1. 如图所示,$AD是线段BC$的垂直平分线,垂足为$D$,有下列结论：①$AB = AC$；②$\angle B= \angle C$；③$\angle BAD= \angle CAD$；④$BD = CD$,$\angle ADB= \angle ADC = 90^{\circ}$. 其中正确的结论有()

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

D

∵AD是线段BC的垂直平分线，垂足为D，∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°（④正确）。根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴AB=AC（①正确）。∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，根据等腰三角形三线合一，AD也是顶角∠BAC的平分线和底边BC上的中线，∴∠B=∠C（②正确），∠BAD=∠CAD（③正确）。综上，①②③④都正确，共4个。

2. 如图所示,点$A$,$C在线段BD$的垂直平分线上,若$AB = 3\mathrm{cm}$,$CD = 7\mathrm{cm}$,则四边形$ABCD$的周长是()

A.$22\mathrm{cm}$
B.$20\mathrm{cm}$
C.$18\mathrm{cm}$
D.$16\mathrm{cm}$

B

因为点$A,C$在线段$BD$的垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以$AB = AD = 3cm$，$CB=CD = 7cm$。
四边形$ABCD$的周长为$AB + BC+CD + DA$，将$AB = AD = 3cm$，$CB = CD = 7cm$代入可得：$3 + 7+7 + 3=20cm$。

3. (2024·梅州)如图所示,在$\triangle ABC$中,已知点$D在BC$上,且$BD + AD = BC$,则点$D$在()

A.线段$AC$的垂直平分线上
B.$\angle BAC$的平分线上
C.$BC$的中点处
D.线段$AB$的垂直平分线上

A

∵ BC = BD + DC，且 BD + AD = BC，
∴ BD + DC = BD + AD，
∴ DC = AD，
∴ 点 D 到 A、C 两点距离相等，
∴ 点 D 在线段 AC 的垂直平分线上。

4. 下列命题的逆命题为真命题的是()
A.对顶角相等
B.同位角相等
C.若$a^{2}= b^{2}$,则$a = b$
D.$6的平方根为\pm3$

C

A.逆命题：相等的角是对顶角，假命题；B.逆命题：相等的角是同位角，假命题；C.逆命题：若$a = b$，则$a^{2}= b^{2}$，真命题；D.逆命题：平方根为$\pm3$的数是6，假命题（应为9）。

5. “如果$a＞0$,$b＜0$,那么$ab＜0$”的逆命题是,该逆命题是命题(填“真”或“假”).

逆命题是：如果$ab＜0$，那么$a＞0$，$b＜0$；假。

原命题是：“如果$a＞0$，$b＜0$，那么$ab＜0$”。
根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论得到逆命题：“如果$ab＜0$，那么$a＞0$，$b＜0$”。
为了判断逆命题的真假，可以考虑反例法。
例如，当$a = -1$，$b = 2$时，$ab = -2 ＜ 0$，但此时$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，与逆命题中的“$a＞0$，$b＜0$”矛盾。
因此，逆命题是假命题。

6. 如图所示,在$\triangle ABC$中,直线$ED是BC$的垂直平分线,直线$ED分别交BC$,$AB于点D$,$E$. 已知$BD = 4$,$\triangle ABC的周长为20$,则$\triangle AEC$的周长为.

12

直线$ED$是$BC$的垂直平分线，$BD=4$，
根据垂直平分线性质可得$BC=2BD=8$，$EC=BE$，
$\triangle ABC$的周长为$20$，
即$AC+BC+AB=AC+BC+AE+BE=AC+BC+AE+EC=AC+AE+8+EC=20$，
所以$\triangle AEC$的周长$=AC+AE+EC=20 - 8=12$。

7. (开放性题)如图所示,$CD是五边形ABCDE$的一边,若$AM垂直平分CD$,垂足为$M$,且,,则.
给出下列信息：①$AM平分\angle BAE$；②$AB = AE$；③$BC = DE$. 请从中选择适当信息,将对应的序号填到横线上方,使之构成真命题,补全图形,并加以证明.

①，②，③

选择条件①②，结论③
补全图形：在直线AM两侧分别取点B、E，使AB=AE，∠BAM=∠EAM，连接AB、AE、BC、DE。
证明：
∵AM垂直平分CD（已知），
∴AC=AD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
且∠CAM=∠DAM（等腰三角形三线合一）。
∵AM平分∠BAE（①），
∴∠BAM=∠EAM（角平分线定义）。
∴∠BAC=∠BAM+∠CAM，∠EAD=∠EAM+∠DAM（角的和差）。
∵∠BAM=∠EAM，∠CAM=∠DAM，
∴∠BAC=∠EAD（等量代换）。
在△ABC和△AED中，
$\begin{cases} AB=AE（②，已知）\\ ∠BAC=∠EAD（已证）\\ AC=AD（已证） \end{cases}$，
∴△ABC≌△AED（SAS）。
∴BC=DE（全等三角形对应边相等，即③）。
选择条件②③，结论①
补全图形：在直线AM两侧分别取点B、E，连接AB、AE、BC、DE，使AB=AE，BC=DE。
证明：
∵AM垂直平分CD（已知），
∴AC=AD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
在△ABC和△AED中，
$\begin{cases} AB=AE（②，已知）\\ BC=DE（③，已知）\\ AC=AD（已证） \end{cases}$，
∴△ABC≌△AED（SSS）。
∴∠BAC=∠EAD（全等三角形对应角相等）。
∵AM垂直平分CD，
∴∠CAM=∠DAM（等腰三角形三线合一）。
∴∠BAC-∠CAM=∠EAD-∠DAM（等式性质），即∠BAM=∠EAM。
∴AM平分∠BAE（角平分线定义，即①）。
（注：以上两种情况均可，此处以第一种为例）

8. 如图所示,$AB = AC$,$EB = EC$,点$D是AE$上的一点.
求证：$DB = DC$.

证明：
因为$AB = AC$，
根据线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以点$A$在线段$BC$的垂直平分线上。
因为$EB = EC$，
同理可得点$E$在线段$BC$的垂直平分线上。
由于两点确定一条直线，所以$AE$是线段$BC$的垂直平分线。
因为点$D$是$AE$上的一点，即点$D$在线段$BC$的垂直平分线上。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$DB = DC$。