【典型例题 1】如图 1,已知$\angle \alpha,\angle \beta$,求作$\angle AOB$,使$\angle AOB= \angle \alpha+\angle \beta$。

思路导引 先作一个角等于$\angle \alpha$,再在$\angle \alpha外作一个角等于\angle \beta$,且这两个角共顶点,共一边。
【解】(1)如图 1,分别以点$E,P$为圆心,适当长为半径画弧,交$\angle \alpha的两边于点F,G$,交$\angle \beta的两边于点M,N$；
(2)如图 2,作射线$OA$,以点$O$为圆心,$EF的长为半径画弧KL$,交射线$OA于点C$；
(3)以点$C$为圆心,$GF$的长为半径画弧,交弧$KL于点H$,再以点$H$为圆心,$MN$的长为半径画弧,与弧$KL交于点Q$；
(4)分别过点$Q,H作射线OB,OH$,
则$\angle AOH= \angle \alpha$,$\angle BOH= \angle \beta$,$\angle AOB= \angle \alpha+\angle \beta$。

规律方法 作两角之和时,另两边在公共边的异侧；作两角之差时,另两边在公共边的同侧。

(1)分别以点E,P为圆心，适当长为半径画弧，交∠α的两边于点F,G，交∠β的两边于点M,N；
(2)作射线OA，以点O为圆心，EF的长为半径画弧KL，交射线OA于点C；
(3)以点C为圆心，GF的长为半径画弧，交弧KL于点H，再以点H为圆心，MN的长为半径画弧，与弧KL交于点Q；
(4)分别过点Q,H作射线OB,OH，则∠AOB=∠α+∠β。

1. 如图,已知$\triangle ABC,AC＞AB,\angle C = 45^{\circ}$。请用尺规作图,在边$AC上求作一点P$,使$\angle PBC = 45^{\circ}$。(不写作法,保留作图痕迹)

（注：以下为作图痕迹描述，实际答题需在图中呈现）
1. 以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交CB于点D，交CA于点E；
2. 以点B为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点F；
3. 以点F为圆心，DE长为半径画弧，交步骤2中所画弧于点G；
4. 作射线BG，交AC于点P。
点P即为所求。

【典型例题 2】如图,已知线段$a和\angle \alpha$。求作$\triangle ABC$,使$AB = AC = a,\angle B= \angle \alpha$。

【解】作法：(1)作$\angle MBN= \angle \alpha$；
(2)在射线$BN上作AB = a$,再以点$A$为圆心,$AB$长为半径作弧,交射线$BM于点C$；
(3)连接$AC$,则$\triangle ABC$就是所求作的三角形。

规律方法 在作三角形时,通常先用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法作出三角形的一个内角,然后再根据“作一条线段等于已知线段”的尺规作图方法作出三角形的边。

作法：(1)作∠MBN=∠α；
(2)在射线BN上截取AB=a，以点A为圆心，a为半径作弧，交射线BM于点C；
(3)连接AC，△ABC即为所求作的三角形。