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1. 在$\triangle ABC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,下列式子中不成立的是(
A.$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
B.$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$
C.$AB^{2} = BC^{2} - AC^{2}$
D.$AC^{2} = BC^{2} - AB^{2}$
B
)A.$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
B.$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$
C.$AB^{2} = BC^{2} - AC^{2}$
D.$AC^{2} = BC^{2} - AB^{2}$
答案
B
解析
在$\triangle ABC$中，$\angle A=90°$，根据勾股定理，直角所对的边$BC$为斜边，所以$BC^2=AB^2 + AC^2$。
由$BC^2=AB^2 + AC^2$变形可得：$AB^2=BC^2 - AC^2$，$AC^2=BC^2 - AB^2$。
选项A、C、D均成立，选项B不成立。
B
由$BC^2=AB^2 + AC^2$变形可得：$AB^2=BC^2 - AC^2$，$AC^2=BC^2 - AB^2$。
选项A、C、D均成立，选项B不成立。
B
2. 直角三角形的两边长分别是$3和4$,则第三边长是(
A.$7$
B.$5$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}或5$
D
)A.$7$
B.$5$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}或5$
答案
D
解析
当3和4为直角边时，第三边长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$；
当4为斜边，3为直角边时，第三边长为$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$。
D
当4为斜边，3为直角边时，第三边长为$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$。
D
3. 如图1,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$。以点$A$为圆心,$AC$长为半径画弧,交$AB于点D$,则$BD = $(
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
A
)A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
A
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$。
由勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧，交$AB$于点$D$，则$AD=AC=3$。
所以$BD=AB - AD=5 - 3=2$。
A
由勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧，交$AB$于点$D$，则$AD=AC=3$。
所以$BD=AB - AD=5 - 3=2$。
A
4. 意大利著名画家达芬奇用图2、图3所示的方法证明了勾股定理,图3是将图2沿直线$FD$剪开,将右半部分上下翻转得到的图形,其中四边形$AFEG$,四边形$CDBG与四边形A'E'B'C'$均为正方形,若图2中空白部分面积为$37$,线段$AB的长为7$,则图3中两个直角三角形的面积和为(
A.$6$
B.$12$
C.$15$
D.$25$
B
)A.$6$
B.$12$
C.$15$
D.$25$
答案
B
解析
设直角三角形两直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$。
由题意知$c = AB = 7$，则$c^2 = 49$，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2 = 49$。
图2中空白部分面积为三个直角三角形面积与中间小正方形面积之和，即$3×\frac{1}{2}ab + (b - a)^2 = 37$。
展开得$\frac{3}{2}ab + b^2 - 2ab + a^2 = 37$，化简为$a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab = 37$。
将$a^2 + b^2 = 49$代入，得$49 - \frac{1}{2}ab = 37$，解得$\frac{1}{2}ab = 6$。
图3中两个直角三角形面积和为$2×\frac{1}{2}ab = ab = 12$。
B
由题意知$c = AB = 7$，则$c^2 = 49$，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2 = 49$。
图2中空白部分面积为三个直角三角形面积与中间小正方形面积之和，即$3×\frac{1}{2}ab + (b - a)^2 = 37$。
展开得$\frac{3}{2}ab + b^2 - 2ab + a^2 = 37$，化简为$a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab = 37$。
将$a^2 + b^2 = 49$代入，得$49 - \frac{1}{2}ab = 37$，解得$\frac{1}{2}ab = 6$。
图3中两个直角三角形面积和为$2×\frac{1}{2}ab = ab = 12$。
B
1. 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$a$,$b$,$c分别是\angle A$,$\angle B$,$\angle C$所对的边。
(1)若$a = 5$,$b = 12$,则$c = $
(2)若$a = 16$,$c = 20$,则$b = $
(3)若$a:b = 3:4$,$c = 40$,则$a = $
(1)若$a = 5$,$b = 12$,则$c = $
13
；(2)若$a = 16$,$c = 20$,则$b = $
12
；(3)若$a:b = 3:4$,$c = 40$,则$a = $
24
。答案
(1)13
(2)12
(3)24
2. 如图4,某住宅小区有一块长方形草地,一些人为了避开拐角走“捷径”,在草地内踩出了一条“路”。请算算他们仅仅少走了
2
米路,却踩坏了草地。答案
2
解析
走拐角的路程为 $3 + 4 = 7$ 米。
走“捷径”的路程为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ 米。
少走的路程为 $7 - 5 = 2$ 米。
2
走“捷径”的路程为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ 米。
少走的路程为 $7 - 5 = 2$ 米。
2
3. 已知在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 6$,$AB - AC = 2$,则$AC = $
8
。答案
8
解析
设$AC = x$，则$AB = x + 2$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得：$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$。
即$x^{2} + 6^{2} = (x + 2)^{2}$，
展开得$x^{2} + 36 = x^{2} + 4x + 4$，
移项化简得$4x = 32$，
解得$x = 8$。
$AC = 8$
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得：$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$。
即$x^{2} + 6^{2} = (x + 2)^{2}$，
展开得$x^{2} + 36 = x^{2} + 4x + 4$，
移项化简得$4x = 32$，
解得$x = 8$。
$AC = 8$
