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1. 用尺规作角平分线的依据是(
A.$SAS$
B.$ASA$
C.$AAS$
D.$SSS$
D
)A.$SAS$
B.$ASA$
C.$AAS$
D.$SSS$
答案
D
解析
用尺规作角平分线时，以角的顶点为圆心画弧，交角的两边于两点，再分别以这两点为圆心，以大于两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，连接顶点与该点即为角平分线。此过程中，两弧交点到角两边的距离（半径）相等，角的顶点到两弧与边交点的距离（半径）也相等，公共边为所作射线，构成三边对应相等的两个三角形，依据SSS判定全等，从而得到角相等。
2. 如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,以点 $A$ 为圆心,适当长为半径作弧,分别交 $AB$,$AC$ 于点 $D$,$E$,再分别以点 $E$,$D$ 为圆心,相同长为半径作弧,分别交 $DB$,$EC$ 于点 $F$,$G$,连接 $EF$,$DG$ 交于点 $H$,连接 $AH$ 并延长交 $BC$ 于点 $I$,则线段 $AI$ 是(
A.$\triangle ABC$ 的高
B.$\triangle ABC$ 的中线
C.$\triangle ABC$ 的角平分线
D.以上都不对
C
)A.$\triangle ABC$ 的高
B.$\triangle ABC$ 的中线
C.$\triangle ABC$ 的角平分线
D.以上都不对
答案
C
解析
由作图知，以点A为圆心作弧交AB、AC于D、E，得AD=AE；分别以E、D为圆心，相同长为半径作弧交DB、EC于F、G，得EF=DG。连接EF、DG交于H，易证△AEF≌△ADG（SSS），得∠EAH=∠DAH，即AH平分∠BAC，故AI是△ABC的角平分线。
3. 如图所示,点 $P$ 是 $\angle AOB$ 的平分线 $OC$ 上一点,$PE\perp OA$,$OE = 8$,点 $F$ 是射线 $OB$ 上的一个动点. 若 $PF$ 的最小值为 $4$,则 $\triangle POE$ 的面积为(
A.$6$
B.$8$
C.$16$
D.$32$
C
)A.$6$
B.$8$
C.$16$
D.$32$
答案
C
解析
由于$OC$是$\angle AOB$的平分线，且$PE\perp OA$，
根据角平分线的性质，点$P$到$OA$的距离等于点$P$到$OB$的距离，记这个共同的距离为$d$。
题目给出$PF$的最小值为$4$，由于$PF$是点$P$到$OB$的垂线段（或垂线段的一部分），其最小值即为$d$，所以$d=4$，即$PE=4$，
又因为$OE=8$，
所以，$\triangle POE$的面积为：
$S_{\triangle POE}=\frac{1}{2}× OE× PE=\frac{1}{2}×8×4=16$。
根据角平分线的性质，点$P$到$OA$的距离等于点$P$到$OB$的距离，记这个共同的距离为$d$。
题目给出$PF$的最小值为$4$，由于$PF$是点$P$到$OB$的垂线段（或垂线段的一部分），其最小值即为$d$，所以$d=4$，即$PE=4$，
又因为$OE=8$，
所以，$\triangle POE$的面积为：
$S_{\triangle POE}=\frac{1}{2}× OE× PE=\frac{1}{2}×8×4=16$。
4. 如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BE$ 平分 $\angle ABC$,交 $AC$ 于点 $E$,$ED\perp AB$ 于点 $D$. 如果 $AC = 3$,那么 $AE + DE$ 等于(
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
B
)A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
B
解析
$\because BE$为角平分线，$\angle ACB=90^{\circ}$（即$EC\perp BC$），$ED\perp AB$，
$\therefore$根据角平分线的性质可知$ED=EC$，
$\therefore AE+DE=AE+EC=AC=3$。
$\therefore$根据角平分线的性质可知$ED=EC$，
$\therefore AE+DE=AE+EC=AC=3$。
5. 如图所示,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$BC = 3$,连接 $AC$,$AC\perp CD$,垂足为 $C$,并且 $\angle ACB = \angle D$,点 $E$ 是 $AD$ 边上一动点,则 $CE$ 的最小值是(
A.$1.5$
B.$3$
C.$3.5$
D.$4$
B
)A.$1.5$
B.$3$
C.$3.5$
D.$4$
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠BAC+∠ACB=90°；在Rt△ACD中，∠CAD+∠D=90°。∵∠ACB=∠D，∴∠BAC=∠CAD，即AC平分∠BAD。
∵∠B=90°，∴BC⊥AB，BC=3，即点C到AB的距离为3。
由角平分线性质，点C到AD的距离等于点C到AB的距离，即3。
∵点E是AD上动点，CE最小值为点C到AD的垂线段长，∴CE最小值=3。
∵∠B=90°，∴BC⊥AB，BC=3，即点C到AB的距离为3。
由角平分线性质，点C到AD的距离等于点C到AB的距离，即3。
∵点E是AD上动点，CE最小值为点C到AD的垂线段长，∴CE最小值=3。
6. 如图所示,$Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$.
