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20. 图 17(a)是一种新型智能养生壶,其参数如图 17(b)所示。其电路中只有一根电热丝 $ R_{0} $。为了实现加热和保温功能,月月找来了定值电阻 $ R $ 和开关 $ S $,对养生壶的加热电路进行改造,使得电热丝 $ R_{0} $ 可分别以额定功率的 $ 100\% $ 和 $ 25\% $ 工作。(不考虑电阻随温度的变化)
(1)求 $ R_{0} $ 的阻值。
(2)求电路改造后保温时的电流。
(3)月月将家中所有用电器断开,只把改造后的养生壶保温挡接入电路中,她发现 $ 84 \, s $ 内家中电能表[图 17(c)]转盘刚好转过了 $ 42 $ 圈,求养生壶两端的实际电压。
(1)求 $ R_{0} $ 的阻值。
(2)求电路改造后保温时的电流。
(3)月月将家中所有用电器断开,只把改造后的养生壶保温挡接入电路中,她发现 $ 84 \, s $ 内家中电能表[图 17(c)]转盘刚好转过了 $ 42 $ 圈,求养生壶两端的实际电压。
答案
(1)由$P=\frac{U^{2}}{R}$得，$R_{0}=\frac{U_{额}^{2}}{P_{额}}=\frac{(220\,V)^{2}}{1210\,W}=40\,\Omega$。
(2)保温时$R_{0}$功率$P_{0}'=25\%P_{额}=0.25×1210\,W=302.5\,W$，由$P=I^{2}R$得，保温电流$I=\sqrt{\frac{P_{0}'}{R_{0}}}=\sqrt{\frac{302.5\,W}{40\,\Omega}}=2.75\,A$。
(3)电能表转盘转42圈消耗电能$W=\frac{42}{3600}\,kW\cdoth=\frac{42}{3600}×3.6×10^{6}\,J=42000\,J$，实际功率$P_{实}=\frac{W}{t}=\frac{42000\,J}{84\,s}=500\,W$。保温时$R$与$R_{0}$串联，$R=R_{0}=40\,\Omega$（由$I=\frac{U}{R_{总}}$，$R_{总}=\frac{220\,V}{2.75\,A}=80\,\Omega$，$R=R_{总}-R_{0}=40\,\Omega$），总电阻$R_{总}=80\,\Omega$，由$P=\frac{U^{2}}{R}$得实际电压$U_{实}=\sqrt{P_{实}R_{总}}=\sqrt{500\,W×80\,\Omega}=200\,V$。
(1)$40\,\Omega$(2)$2.75\,A$(3)$200\,V$
(2)保温时$R_{0}$功率$P_{0}'=25\%P_{额}=0.25×1210\,W=302.5\,W$，由$P=I^{2}R$得，保温电流$I=\sqrt{\frac{P_{0}'}{R_{0}}}=\sqrt{\frac{302.5\,W}{40\,\Omega}}=2.75\,A$。
(3)电能表转盘转42圈消耗电能$W=\frac{42}{3600}\,kW\cdoth=\frac{42}{3600}×3.6×10^{6}\,J=42000\,J$，实际功率$P_{实}=\frac{W}{t}=\frac{42000\,J}{84\,s}=500\,W$。保温时$R$与$R_{0}$串联，$R=R_{0}=40\,\Omega$（由$I=\frac{U}{R_{总}}$，$R_{总}=\frac{220\,V}{2.75\,A}=80\,\Omega$，$R=R_{总}-R_{0}=40\,\Omega$），总电阻$R_{总}=80\,\Omega$，由$P=\frac{U^{2}}{R}$得实际电压$U_{实}=\sqrt{P_{实}R_{总}}=\sqrt{500\,W×80\,\Omega}=200\,V$。
(1)$40\,\Omega$(2)$2.75\,A$(3)$200\,V$
