7. 规律探索:
如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= b,BC= a,AB= c.
(1)填空:
$\sin A$=,$\cos B$=,$\sin B$=,$\cos A$=.
(2)由(1)中你发现的规律,可得到:
$\sin A= \cos($$)$,
$\cos A= \sin($$)$.
(3)根据(1)(2)探索的规律,解答下列问题:
①$\sin\alpha=\cos43^{\circ}$,则$\alpha$=;
②在△ABC中,已知$\sin A= \frac{1}{3}$,且∠A+∠B= 90°,求$\cos B$的值.

(1)$\frac{a}{c}$；$\frac{a}{c}$；$\frac{b}{c}$；$\frac{b}{c}$
(2)$B$；$B$
(3)①$47^{\circ}$；②$\frac{1}{3}$

(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据正弦和余弦的定义：
正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值。
对于$\angle A$，其对边是$BC = a$，邻边是$AC = b$，斜边是$AB = c$，所以$\sin A=\frac{a}{c}$；
对于$\angle B$，其对边是$AC = b$，邻边是$BC = a$，斜边是$AB = c$，所以$\sin B=\frac{b}{c}$，$\cos B=\frac{a}{c}$；
对于$\angle A$，邻边是$AC = b$，所以$\cos A=\frac{b}{c}$。
(2)由(1)可知$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos B=\frac{a}{c}$，所以$\sin A = \cos B$；
又因为$\cos A=\frac{b}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，所以$\cos A = \sin B$。
即$\sin A=\cos(90^{\circ}-A)$，$\cos A=\sin(90^{\circ}-A)$。
(3)①因为$\sin A=\cos(90^{\circ}-A)$，已知$\sin\alpha=\cos43^{\circ}$，所以$\alpha = 90^{\circ}-43^{\circ}=47^{\circ}$。
②因为在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，根据$\cos A=\sin(90^{\circ}-A)$，则$\cos B=\sin A$。
已知$\sin A=\frac{1}{3}$，所以$\cos B=\frac{1}{3}$。

8. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,$\tan B= \cos\angle DAC$.
(1)求证:AC= BD;
(2)若$\sin C= \frac{12}{13}$,BC= 12,求AD的长.

(1) 证明过程如上述；
(2) 8

(1) 证明：在$Rt\triangle ABD$中，$\tan B = \frac{AD}{BD}$；在$Rt\triangle ADC$中，$\tan \angle DAC = \frac{DC}{AD}$，$\cos\angle DAC = \frac{AD}{AC}$。
因为$\tan B = \cos\angle DAC$，所以$\frac{AD}{BD} = \frac{AD}{AC}$，则$AC = BD$。
(2) 在$Rt\triangle ADC$中，$\sin C = \frac{12}{13}$，设$AD = 12x$，则$AC = 13x$，$DC = \sqrt{(13x)^{2} - (12x)^{2}} = 5x$。
由(1)知$AC = BD$，即$BD = 13x$，又$BC = BD + DC = 12$，所以$13x + 5x = 12$，解得$x = \frac{2}{3}$。
所以$AD = 12x = 12×\frac{2}{3} = 8$。