6. 我们熟悉的平面图形中的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等,它们是由若干条的线段首尾顺次相连组成的图形。

不在同一直线上；封闭

根据多边形的定义，多边形是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形。

7. 将一个半径为 $ 2\ cm $ 的圆分割成三个扇形,它们的圆心角度数比为 $ 1:2:3 $,则最大圆心角所对应的扇形的面积为。(用 $ \pi $ 表示即可)

$2\pi cm^{2}$（写为$2\pi$ ）

圆的总面积为$\pi × 2^2=4\pi(cm^2)$。
三个扇形的圆心角度数比为$1:2:3$，则总份数为$1 + 2+3 = 6$（份），最大圆心角占$3$份，其圆心角度数为$360^{\circ}×\frac{3}{6}=180^{\circ}$。
所以最大圆心角所对应的扇形的面积为$4\pi×\frac{3}{6}=2\pi(cm^2)$。

8. 如图,第一个图形是一个六边形,第二个图形是由两个六边形组成,依此类推：

(1) 写出第 $ n $ 个图形的顶点数($ n $ 是正整数)；
(2) 第 12 个图形有几个顶点？

(1) 第1个图形顶点数：6；第2个图形顶点数：10；第3个图形顶点数：14。观察可知，顶点数构成以6为首项，4为公差的等差数列，故第n个图形顶点数为$4n + 2$。
(2) 当$n = 12$时，顶点数为$4×12 + 2 = 50$。
(1) $4n + 2$；(2) 50

9. 如图,一根 $ 5\ m $ 长的绳子,一端拴在 $ 90° $ 的围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊(羊只能在草地上活动),求小羊在草地上可活动区域的面积。(结果保留 $ \pi $)

解：
1. 确定主要活动区域：
墙角内角为 $120°$，小羊在墙外活动，圆心角为 $360° - 120° = 240°$，绳子长 $5\ m$（半径 $r_1 = 5\ m$）。
扇形面积 $S_1 = \frac{240°}{360°} × \pi r_1^2 = \frac{2}{3} × \pi × 5^2 = \frac{50\pi}{3}\ m^2$。
2. 考虑墙长限制形成的额外区域：
一面墙长 $4\ m$（小于绳长 $5\ m$），绕过墙后剩余绳长 $5 - 4 = 1\ m$（半径 $r_2 = 1\ m$），圆心角为 $180° - 120° = 60°$。
扇形面积 $S_2 = \frac{60°}{360°} × \pi r_2^2 = \frac{1}{6} × \pi × 1^2 = \frac{\pi}{6}\ m^2$。
3. 总面积：
$S = S_1 + S_2 = \frac{50\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{101\pi}{6}\ m^2$。
答案：$\frac{101\pi}{6}\ m^2$。

小羊可活动区域为以墙角柱子为圆心，5m为半径的扇形。因围墙夹角为90°，羊在草地活动，故扇形圆心角为360° - 90° = 270°。
扇形面积公式：$S = \frac{n}{360} \pi r^2$，其中$n = 270$，$r = 5$。
代入得：$S = \frac{270}{360} \pi × 5^2 = \frac{3}{4} \pi × 25 = \frac{75}{4}\pi$（$m^2$）。
$\frac{75}{4}\pi$