2. 某商场出售甲、乙两种商品,甲种商品每件进价50元,售价80元；乙种商品每件进价70元,售价90元。
(1)若商场用31000元购进这两种商品,销售完共获利12000元。求商场购进这两种商品各多少件；
(2)若商场要购进这两种商品共400件,设购进甲种商品$a$件,销售完这两种商品的总利润为$w$元,求$w与a$的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围),并指出购进甲种商品的件数$a$逐渐增加时,利润$w$是增加还是减少?

2. 解：
(1)设商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意得{50x+70y=31000(80-50)x+(90-70)y=12000解得{x=200y=300所以商场购进甲种商品200件，乙种商品300件。
(2)由题意得w=(80-50)a+(90-70)(400-a)=10a+8000，因为k=10＞0，所以当购进甲种商品件数a逐渐增加时，利润w也逐渐增加。

1. “今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问：物几何?”这是《孙子算经》中的一道题目,人们把它称为“韩信点兵”。
你知道适合条件的最小的自然数是多少吗?具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数(70),能被3和7整除而被5除余1的数(21),能被3和5整除而被7除余1的数(15),然后用除以3,5,7所得的余数(即2,3,2)分别去乘这三个数,再相加,也就是$70×2+21×3+15×2= 233$,最后从233中减去3,5,7的最小公倍数105,如果得出的差还是比105大,就再减去105,一直到得数比105小为止,$233-105×2= 23$。这就是适合条件的最小的自然数。
同学们,你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢?或许你有更好的办法!
一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小自然数。

1. 解：能被6和7整除而被5整除余1的数为126，能被5和7整除而被6整除余1的数为175，能被5和6整除而被7整除余1的数为120，然后用除以5，6，7所得的余数(3，4，1)分别去乘这三个数，再相加，也就是126×3+175×4+120×1=1198，最后从1198中减去5，6，7的最小公倍数210，如果得出的差比210大，再减去210，一直到比210小为止，1198-210×5=148，所以适合条件的最小自然数为148。

解：能被6和7整除而被5除余1的数为126，能被5和7整除而被6除余1的数为175，能被5和6整除而被7除余1的数为120。
$126×3 + 175×4 + 120×1 = 1198$
5，6，7的最小公倍数为210
$1198 - 210×5 = 148$
适合条件的最小自然数为148。