登录
1. (2023·天津)若 $ x_1 $、$ x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 6x - 7 = 0 $ 的两个根，则下列结论正确的是()
A.$ x_1 + x_2 = 6 $
B.$ x_1 + x_2 = -6 $
C.$ x_1x_2 = \frac{7}{6} $
D.$ x_1x_2 = 7 $
A.$ x_1 + x_2 = 6 $
B.$ x_1 + x_2 = -6 $
C.$ x_1x_2 = \frac{7}{6} $
D.$ x_1x_2 = 7 $
答案
A
解析
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，根与系数的关系为 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
方程 $x^2 - 6x - 7 = 0$ 中，$a = 1$，$b = -6$，$c = -7$，因此：
$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6$，
$x_1x_2 = \frac{-7}{1} = -7$（该式在选项中未出现，仅需关注加和关系）。
选项A符合 $x_1 + x_2 = 6$。
方程 $x^2 - 6x - 7 = 0$ 中，$a = 1$，$b = -6$，$c = -7$，因此：
$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6$，
$x_1x_2 = \frac{-7}{1} = -7$（该式在选项中未出现，仅需关注加和关系）。
选项A符合 $x_1 + x_2 = 6$。
2. 下列一元二次方程的两个实数根之和为 -4 的是()
A.$ x^2 + 2x - 4 = 0 $
B.$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
C.$ x^2 + 4x + 10 = 0 $
D.$ x^2 + 4x - 5 = 0 $
A.$ x^2 + 2x - 4 = 0 $
B.$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
C.$ x^2 + 4x + 10 = 0 $
D.$ x^2 + 4x - 5 = 0 $
答案
D
解析
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，根与系数的关系为 $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $。
A选项： $ a = 1 $, $ b = 2 $，根之和为 $ -2 $，不符合。
B选项： $ a = 1 $, $ b = -4 $，根之和为 $ 4 $，不符合。
C选项： $ a = 1 $, $ b = 4 $，根之和为 $ -4 $，但判别式 $ \Delta = 16 - 40 = -24 ＜ 0 $，无实数根，不符合。
D选项： $ a = 1 $, $ b = 4 $，根之和为 $ -4 $，且判别式 $ \Delta = 16 + 20 = 36 ＞ 0 $，有实数根，符合。
A选项： $ a = 1 $, $ b = 2 $，根之和为 $ -2 $，不符合。
B选项： $ a = 1 $, $ b = -4 $，根之和为 $ 4 $，不符合。
C选项： $ a = 1 $, $ b = 4 $，根之和为 $ -4 $，但判别式 $ \Delta = 16 - 40 = -24 ＜ 0 $，无实数根，不符合。
D选项： $ a = 1 $, $ b = 4 $，根之和为 $ -4 $，且判别式 $ \Delta = 16 + 20 = 36 ＞ 0 $，有实数根，符合。
3. (教材 P23 习题 1.3 第 2 题变式)(2023·怀化)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + mx - 2 = 0 $ 的一个根为 -1，则 $ m $ 的值与另一个根分别为()
A.2、-1
B.-1、2
C.1、-2
D.-2、1
A.2、-1
B.-1、2
C.1、-2
D.-2、1
答案
B
解析
设方程的另一根为 $x_1$，已知一根为 $-1$。
根据根与系数的关系，对于方程 $x^2 + mx - 2 = 0$，有：
根的和：$-1 + x_1 = -m$，
根的积：$-1 × x_1 = -2$。
由根的积得：
$-x_1 = -2 \implies x_1 = 2$，
代入根的和中得：
$-1 + 2 = -m \implies m = -1$。
所以$m$的值为$-1$，另一根为$2$。
根据根与系数的关系，对于方程 $x^2 + mx - 2 = 0$，有：
根的和：$-1 + x_1 = -m$，
根的积：$-1 × x_1 = -2$。
由根的积得：
$-x_1 = -2 \implies x_1 = 2$，
代入根的和中得：
$-1 + 2 = -m \implies m = -1$。
所以$m$的值为$-1$，另一根为$2$。
4. (2023·遂宁)若 $ a $、$ b $ 是方程 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的两个实数根，则 $ a + b - ab $ 的值为。
答案
2
解析
因为$a$、$b$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个实数根，由根与系数的关系得$a + b = 3$，$ab = 1$。所以$a + b - ab = 3 - 1 = 2$。
5. (2024·眉山)已知方程 $ x^2 + x - 2 = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，则 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $ 的值为。
答案
$\frac{1}{2}$（（此处按照要求，应为填空题的答案形式，若转化为选择题则可以视为对应$\frac{1}{2}$的选项）。）
解析
