平方差公式
(1)公式：$(a + b)(a - b) = $.
(2)语言叙述：两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的.

(1) $a^2 - b^2$
(2) 和，差，平方差

(1) 根据平方差公式，$(a + b)(a - b)$ 展开后为 $a^2 - b^2$。
(2) 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

【例1】如图所示,图(1)中阴影部分的面积是,图(2)中阴影部分的面积是,由此你得到的等式是$(a + b)(a - b) = $.

$a^2 - b^2$; $a^2 - b^2$; $a^2 - b^2$

【例2】用平方差公式计算：
(1)$(x + 3)(x - 3)$；(2)$69×71$；(3)$(-2x - 3)(-2x + 3)$.

(1)
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，在$(x + 3)(x - 3)$中$a = x$，$b = 3$，则：
$(x + 3)(x - 3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9$
(2)
将$69×71$变形为$(70 - 1)(70+1)$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 70$，$b = 1$，则：
$69×71=(70 - 1)(70 + 1)=70^{2}-1^{2}=4900 - 1=4899$
(3)
将$(-2x - 3)(-2x + 3)$变形为$[(-2x)-3][(-2x)+3]$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a=-2x$，$b = 3$，则：
$(-2x - 3)(-2x + 3)=(-2x)^{2}-3^{2}=4x^{2}-9$
综上，答案依次为：(1)$x^{2}-9$；(2)$4899$；(3)$4x^{2}-9$。

1. 有下列式子：①$(x - 2y)(x + 2y)$；②$(3a - bc)(-bc - 3a)$；③$(3m - 2n)·(-3m + 2n)$；④$[3 - (x + y)][3 + (x + y)]$.其中能用平方差公式进行计算的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

平方差公式为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，要求两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数。
式子①：$(x - 2y)(x + 2y)$，其中$x$完全相同，$-2y$与$2y$互为相反数，能用平方差公式计算，即$x^2-(2y)^2$。
式子②：$(3a - bc)(-bc - 3a)=(-bc + 3a)(-bc - 3a)$，其中$-bc$完全相同，$3a$与$-3a$互为相反数，能用平方差公式计算，即$(-bc)^2-(3a)^2$。
式子③：$(3m - 2n)·(-3m + 2n)=-(3m - 2n)(3m - 2n)=-(3m - 2n)^2$，两项都是$3m - 2n$，不满足平方差公式条件，不能用平方差公式计算。
式子④：$[3 - (x + y)][3 + (x + y)]$，其中$3$完全相同，$-(x + y)$与$(x + y)$互为相反数，能用平方差公式计算，即$3^2-(x + y)^2$。
综上，①②④能用平方差公式，共$3$个。

2. $(5a^{2} + 4b^{2})$()$= 25a^{4} - 16b^{4}$,括号内应填()
A.$5a^{2} + 4b^{2}$
B.$5a^{2} - 4b^{2}$
C.$-5a^{2} - 4b^{2}$
D.$-5a^{2} + 4b^{2}$

B

根据题意，设括号内的整式为$M$，则有：
$(5a^{2} + 4b^{2}) \cdot M = 25a^{4} - 16b^{4}$
利用平方差公式，知道：
$A^{2} - B^{2} = (A + B)(A - B)$
其中，$A = 5a^{2}$，$B = 4b^{2}$，且$A^{2} = 25a^{4}$，$B^{2} = 16b^{4}$。
所以，可以将$25a^{4} - 16b^{4}$表示为：
$(5a^{2} + 4b^{2})(5a^{2} - 4b^{2})$
对比上式，可以得出：
$M = 5a^{2} - 4b^{2}$

3. 计算：
(1)$(3y + 2)(3y - 2) = $.
(2)$(3y - 2x)(3y + 2x) = $.

(1) $9y^2 - 4$；
(2) $9y^2 - 4x^2$。

(1) 根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将 $3y$ 看作 $a$，$2$ 看作 $b$，则：
$(3y + 2)(3y - 2) = (3y)^2 - 2^2 = 9y^2 - 4$。
(2) 同样根据平方差公式，将 $3y$ 看作 $a$，$2x$ 看作 $b$，则：
$(3y - 2x)(3y + 2x) = (3y)^2 - (2x)^2 = 9y^2 - 4x^2$。

探究点2 平方差公式的常见变形
【例3】填空.
(1)位置变化：$(a + b)(-b + a) = $；
(2)符号变化：$(-a - b)(a - b) = (-b)^{2} -$$= b^{2} - a^{2}$；
(3)系数变化：$(2a + 3b)(2a - 3b) = (2a)^{2} - (3b)^{2} = $；
(4)指数变化：$(a^{3} + b^{2})(a^{3} - b^{2}) = $$-$$= a^{6} - b^{4}$；
(5)项数变化：$(a + b + c)(a + b - c) = $$ - c^{2}$.

(1) $a^{2}-b^{2}$
(2) $a^{2}$
(3) $4a^{2}-9b^{2}$
(4) $(a^{3})^{2}$；$(b^{2})^{2}$
(5) $(a + b)^{2}$