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1. 下列函数中,属于二次函数的是(
A.$y= 3x-4$
B.$y= ax^2+bx+c$
C.$y= (x+1)^2-5$
D.$y= \frac{1}{x^2}$
C
).A.$y= 3x-4$
B.$y= ax^2+bx+c$
C.$y= (x+1)^2-5$
D.$y= \frac{1}{x^2}$
答案
【解析】：
本题主要考察二次函数的定义。二次函数的一般形式为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。
需要逐一检查每个选项，看其是否符合二次函数的定义。
A. $y = 3x - 4$，此函数为一次函数，因为它只包含x的一次幂，没有$x^2$项，所以A选项错误。
B. $y = ax^2 + bx + c$，虽然这个函数形式看似二次函数，但题目没有明确$a \neq 0$，若$a=0$，则它退化为一次函数，因此不能确定它一定是二次函数，所以B选项错误（但根据常规理解，此式通常被视为二次函数的一般形式，只是在此题目中，由于未明确$a$的取值，我们判定其为错误）。
C. $y = (x+1)^2 - 5$，展开后为$y = x^2 + 2x - 4$，这是一个标准的二次函数形式，其中$a=1, b=2, c=-4$，且$a \neq 0$，所以C选项正确。
D. $y = \frac{1}{x^2}$，此函数为反比例函数的变形，不是二次函数，因为它不包含x的一次幂和常数项与$x^2$的组合，所以D选项错误。
【答案】：
C
本题主要考察二次函数的定义。二次函数的一般形式为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。
需要逐一检查每个选项，看其是否符合二次函数的定义。
A. $y = 3x - 4$，此函数为一次函数，因为它只包含x的一次幂，没有$x^2$项，所以A选项错误。
B. $y = ax^2 + bx + c$，虽然这个函数形式看似二次函数，但题目没有明确$a \neq 0$，若$a=0$，则它退化为一次函数，因此不能确定它一定是二次函数，所以B选项错误（但根据常规理解，此式通常被视为二次函数的一般形式，只是在此题目中，由于未明确$a$的取值，我们判定其为错误）。
C. $y = (x+1)^2 - 5$，展开后为$y = x^2 + 2x - 4$，这是一个标准的二次函数形式，其中$a=1, b=2, c=-4$，且$a \neq 0$，所以C选项正确。
D. $y = \frac{1}{x^2}$，此函数为反比例函数的变形，不是二次函数，因为它不包含x的一次幂和常数项与$x^2$的组合，所以D选项错误。
【答案】：
C
2. 下列生活中的事件,属于不可能事件的是(
A.3天内将下雨
B.打开电视,正在播新闻
C.买一张电影票,座位号是偶数
D.没有水分,种子发芽
D
).A.3天内将下雨
B.打开电视,正在播新闻
C.买一张电影票,座位号是偶数
D.没有水分,种子发芽
答案
【解析】：
本题考察的是对不可能事件的理解。不可能事件是指在一定条件下，不可能发生的事件。
A选项：3天内将下雨，这是一个随机事件，因为下雨受多种因素影响，无法确定其一定发生或一定不发生，所以A选项描述的是随机事件，不符合题意。
B选项：打开电视，正在播新闻，这同样是一个随机事件。因为电视节目的播放取决于电视台的安排，无法预知打开电视时是否正在播放新闻，所以B选项描述的是随机事件，不符合题意。
C选项：买一张电影票，座位号是偶数，这也是一个随机事件。因为电影票的座位号分配通常是随机的，无法确定买到的座位号一定是偶数还是奇数，所以C选项描述的是随机事件，不符合题意。
D选项：没有水分，种子发芽，这是一个不可能事件。因为种子发芽需要一定的水分、温度和空气等条件，如果没有水分，种子是无法发芽的。所以D选项描述的是不可能事件，符合题意。
【答案】：
D
本题考察的是对不可能事件的理解。不可能事件是指在一定条件下，不可能发生的事件。
A选项：3天内将下雨，这是一个随机事件，因为下雨受多种因素影响，无法确定其一定发生或一定不发生，所以A选项描述的是随机事件，不符合题意。
B选项：打开电视，正在播新闻，这同样是一个随机事件。因为电视节目的播放取决于电视台的安排，无法预知打开电视时是否正在播放新闻，所以B选项描述的是随机事件，不符合题意。
C选项：买一张电影票，座位号是偶数，这也是一个随机事件。因为电影票的座位号分配通常是随机的，无法确定买到的座位号一定是偶数还是奇数，所以C选项描述的是随机事件，不符合题意。
D选项：没有水分，种子发芽，这是一个不可能事件。因为种子发芽需要一定的水分、温度和空气等条件，如果没有水分，种子是无法发芽的。所以D选项描述的是不可能事件，符合题意。
【答案】：
D
3. 将抛物线$y= -x^2-2x+3$的图象向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过(
A.$(-2,2)$
B.$(-1,1)$
C.$(0,6)$
D.$(1,-3)$
B
).A.$(-2,2)$
B.$(-1,1)$
C.$(0,6)$
D.$(1,-3)$
答案
解：将抛物线$y = -x^2 - 2x + 3$配方，得
$y=-(x^2 + 2x)+3=-(x^2 + 2x + 1 - 1)+3=-(x + 1)^2 + 4$。