根据一元二次方程的根与系数的关系，对于方程 $x^2 + x - 2 = 0$，有：$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = -1$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -2$，接下来，要求$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$，根据分数的加法运算法则，可以将其转化为：$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$，将$x_1 + x_2 = -1$和$x_1 \cdot x_2 = -2$代入上式，得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$。
6. 设一元二次方程 $ \frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，则 $ (x_1 - x_2)^2 $ 的值为。
答案
（直接填写结果对应的数字即可，这里题目是计算题，答案为20对应的填空位置，按本题要求这里应理解为答案就为数字相关的结果呈现形式）20（但按题目给定格式要求，本题无选项，若模拟选项形式，可理解为就写计算结果对应的规范位置，此处按要求写为对应数字在答案处）
解析
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），若方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据韦达定理可知$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
对于方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$，其中$a = \frac{1}{2}$，$b = 3$，$c = 2$，则$x_1 + x_2 = -\frac{3}{\frac{1}{2}}=-6$，$x_1x_2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
因为$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，把$x_1 + x_2 = - 6$，$x_1x_2 = 4$代入可得：$(-6)^2-4×4=36 - 16 = 20$。
对于方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$，其中$a = \frac{1}{2}$，$b = 3$，$c = 2$，则$x_1 + x_2 = -\frac{3}{\frac{1}{2}}=-6$，$x_1x_2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
因为$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，把$x_1 + x_2 = - 6$，$x_1x_2 = 4$代入可得：$(-6)^2-4×4=36 - 16 = 20$。
7. 已知一元二次方程 $ 2x^2 - 3x - 1 = 0 $ 的两根分别为 $ m $、$ n $，求 $ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} $ 的值。
答案
根据一元二次方程 $2x^{2}-3x - 1=0$，其中$a = 2$，$b=-3$，$c = - 1$。
由韦达定理可得$m + n=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$mn=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
对$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$进行通分可得：$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^{2}+m^{2}}{mn}=\frac{(m + n)^{2}-2mn}{mn}$。
把$m + n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$代入上式可得：
$\frac{(\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$。
综上，$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为$-\frac{13}{2}$。
由韦达定理可得$m + n=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$mn=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
对$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$进行通分可得：$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^{2}+m^{2}}{mn}=\frac{(m + n)^{2}-2mn}{mn}$。
把$m + n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$代入上式可得：
$\frac{(\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$。
综上，$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为$-\frac{13}{2}$。
8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x - a = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $。若 $ x_1 = -1 $，则 $ a - x_1^2 - x_2^2 $ 的值为()
A.7
B.-7
C.6
D.-6
A.7
B.-7
C.6
D.-6
答案
B
解析
已知方程 $x^2 - 2x - a = 0$ 的两根为 $x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1 = -1$。
根据一元二次方程的根与系数关系，有：
$x_1 + x_2 = 2$，
$x_1 \cdot x_2 = -a$，
