2. (2024·大连)如图所示,△ABC是等边三角形,AD为中线,E为AB上一点,且AD= AE,则∠EDB等于()

A.15°
B.20°
C.25°
D.30°

A

$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle BAC = 60°$。
$\because AD$是中线，
根据等边三角形三线合一的性质，$AD$也是$\angle BAC$的角平分线，
$\therefore \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAC = 30°$，
$\because AD = AE$，
$\therefore \triangle ADE$是等腰三角形，
$\therefore \angle ADE = \angle AED = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$，
在等边三角形中，中线、角平分线和高线重合，
$\therefore AD \perp BC$（等边三角形顶角的平分线和对边上的底边上的高重合），
$\therefore \angle ADB = 90°$，
$\therefore \angle EDB = \angle ADB - \angle ADE = 90° - 75° = 15°$。

3. (2025·南充)已知：如图所示,D,E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点,且AD= CE,猜测∠DFB的度数,并说明理由。

∠DFB=60°。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠ECB=60°。
在△ADC和△CEB中，AD=CE，∠A=∠ECB，AC=CB，∴△ADC≌△CEB（SAS）。
∴∠ACD=∠CBE。
∵∠DFB是△BFC的外角，∴∠DFB=∠CBE+∠BCD。
又∵∠ACD=∠CBE，∴∠DFB=∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°。
综上，∠DFB=60°。

【例2】 如图所示,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°,AD⊥AB,AD交BC于点D,AE⊥AC,AE交BC于点E。求证：△ADE是等边三角形。

证明：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)/2=(180°-120°)/2=30°。
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-90°=60°。
∵AE⊥AC，
∴∠CAE=90°，
∴∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-30°-90°=60°。
在△ADE中，∠ADE=∠ADB=60°，∠AED=∠AEC=60°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-60°-60°=60°。
∵∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形。

等边三角形的判断方法的选择
(1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定；
(2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定；
(3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可。

答题（如下示例题目：已知在△ABC中，AB = AC，且∠A = 60°，求证△ABC是等边三角形）：
答：
∵ AB = AC，
∴ △ABC是等腰三角形，
又∵ ∠A = 60°，
根据：若已知该三角形是等腰三角形，则可再寻找一个内角等于60°即可判定为等边三角形，
∴ △ABC是等边三角形。

4. 下列推理中,不能判断△ABC是等边三角形的是()
A.∠A= ∠B= ∠C
B.AB= AC,∠B= 60°
C.∠A= 60°,∠B= 60°
D.AB= AC,且∠B= ∠C

D

A. 若$\angle A = \angle B = \angle C$，则根据等边三角形的定义（三个角都相等的三角形是等边三角形），可以判断$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，故A选项不符合题意。
B. 若$AB = AC$，则$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。又因为$\angle B = 60{°}$，根据等边三角形的判定定理（有一个角是$60{°}$的等腰三角形是等边三角形），可以判断$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，故B选项不符合题意。
C. 若$\angle A = 60{°}$，$\angle B = 60{°}$，则根据三角形内角和为$180{°}$，可以求出$\angle C = 180{°} - 60{°} - 60{°} = 60{°}$。因此，$\angle A = \angle B = \angle C$，根据等边三角形的定义，可以判断$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，故C选项不符合题意。
D. 若$AB = AC$，且$\angle B = \angle C$，这只能说明$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形，并不能直接判断它是等边三角形，故D选项符合题意。

5. 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α= 60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为cm。

2

由题意知，直尺刻度B为1cm，C为3cm，故BC=3-1=2cm。直尺两边平行，∠α=60°，结合含30°角直角三角板性质及平行线性质，可得∠ABC=∠ACB=60°，则△ABC为等边三角形，因此AB=BC=2cm。

6. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,D为AB边的中点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,DE= DF。求证：△ABC是等边三角形。

证明：
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C（等边对等角）．
∵D为AB中点，∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED=∠BFD=90°（垂直定义）．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\ DE=DF\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）．
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）．
∵∠B=∠C，∴∠A=∠B=∠C．
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形（三个角都等于60°的三角形是等边三角形）．