向右平移1个单位长度，得$y=-(x + 1 - 1)^2 + 4= -x^2 + 4$。
再向下平移2个单位长度，得$y=-x^2 + 4 - 2= -x^2 + 2$。
分别代入各选项：
选项A：当$x=-2$时，$y=-(-2)^2 + 2=-4 + 2=-2\neq2$，不经过。
选项B：当$x=-1$时，$y=-(-1)^2 + 2=-1 + 2=1$，经过。
选项C：当$x=0$时，$y=-0^2 + 2=2\neq6$，不经过。
选项D：当$x=1$时，$y=-1^2 + 2=-1 + 2=1\neq-3$，不经过。
答案：B
$y=-(x^2 + 2x)+3=-(x^2 + 2x + 1 - 1)+3=-(x + 1)^2 + 4$。
向右平移1个单位长度，得$y=-(x + 1 - 1)^2 + 4= -x^2 + 4$。
再向下平移2个单位长度，得$y=-x^2 + 4 - 2= -x^2 + 2$。
分别代入各选项：
选项A：当$x=-2$时，$y=-(-2)^2 + 2=-4 + 2=-2\neq2$，不经过。
选项B：当$x=-1$时，$y=-(-1)^2 + 2=-1 + 2=1$，经过。
选项C：当$x=0$时，$y=-0^2 + 2=2\neq6$，不经过。
选项D：当$x=1$时，$y=-1^2 + 2=-1 + 2=1\neq-3$，不经过。
答案：B
4. 下表中列出的是一个二次函数的自变量$x与函数y$的几组对应值：
下列选项中,正确的是(
A.这个函数的图象开口向下
B.这个函数的图象与$x$轴无交点
C.这个函数的最小值小于$-6$
D.当$x＞1$时,$y的值随x$值的增大而增大
下列选项中,正确的是(
C
).A.这个函数的图象开口向下
B.这个函数的图象与$x$轴无交点
C.这个函数的最小值小于$-6$
D.当$x＞1$时,$y的值随x$值的增大而增大
答案
【解析】：
首先，我们根据给定的点，可以列出以下方程组来求解二次函数的系数：
设二次函数为 $y = ax^2 + bx + c$，
根据表格中的数据，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}4a - 2b + c = 6,\\c = -4,\\a + b + c = -6.\end{cases}$
将 $c = -4$ 代入其他两个方程，我们得到：
$\begin{cases}4a - 2b = 10,\\a + b = -2.\end{cases}$
从第二个方程中解出 $b$：$b = -2 - a$，
代入第一个方程：$4a - 2(-2 - a) = 10$，
$4a + 4 + 2a = 10$，
$6a = 6$，
$a = 1$，
将 $a = 1$ 代入 $b = -2 - a$，得到 $b = -3$。
所以，二次函数的解析式为 $y = x^2 - 3x - 4$，
进一步化简，我们得到 $y =(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4} $，
由此可知，函数的开口方向是向上（因为 $a = 1 ＞ 0$），顶点坐标为 $(\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$，
并且函数的最小值为 $-\frac{25}{4}＜-6$。
接下来，我们逐一判断选项：
A. 这个函数的图象开口向下。这是错误的，因为 $a = 1 ＞ 0$，所以图象开口向上。
B. 这个函数的图象与 $x$ 轴无交点。这是错误的。我们可以通过求解 $x^2 - 3x - 4 = 0$ 来找到与 $x$ 轴的交点，解得 $x = -1$ 或 $x = 4$，所以图象与 $x$ 轴有两个交点。
C. 这个函数的最小值小于 $-6$。这是正确的。从上面的分析中，我们知道函数的最小值为 $-\frac{25}{4}＜-6$。
D. 当 $x ＞ 1$ 时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大。这是错误的。虽然函数开口向上，但对称轴为$x=\frac{3}{2}$，当$x＞\frac{3}{2}$时，$y$ 的值才随 $x$ 值的增大而增大，当$1＜x＜\frac{3}{2}$时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小。
【答案】：
C
首先，我们根据给定的点，可以列出以下方程组来求解二次函数的系数：
设二次函数为 $y = ax^2 + bx + c$，
根据表格中的数据，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}4a - 2b + c = 6,\\c = -4,\\a + b + c = -6.\end{cases}$
将 $c = -4$ 代入其他两个方程，我们得到：
$\begin{cases}4a - 2b = 10,\\a + b = -2.\end{cases}$
从第二个方程中解出 $b$：$b = -2 - a$，
代入第一个方程：$4a - 2(-2 - a) = 10$，
$4a + 4 + 2a = 10$，
$6a = 6$，
$a = 1$，
将 $a = 1$ 代入 $b = -2 - a$，得到 $b = -3$。
所以，二次函数的解析式为 $y = x^2 - 3x - 4$，
进一步化简，我们得到 $y =(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4} $，