由 $x_1 = -1$，代入 $x_1 + x_2 = 2$，得：
$-1 + x_2 = 2 \implies x_2 = 3$，
再代入 $x_1 \cdot x_2 = -a$，得：
$-1 × 3 = -a \implies a = 3$，
计算 $a - x_1^2 - x_2^2$：
$a - x_1^2 - x_2^2 = 3 - (-1)^2 - 3^2 = 3 - 1 - 9 = -7$。
根据一元二次方程的根与系数关系，有：
$x_1 + x_2 = 2$，
$x_1 \cdot x_2 = -a$，
由 $x_1 = -1$，代入 $x_1 + x_2 = 2$，得：
$-1 + x_2 = 2 \implies x_2 = 3$，
再代入 $x_1 \cdot x_2 = -a$，得：
$-1 × 3 = -a \implies a = 3$，
计算 $a - x_1^2 - x_2^2$：
$a - x_1^2 - x_2^2 = 3 - (-1)^2 - 3^2 = 3 - 1 - 9 = -7$。
9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0 $ 的两实数根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $。若 $ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3 $，则 $ m $ 的值为()
A.-3
B.-1
C.-3 或 1
D.-1 或 3
A.-3
B.-1
C.-3 或 1
D.-1 或 3
答案
A
解析
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程 $x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0$，
其两根之和 $x_1 + x_2 = 2m - 1$，两根之积 $x_1x_2 = m^2$。
由题设 $(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$
代入韦达定理的结果：
$m^2 + (2m - 1) + 1 = 3$
整理方程：
$m^2 + 2m - 3 = 0$
解得：
$m = -3 \quad 或 \quad m = 1$
需验证判别式 $\Delta = (2m - 1)^2 - 4m^2 \geq 0$，
即 $4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 \geq 0 \Rightarrow -4m + 1 \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{1}{4}$。
$m = 1$ 不满足该条件，舍去，故 $m = -3$。
其两根之和 $x_1 + x_2 = 2m - 1$，两根之积 $x_1x_2 = m^2$。
由题设 $(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$
代入韦达定理的结果：
$m^2 + (2m - 1) + 1 = 3$
整理方程：
$m^2 + 2m - 3 = 0$
解得：
$m = -3 \quad 或 \quad m = 1$
需验证判别式 $\Delta = (2m - 1)^2 - 4m^2 \geq 0$，
即 $4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 \geq 0 \Rightarrow -4m + 1 \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{1}{4}$。
$m = 1$ 不满足该条件，舍去，故 $m = -3$。
10. (2025·常熟期末)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 6x - m = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ x_1 = 2x_2 $，则 $ m $ 的值为。
答案
-8
解析
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -6$，$x_1 x_2 = -m$。
因为$x_1 = 2x_2$，所以$2x_2 + x_2 = -6$，解得$x_2 = -2$，则$x_1 = 2×(-2) = -4$。
所以$x_1 x_2 = (-4)×(-2) = 8 = -m$，解得$m = -8$。
因为$x_1 = 2x_2$，所以$2x_2 + x_2 = -6$，解得$x_2 = -2$，则$x_1 = 2×(-2) = -4$。
所以$x_1 x_2 = (-4)×(-2) = 8 = -m$，解得$m = -8$。
11. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x - 2m + 1 = 0 $ 的两个实数根之积为负数，则实数 $ m $ 的取值范围是。
答案
$m ＞ \frac{1}{2}$
解析
对于一元二次方程$x^2 + 2x - 2m + 1 = 0$，设两根为$x_1$，$x_2$。
由根与系数的关系得：$x_1x_2 = -2m + 1$。
因为两个实数根之积为负数，所以$-2m + 1 ＜ 0$，解得$m ＞ \frac{1}{2}$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = 2^2 - 4×1×(-2m + 1) = 4 + 8m - 4 = 8m \geq 0$，解得$m \geq 0$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ \frac{1}{2}$。
由根与系数的关系得：$x_1x_2 = -2m + 1$。
因为两个实数根之积为负数，所以$-2m + 1 ＜ 0$，解得$m ＞ \frac{1}{2}$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = 2^2 - 4×1×(-2m + 1) = 4 + 8m - 4 = 8m \geq 0$，解得$m \geq 0$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ \frac{1}{2}$。
