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14. 设a,b是一元二次方程$x^{2}+2x-7= 0$的两个根,则$a^{2}+3a+b=$
5
.答案
5
解析
由于$a$和$b$是一元二次方程$x^{2}+2x-7=0$的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$a+b=-2$（因为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根之和为$-\frac{b}{a}$，此处$a=1, b=2$）
$ab=-7$（因为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根之积为$\frac{c}{a}$，此处$c=-7$）
同时，由于$a$是方程的一个根，所以代入方程有：
$a^{2}+2a-7=0$
从上式我们可以得到：
$a^{2}+2a=7$
接下来，我们要求$a^{2}+3a+b$的值，根据上面的关系式，我们可以将其转化为：
$a^{2}+3a+b = a^{2}+2a+a+b$
$= 7+a+b$
$= 7-2$（因为$a+b=-2$）
$= 5$
$a+b=-2$（因为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根之和为$-\frac{b}{a}$，此处$a=1, b=2$）
$ab=-7$（因为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根之积为$\frac{c}{a}$，此处$c=-7$）
同时，由于$a$是方程的一个根，所以代入方程有：
$a^{2}+2a-7=0$
从上式我们可以得到：
$a^{2}+2a=7$
接下来，我们要求$a^{2}+3a+b$的值，根据上面的关系式，我们可以将其转化为：
$a^{2}+3a+b = a^{2}+2a+a+b$
$= 7+a+b$
$= 7-2$（因为$a+b=-2$）
$= 5$
15. 如图,在$△ABC$中,$DE// BC,DF// AC$,若$\frac {AE}{EC}= \frac {2}{3}$,则$\frac {CF}{BF}= $
$\frac{2}{3}$
.答案
$\frac{2}{3}$。
解析
由于$DE // BC$，根据平行线分线段成比例定理，有：
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{2}{3}$。
因为$DF // AC$，同样根据平行线分线段成比例定理，可以得到：
$\frac{CF}{FB} = \frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}$。
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{2}{3}$。
因为$DF // AC$，同样根据平行线分线段成比例定理，可以得到：
$\frac{CF}{FB} = \frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}$。
16. 如图,在两个直角三角形中,$∠ACB= ∠ADC= 90^{\circ },AC= 6,AD= 4$,若$△ABC与△ACD$相似,则$AB= $
9
.答案
9
解析
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=6（斜边），AD=4（直角边），由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
∵△ABC与△ACD相似，且∠ACB=∠ADC=90°（直角对应直角），
∴分两种情况讨论：
情况1：△ABC∽△ACD（对应顶点A→A，B→C，C→D）
对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$
则$AB=\frac{AC^2}{AD}=\frac{6^2}{4}=\frac{36}{4}=9$。
情况2：△ABC∽△CAD（对应顶点A→C，B→A，C→D）
对应边成比例：$\frac{AB}{CA}=\frac{AC}{CD}$
则$AB=\frac{AC^2}{CD}=\frac{6^2}{2\sqrt{5}}=\frac{36}{2\sqrt{5}}=\frac{18\sqrt{5}}{5}$（不合题意，舍去，因题目中△ABC与△ACD相似，顶点对应顺序应为A→A，B→C，C→D）。
综上，$AB=9$。
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
∵△ABC与△ACD相似，且∠ACB=∠ADC=90°（直角对应直角），
∴分两种情况讨论：
情况1：△ABC∽△ACD（对应顶点A→A，B→C，C→D）
对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$
则$AB=\frac{AC^2}{AD}=\frac{6^2}{4}=\frac{36}{4}=9$。
情况2：△ABC∽△CAD（对应顶点A→C，B→A，C→D）
对应边成比例：$\frac{AB}{CA}=\frac{AC}{CD}$