由此可知，函数的开口方向是向上（因为 $a = 1 ＞ 0$），顶点坐标为 $(\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$，
并且函数的最小值为 $-\frac{25}{4}＜-6$。
接下来，我们逐一判断选项：
A. 这个函数的图象开口向下。这是错误的，因为 $a = 1 ＞ 0$，所以图象开口向上。
B. 这个函数的图象与 $x$ 轴无交点。这是错误的。我们可以通过求解 $x^2 - 3x - 4 = 0$ 来找到与 $x$ 轴的交点，解得 $x = -1$ 或 $x = 4$，所以图象与 $x$ 轴有两个交点。
C. 这个函数的最小值小于 $-6$。这是正确的。从上面的分析中，我们知道函数的最小值为 $-\frac{25}{4}＜-6$。
D. 当 $x ＞ 1$ 时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大。这是错误的。虽然函数开口向上，但对称轴为$x=\frac{3}{2}$，当$x＞\frac{3}{2}$时，$y$ 的值才随 $x$ 值的增大而增大，当$1＜x＜\frac{3}{2}$时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小。
【答案】：
C
5. 已知点$P(m-2,n)$,$Q(m+1,n)$,$M(m+3,n)$,$N(m+2,n-2)$,二次函数的图象经过这四个点中的三个,得到对应的函数表达式为$y= ax^2+bx+c$,当$a$的值最大时,所对应的二次函数图象经过的点为(
A.$P$,$Q和M$
B.$P$,$Q和N$
C.$P$,$M和N$
D.$Q$,$M和N$
D
).A.$P$,$Q和M$
B.$P$,$Q和N$
C.$P$,$M和N$
D.$Q$,$M和N$
答案
解：
1. 分析点坐标特征：
P(m-2,n)，Q(m+1,n)，M(m+3,n)纵坐标相同，均在直线y=n上，为抛物线的水平弦或顶点。
N(m+2,n-2)纵坐标为n-2，与其他三点不同。
2. 情况分类讨论：
情况1：抛物线过P、Q、M
三点共线（y=n），与二次函数矛盾，舍去。
情况2：抛物线过P、Q、N
代入三点坐标得：
$ \begin{cases} a(m-2)^2 + b(m-2) + c = n \\ a(m+1)^2 + b(m+1) + c = n \\ a(m+2)^2 + b(m+2) + c = n-2 \end{cases} $
由前两式消n得：$b = -a(2m-1)$，代入第三式解得$a = -\frac{2}{9}$。
情况3：抛物线过P、M、N
代入三点坐标得：
$ \begin{cases} a(m-2)^2 + b(m-2) + c = n \\ a(m+3)^2 + b(m+3) + c = n \\ a(m+2)^2 + b(m+2) + c = n-2 \end{cases} $
由前两式消n得：$b = -a(2m+1)$，代入第三式解得$a = -\frac{1}{2}$。
情况4：抛物线过Q、M、N
代入三点坐标得：
$ \begin{cases} a(m+1)^2 + b(m+1) + c = n \\ a(m+3)^2 + b(m+3) + c = n \\ a(m+2)^2 + b(m+2) + c = n-2 \end{cases} $
由前两式消n得：$b = -a(2m+4)$，代入第三式解得$a = 2$。
3. 比较a值：$2 ＞ -\frac{2}{9} ＞ -\frac{1}{2}$，最大a值为2，对应情况4。
答案：D
1. 分析点坐标特征：
P(m-2,n)，Q(m+1,n)，M(m+3,n)纵坐标相同，均在直线y=n上，为抛物线的水平弦或顶点。
N(m+2,n-2)纵坐标为n-2，与其他三点不同。
2. 情况分类讨论：
情况1：抛物线过P、Q、M
三点共线（y=n），与二次函数矛盾，舍去。
情况2：抛物线过P、Q、N
代入三点坐标得：
$ \begin{cases} a(m-2)^2 + b(m-2) + c = n \\ a(m+1)^2 + b(m+1) + c = n \\ a(m+2)^2 + b(m+2) + c = n-2 \end{cases} $
由前两式消n得：$b = -a(2m-1)$，代入第三式解得$a = -\frac{2}{9}$。
情况3：抛物线过P、M、N
代入三点坐标得：
$ \begin{cases} a(m-2)^2 + b(m-2) + c = n \\ a(m+3)^2 + b(m+3) + c = n \\ a(m+2)^2 + b(m+2) + c = n-2 \end{cases} $
由前两式消n得：$b = -a(2m+1)$，代入第三式解得$a = -\frac{1}{2}$。
情况4：抛物线过Q、M、N
代入三点坐标得：
$ \begin{cases} a(m+1)^2 + b(m+1) + c = n \\ a(m+3)^2 + b(m+3) + c = n \\ a(m+2)^2 + b(m+2) + c = n-2 \end{cases} $
由前两式消n得：$b = -a(2m+4)$，代入第三式解得$a = 2$。
3. 比较a值：$2 ＞ -\frac{2}{9} ＞ -\frac{1}{2}$，最大a值为2，对应情况4。
答案：D
