1. (2024·四川眉山中考)如图,在△ABC 中,AB = AC = 6,BC = 4,分别以点 A,B 为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于点 E,F,过点 E,F 作直线交 AC 于点 D,连接 BD,则△BCD 的周长为()

A.7
B.8
C.10
D.12

C

根据题意以$A$，$B$为圆心大于$\frac{1}{2}AB$长为半径作弧交于$E$，$F$，
过$E$，$F$作直线交$AC$于$D$，
由尺规作图可知直线$EF$是线段$AB$的垂直平分线，
因为$AD=BD$（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
已知$AB = AC = 6$，$BC = 4$，
$\triangle BCD$的周长为$BD + DC + BC$，
把$BD = AD$代入可得$AD + DC + BC=AC + BC$，
即$6 + 4=10$。

2. 用直尺和圆规作出下列各图形的对称轴。

对于左边图形（两圆加中间线段形式隐含的对称图形）：
用直尺和圆规作两圆连心线（即两圆连心线所在直线就是对称轴），步骤如下：
分别以两圆的圆心为圆心（设两圆圆心为$A$、$B$），用圆规取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧相交于$C$、$D$两点；
用直尺连接$C$、$D$两点，直线$CD$就是该图形的对称轴。
对于右边图形（两个三角形组成的对称图形）：
分别找出两个三角形对应顶点（设两个三角形对应顶点为$A$与$A'$、$B$与$B'$、$C$与$C'$）；
用直尺和圆规分别连接对应顶点$AA'$、$BB'$、$CC'$；
分别作$AA'$、$BB'$、$CC'$的垂直平分线（以$A$和$A'$为例，分别以$A$、$A'$为圆心，大于$\frac{1}{2}AA'$的长度为半径画弧，两弧相交于两点，用直尺连接这两点得到$AA'$的垂直平分线），会发现这三条垂直平分线重合，该重合直线就是此图形的对称轴。

3. 尺规作图,不写作法,保留作图痕迹。
已知：线段 c,直线 l 及 l 外一点 A。
求作：Rt△ABC,使直角边为 AC,其中 AC⊥l,垂足为点 C,斜边 AB = c。

1. 过点A作直线$m\perp l$，垂足为O（用直尺和圆规作$\angle A$的邻补角为直角，确定直线$m$ ），作图痕迹保留（以A为圆心，适当长为半径画弧交$l$于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半为半径画弧交于一点，连接A与该点并向两端延长得到直线$m$ ）。
2. 以A为圆心，线段$c$的长为半径画弧交直线$m$于B、B'两点，作图痕迹保留。
3. 连接AB（或AB' ）、B C（或B'C ），$\triangle ABC$（或$\triangle AB'C$ ）即为所求作的直角三角形。

（作图痕迹如下：过点 A 作 AC⊥l 于点 C，以点 A 为圆心，线段 c 的长为半径画弧，交直线 l 于点 B 和点 B'，连接 AB 和 AB'，则△ABC 和△AB'C 即为所求作的直角三角形。）
（注：由于无法直接展示作图痕迹，上述文字描述了作图过程，实际答题时应在答题卡的图上保留相应的尺规作图痕迹，如垂线的作图痕迹、圆弧与直线 l 的交点痕迹等。）

4. 如图,有两个城镇 A,B 在公路$l_1$同侧、$l_2$异侧。电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇 A,B 的距离必须相等,到两条公路$l_1$,$l_2$的距离也必须相等,发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点 C 的位置。(保留作图痕迹,不要求写出作法)

1. 作线段AB的垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线$m$（即AB的垂直平分线）。
2. 作直线$l_1$与$l_2$的两条角平分线：设$l_1$与$l_2$交于点O，以O为圆心，任意长为半径画弧交$l_1$、$l_2$于两点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，过该点与O作直线$n$；同理作另一条角平分线$p$。
3. 直线$m$与直线$n$、$p$的交点即为所求点$C_1$、$C_2$。
（作图痕迹保留：弧、直线$m$、$n$、$p$及交点$C_1$、$C_2$）