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运用平方差公式分解因式
(1)公式：$a^{2}-b^{2}=$
(2)语言表述：两个数的平方差,等于这两个数的
(1)公式：$a^{2}-b^{2}=$
$(a + b)(a - b)$
；(2)语言表述：两个数的平方差,等于这两个数的
和
与这两个数的差
的积.答案
(1)$(a + b)(a - b)$；(2)和，差
解析
(1)根据平方差公式，$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$；(2)语言表述为两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
【例1】下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是(
A.$a^{2}+b^{2}$
B.$2a-b^{2}$
C.$9a^{2}-b^{2}$
D.$-a^{2}-b^{2}$
C
)A.$a^{2}+b^{2}$
B.$2a-b^{2}$
C.$9a^{2}-b^{2}$
D.$-a^{2}-b^{2}$
答案
C
解析
平方差公式为$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)$，其形式为两项式，且两项分别是某个数或式子的平方，符号相反。
选项A中$a^{2}+b^{2}$两项符号相同，不能运用平方差公式分解因式。
选项B中$2a - b^{2}$，$2a$不是某个数或式子的平方，不能运用平方差公式分解因式。
选项C中$9a^{2}-b^{2}=(3a)^{2}-b^{2}$，符合平方差公式的形式，可以分解为$(3a + b)(3a - b)$。
选项D中$-a^{2}-b^{2}$两项符号相同，不能运用平方差公式分解因式。
选项A中$a^{2}+b^{2}$两项符号相同，不能运用平方差公式分解因式。
选项B中$2a - b^{2}$，$2a$不是某个数或式子的平方，不能运用平方差公式分解因式。
选项C中$9a^{2}-b^{2}=(3a)^{2}-b^{2}$，符合平方差公式的形式，可以分解为$(3a + b)(3a - b)$。
选项D中$-a^{2}-b^{2}$两项符号相同，不能运用平方差公式分解因式。
【例2】将$1-4y^{2}$分解因式的结果是(
A.$(1-2y)(1+2y)$
B.$(2-y)(2+y)$
C.$(1-2y)(2+y)$
D.$(2-y)(1+2y)$
A
)A.$(1-2y)(1+2y)$
B.$(2-y)(2+y)$
C.$(1-2y)(2+y)$
D.$(2-y)(1+2y)$
答案
A
解析
原式 $1-4y^{2}$ 可以看作 $1^2 - (2y)^2$，符合平方差公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ 的形式，其中 $a = 1$，$b = 2y$。因此分解为 $(1 - 2y)(1 + 2y)$。
1. 下列因式分解正确的是(
A.$4m^{2}-9= (2m+3)(2m-3)$
B.$x^{2}+4y^{2}= (x+2y)^{2}$
C.$a^{2}-b^{2}= (a-b)^{2}$
D.$x^{2}-4y^{2}= (x+4y)(x-4y)$
A
)A.$4m^{2}-9= (2m+3)(2m-3)$
B.$x^{2}+4y^{2}= (x+2y)^{2}$
C.$a^{2}-b^{2}= (a-b)^{2}$
D.$x^{2}-4y^{2}= (x+4y)(x-4y)$
答案
A
解析
A. 利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，将 $4m^2 - 9$ 视为 $(2m)^2 - 3^2$，因此可以分解为 $(2m + 3)(2m - 3)$，与选项A一致，正确。
B. $x^2 + 4y^2$ 不是平方差形式，因此不能分解为 $(x + 2y)^2$，错误。
C. $a^2 - b^2$ 利用平方差公式应分解为 $(a + b)(a - b)$，与给出的 $(a - b)^2$ 不一致，错误。
D. $x^2 - 4y^2$ 利用平方差公式应分解为 $(x + 2y)(x - 2y)$，与给出的 $(x + 4y)(x - 4y)$ 不一致，错误。
B. $x^2 + 4y^2$ 不是平方差形式，因此不能分解为 $(x + 2y)^2$，错误。
C. $a^2 - b^2$ 利用平方差公式应分解为 $(a + b)(a - b)$，与给出的 $(a - b)^2$ 不一致，错误。
D. $x^2 - 4y^2$ 利用平方差公式应分解为 $(x + 2y)(x - 2y)$，与给出的 $(x + 4y)(x - 4y)$ 不一致，错误。
2. 分解因式：
(1)$-3x^{3}y+27xy$；
(2)$-4m^{2}+25n^{2}$；
(3)$(x-1)^{2}-9$；
(4)$(x+2y)^{2}-(x-y)^{2}$；
(5)$1-16a^{4}$.
(1)$-3x^{3}y+27xy$；
(2)$-4m^{2}+25n^{2}$；
(3)$(x-1)^{2}-9$；
(4)$(x+2y)^{2}-(x-y)^{2}$；
(5)$1-16a^{4}$.