则$AB=\frac{AC^2}{CD}=\frac{6^2}{2\sqrt{5}}=\frac{36}{2\sqrt{5}}=\frac{18\sqrt{5}}{5}$（不合题意，舍去，因题目中△ABC与△ACD相似，顶点对应顺序应为A→A，B→C，C→D）。
综上，$AB=9$。
17. 如图,在等边$△ABC$中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且$∠ADE= 60^{\circ },BD= 3,$$CE= 2$,则$△ABC$的边长为
9
.答案
9
解析
设△ABC的边长为$ x $。
∵△ABC是等边三角形，∴$ AB=BC=AC=x $，$ ∠B=∠C=60° $。
∵$ BD=3 $，∴$ DC=BC-BD=x-3 $。
∵$ ∠ADE=60° $，$ ∠ADB+∠ADE+∠EDC=180° $，∴$ ∠ADB+∠EDC=120° $。
∵$ ∠B=60° $，$ ∠BAD+∠ADB+∠B=180° $，∴$ ∠BAD+∠ADB=120° $。
∴$ ∠BAD=∠EDC $。
在△ABD和△DCE中，$ ∠B=∠C=60° $，$ ∠BAD=∠EDC $，
∴△ABD∽△DCE（AA）。
∴$ \frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE} $。
∵$ CE=2 $，∴$ \frac{x}{x-3}=\frac{3}{2} $。
解得$ 2x=3(x-3) $，$ x=9 $。
∵△ABC是等边三角形，∴$ AB=BC=AC=x $，$ ∠B=∠C=60° $。
∵$ BD=3 $，∴$ DC=BC-BD=x-3 $。
∵$ ∠ADE=60° $，$ ∠ADB+∠ADE+∠EDC=180° $，∴$ ∠ADB+∠EDC=120° $。
∵$ ∠B=60° $，$ ∠BAD+∠ADB+∠B=180° $，∴$ ∠BAD+∠ADB=120° $。
∴$ ∠BAD=∠EDC $。
在△ABD和△DCE中，$ ∠B=∠C=60° $，$ ∠BAD=∠EDC $，
∴△ABD∽△DCE（AA）。
∴$ \frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE} $。
∵$ CE=2 $，∴$ \frac{x}{x-3}=\frac{3}{2} $。
解得$ 2x=3(x-3) $，$ x=9 $。
18. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },BA= 12cm$,AD,BE是两条中线,F为其交点,那么$CF= $
4
cm.答案
连接$DE$。
因为$AD,BE$是两条中线，
所以$D,E$分别是$BC,AC$的中点，
所以$DE// AB,DE=\frac{1}{2}AB=6cm$。
所以$\triangle DEF\sim \triangle ABF$。
所以$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$。
所以$\frac{DF}{AD}=\frac{1}{3}$。
因为$AD$是直角三角形$ABC$斜边上的中线，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=6cm$。
所以$DF=2cm$。
在直角三角形$CDF$中，
因为$CD=\frac{1}{2}BC,CF$为中线，
所以$CF=\frac{1}{2}AD=3cm$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
故答案为$3$。
因为$AD,BE$是两条中线，
所以$D,E$分别是$BC,AC$的中点，
所以$DE// AB,DE=\frac{1}{2}AB=6cm$。
所以$\triangle DEF\sim \triangle ABF$。
所以$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$。
所以$\frac{DF}{AD}=\frac{1}{3}$。
因为$AD$是直角三角形$ABC$斜边上的中线，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=6cm$。
所以$DF=2cm$。
在直角三角形$CDF$中，
因为$CD=\frac{1}{2}BC,CF$为中线，
所以$CF=\frac{1}{2}AD=3cm$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
故答案为$3$。
19. (6分)解方程:$3x(x-2)= x-2.$
答案
19. 解：
将方程 $3x(x-2) = x-2$ 整理，得：
$3x(x-2) - (x-2) = 0$
提取公因式 $(x-2)$，得：
$(x-2)(3x-1) = 0$
由此，我们得到两个一元一次方程：
$x-2 = 0 \quad 或 \quad 3x-1 = 0$
解得：
$x_{1} = 2, \quad x_{2} = \frac{1}{3}$
将方程 $3x(x-2) = x-2$ 整理，得：
$3x(x-2) - (x-2) = 0$
提取公因式 $(x-2)$，得：
$(x-2)(3x-1) = 0$
由此，我们得到两个一元一次方程：
$x-2 = 0 \quad 或 \quad 3x-1 = 0$
解得：
$x_{1} = 2, \quad x_{2} = \frac{1}{3}$
