3,1)$，代入点 $A$ 的坐标得到：
$1 = 3k$
解得 $k = \frac{1}{3}$，所以正比例函数的表达式为 $y = \frac{1}{3}x$。
3. 联立正比例函数 $y = \frac{1}{3}x$ 和反比例函数 $y = \frac{3}{x}$，得到方程组：
$\begin{cases} y = \frac{1}{3}x \\ y = \frac{3}{x} \end{cases}$
解此方程组，得到：
$\frac{1}{3}x = \frac{3}{x}$
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$
当 $x = 3$ 时，$y = 1$，即点 $A(3,1)$；
当 $x = -3$ 时，$y = -1$，即点 $(-3, -1)$。
所以另一个交点的坐标为 $(-3, -1)$。

1. 下列函数中,当$x＞0$时,$y随x$的增大而减小的是()
A.$y= 3x+4$
B.$y= \frac{1}{2x}$
C.$y= -\frac{4}{x}$
D.$y= \frac{1}{3}x-2$

B

对于选项A，函数$y=3x+4$是一次函数，其斜率为正，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，不符合题意；
对于选项B，函数$y=\frac{1}{2x}$是反比例函数，其系数为正，根据反比例函数的性质，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，符合题意；
对于选项C，函数$y=-\frac{4}{x}$是反比例函数，但其系数为负，根据反比例函数的性质，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，不符合题意；
对于选项D，函数$y=\frac{1}{3}x-2$是一次函数，其斜率为正，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，不符合题意。
综上所述，只有选项B符合题目要求。

2. 点$P是x$轴上除原点外的一个动点,过点$P作x轴的垂线交双曲线于Q$点,连接$OQ$,当点$P在x$轴上运动时,$Rt\triangle POQ$的面积()
A.逐渐减小
B.逐渐增大
C.保持不变
D.无法确定

C

设双曲线的方程为$y = \frac{k}{x}$ (其中$k \neq 0$)，点$P$的坐标为$(x, 0)$，由于$PQ$垂直于$x$轴交双曲线于$Q$点，因此$Q$点的横坐标也为$x$，代入双曲线方程得$Q$点的纵坐标为$\frac{k}{x}$。
$Rt\triangle POQ$的底为$OP$，长度为$|x|$，高为$PQ$，长度为$\left|\frac{k}{x}\right|$。
三角形面积$S = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × |x| × \left|\frac{k}{x}\right| = \frac{1}{2}|k|$。
由于$k$是常数，所以$S$也保持不变。

3. 在反比例函数$y= \frac{k-3}{x}$的图象中,当$x＞0$时,$y随x$的增大而增大,则$k$的取值范围是()
A.$k＜3$
B.$k\leqslant 3$
C.$k＞3$
D.$k\geqslant 3$

1. 对于反比例函数$y = \frac{a}{x}$（$a$为常数，$a\neq0$），当$a\gt0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$a\lt0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
2. 已知反比例函数$y=\frac{k - 3}{x}$，当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$k - 3\lt0$。
3. 解不等式$k - 3\lt0$，可得$k\lt3$。
答案选A。

4. 已知反比例函数$y= (2-a)x^{a^{2}-5}$,在每个象限内$y随x$的增大而.

1. 由反比例函数定义知，指数$a^2 - 5 = -1$，解得$a^2 = 4$，$a = \pm 2$；
2. 系数$2 - a \neq 0$，即$a \neq 2$，故$a = -2$；
3. 此时系数$2 - a = 4$，函数为$y = \frac{4}{x}$，$k = 4 ＞ 0$；
4. 在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
减小

5. 过反比例函数$y= \frac{k}{x}$的图象上一点,作$x$轴的垂线,连接这点和原点得到的三角形面积为$\frac{3}{2}$,则函数表达式为.

由于选项未给出，这里直接写表达式，故填$y = \frac{3}{x}$或$y = -\frac{3}{x}$。

设反比例函数为$y = \frac{k}{x}$，在图象上取一点$P(x, \frac{k}{x})$，
过点$P$作$x$轴的垂线交$x$轴于点$Q$，则$Q$的坐标为$(x, 0)$。
连接$OP$，则三角形$OPQ$的面积为：
$S_{\bigtriangleup OPQ} = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × |x| × \left|\frac{k}{x}\right| = \frac{1}{2}|k|$，
根据题意，有：
$\frac{1}{2}|k| = \frac{3}{2}$，
解得：
$|k| = 3$，
所以$k = \pm 3$，
因此，反比例函数的表达式为：
$y = \frac{3}{x}$或$y = -\frac{3}{x}$。