15. 如图是一根可伸缩的渔竿,渔竿是用 10 节粗细不同的空心套管连接而成,闲置时渔竿可收缩,完全收缩后渔竿的长度即为第 1 节套管的长度(如图①所示)。使用时,可将渔竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示)。图③是这根渔竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图。已知第 1 节套管长 50 cm,第 2 节套管长 46 cm,依此类推,每一节套管都比前一节套管少 4 cm。完全拉伸时,为了使相邻两节套管连接并固定,每相邻两节套管间均有相同长度的重叠,设其长度为$x$cm。

(1)请直接写出第 5 节套管的长度；
(2)当这根渔竿完全拉伸时,其长度为 311 cm,求$x$的值。

(1)第$n$节套管的长度为$50 - 4(n - 1)$，当$n = 5$时，$50-4×(5-1)=50 - 16 = 34$（$cm$）。
所以第$5$节套管的长度为$34 cm$。
(2)第$10$节套管的长度为$50-4×(10 - 1)=50 - 36 = 14$（$cm$）。
设这根渔竿由$10$节套管组成，从第$1$节到第$10$节套管的长度依次构成等差数列，首项$a_1 = 50$，公差$d=-4$。
根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，这里$n = 10$，$a_{10}=14$，则$10$节套管的总长度为$S_{10}=\frac{10×(50 + 14)}{2}=\frac{10×64}{2}=320$（$cm$）。
因为每相邻两节套管间均有长度为$x cm$的重叠，一共有$9$个重叠部分，完全拉伸时渔竿长度为$311 cm$，可列方程$320-9x = 311$，
移项可得$9x=320 - 311$，即$9x = 9$，解得$x = 1$。
所以$x$的值为$1$。