(1)在 $BC$ 边上作点 $Q$,使得 $AQ$ 平分 $\angle BAC$；(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在 (1) 的条件下,若 $AC = 4$,$AB = 5$,$CB = 3$,求点 $Q$ 到直线 $AB$ 的距离.
(1)在 $BC$ 边上作点 $Q$,使得 $AQ$ 平分 $\angle BAC$；(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在 (1) 的条件下,若 $AC = 4$,$AB = 5$,$CB = 3$,求点 $Q$ 到直线 $AB$ 的距离.
答案
(1) 作图痕迹如图所示（以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、AB于两点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，过A与该点作射线交BC于Q）。
(2) 过点Q作QD⊥AB于D。
∵AQ平分∠BAC，∠ACB=90°，QD⊥AB，
∴QC=QD。
设QC=QD=x，则QB=BC-QC=3-x。
在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，BC=3。
S△ABC=S△AQC+S△AQB，
即$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AC×QC+\frac{1}{2}×AB×QD$，
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×4×x+\frac{1}{2}×5×x$，
$6=\frac{9}{2}x$，
解得$x=\frac{4}{3}$。
∴点Q到直线AB的距离为$\frac{4}{3}$。
(2) 过点Q作QD⊥AB于D。
∵AQ平分∠BAC，∠ACB=90°，QD⊥AB，
∴QC=QD。
设QC=QD=x，则QB=BC-QC=3-x。
在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，BC=3。
S△ABC=S△AQC+S△AQB，
即$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AC×QC+\frac{1}{2}×AB×QD$，
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×4×x+\frac{1}{2}×5×x$，
$6=\frac{9}{2}x$，
解得$x=\frac{4}{3}$。
∴点Q到直线AB的距离为$\frac{4}{3}$。
7. 如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$CE$ 平分 $\angle ACB$,若 $\angle CAD = 20^{\circ}$,$\angle B = 50^{\circ}$,则 $\angle BEC$ 的度数为
95°
.答案
95°
解析
∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，∵∠CAD=20°，∴∠ACB=90°-∠CAD=70°.
∵∠B=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-70°=60°.
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB/2=35°.
在△BEC中，∠BEC=180°-∠B-∠BCE=180°-50°-35°=95°.
∵∠B=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-70°=60°.
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB/2=35°.
在△BEC中，∠BEC=180°-∠B-∠BCE=180°-50°-35°=95°.
8. 如图所示,$\triangle ABC$ 的三条角平分线交于 $O$ 点,已知 $\triangle ABC$ 的周长为 $20$,$OD\perp AB$,且 $OD = 3$,则 $\triangle ABC$ 的面积为
30
.答案
30
解析
连接OA、OB、OC，过O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F。
∵O是△ABC三条角平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=3，
∴OE=OF=OD=3（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵△ABC周长为20，即AB+BC+AC=20，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=1/2×AB×OD + 1/2×BC×OE + 1/2×AC×OF
=1/2×AB×3 + 1/2×BC×3 + 1/2×AC×3
=1/2×3×(AB+BC+AC)
=1/2×3×20=30。
∵O是△ABC三条角平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=3，
∴OE=OF=OD=3（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵△ABC周长为20，即AB+BC+AC=20，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=1/2×AB×OD + 1/2×BC×OE + 1/2×AC×OF
=1/2×AB×3 + 1/2×BC×3 + 1/2×AC×3
=1/2×3×(AB+BC+AC)
=1/2×3×20=30。