答案
(1)
解：原式$= - 3xy(x^{2} - 9)$
$= - 3xy(x + 3)(x - 3)$；
(2)
解：原式$= (5n)^{2} - (2m)^{2}$
$= (5n + 2m)(5n - 2m)$；
(3)
解：原式$= (x - 1)^{2} - 3^{2}$
$= (x - 1 + 3)(x - 1 - 3)$
$= (x + 2)(x - 4)$；
(4)
解：原式$= \lbrack(x + 2y) + (x - y)\rbrack\lbrack(x + 2y) - (x - y)\rbrack$
$= (2x + y)(3y)$
$= 3y(2x + y)$（或$= y(2x + y) × 3=y(2x + y)(3)$；
(5)
解：原式$= 1^{2} - (4a^{2})^{2}$
$= (1 + 4a^{2})(1 - 4a^{2})$
$= (1 + 4a^{2})(1 + 2a)(1 - 2a)$。
解：原式$= - 3xy(x^{2} - 9)$
$= - 3xy(x + 3)(x - 3)$；
(2)
解：原式$= (5n)^{2} - (2m)^{2}$
$= (5n + 2m)(5n - 2m)$；
(3)
解：原式$= (x - 1)^{2} - 3^{2}$
$= (x - 1 + 3)(x - 1 - 3)$
$= (x + 2)(x - 4)$；
(4)
解：原式$= \lbrack(x + 2y) + (x - y)\rbrack\lbrack(x + 2y) - (x - y)\rbrack$
$= (2x + y)(3y)$
$= 3y(2x + y)$（或$= y(2x + y) × 3=y(2x + y)(3)$；
(5)
解：原式$= 1^{2} - (4a^{2})^{2}$
$= (1 + 4a^{2})(1 - 4a^{2})$
$= (1 + 4a^{2})(1 + 2a)(1 - 2a)$。
【例3】若$a+b= 4$,$a-b= 1$,求$(a+2)^{2}-(b-2)^{2}$的值.
答案
答题卡：
由平方差公式$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)$，对$(a + 2)^2-(b - 2)^2$变形可得：
$(a + 2)^2-(b - 2)^2=[(a + 2)+(b - 2)][(a + 2)-(b - 2)]=(a + b)(a - b + 4)$。
已知$a + b = 4$，$a - b = 1$，将其代入上式可得：
$4×(1 + 4)=4×5 = 20$。
综上，$(a + 2)^2-(b - 2)^2$的值为$20$。
由平方差公式$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)$，对$(a + 2)^2-(b - 2)^2$变形可得：
$(a + 2)^2-(b - 2)^2=[(a + 2)+(b - 2)][(a + 2)-(b - 2)]=(a + b)(a - b + 4)$。
已知$a + b = 4$，$a - b = 1$，将其代入上式可得：
$4×(1 + 4)=4×5 = 20$。
综上，$(a + 2)^2-(b - 2)^2$的值为$20$。
3. 已知$m^{2}-n^{2}= -12$,$m+n= 3$,则$m-n= $
$-4$
.答案
$-4$
解析
根据平方差公式，$m^{2} - n^{2} = (m + n)(m - n)$，
已知 $m^{2} - n^{2} = -12$ 和 $m + n = 3$，将其代入公式得：
$3(m - n) = -12$，
$m - n = -4$。
已知 $m^{2} - n^{2} = -12$ 和 $m + n = 3$，将其代入公式得：
$3(m - n) = -12$，
$m - n = -4$。
4. 求$(4x+y)^{2}-9y^{2}$的值,其中$x+y= 2$,$y-2x= 3$.
答案
$(4x + y)^2 - 9y^2$
$=(4x + y)^2 - (3y)^2$
$=(4x + y + 3y)(4x + y - 3y)$
$=(4x + 4y)(4x - 2y)$
$=4(x + y) \cdot 2(2x - y)$
$=8(x + y)(2x - y)$
已知$x + y = 2$，$y - 2x = 3$，则$2x - y = -3$。
将$x + y = 2$，$2x - y = -3$代入上式：
$8×2×(-3)$
$=16×(-3)$
$=-48$
$-48$
$=(4x + y)^2 - (3y)^2$
$=(4x + y + 3y)(4x + y - 3y)$
$=(4x + 4y)(4x - 2y)$
$=4(x + y) \cdot 2(2x - y)$
$=8(x + y)(2x - y)$
已知$x + y = 2$，$y - 2x = 3$，则$2x - y = -3$。
将$x + y = 2$，$2x - y = -3$代入上式：
$8×2×(-3)$
$=16×(-3)$
$=-48$
$-48$
