7. 勾股定理在我国古算书《周髀算经》中早有记载. 如图①, 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形, 再把较小的两个正方形按如图②所示的方式放置在最大的正方形内. 若知道图②中涂色部分的面积, 则一定能求出 (
A.直角三角形的面积
B.最大的正方形的面积
C.图②中较小的两个正方形重叠部分的面积
D.最大的正方形与直角三角形的面积之和
C
)A.直角三角形的面积
B.最大的正方形的面积
C.图②中较小的两个正方形重叠部分的面积
D.最大的正方形与直角三角形的面积之和
答案
7. C 解析：设直角三角形的斜边长为$c$，较长直角边长为$b$，较短直角边长为$a$。由勾股定理，得$c^{2} = a^{2} + b^{2}$，$\therefore$题图②中涂色部分的面积为$c^{2} - b^{2} - a(c - b) = a^{2} - ac + ab = a(a + b - c)$。$\because$题图②中较小的两个正方形重叠部分的长为$a$，宽为$a - (c - b) = a + b - c$，$\therefore$题图②中较小的两个正方形重叠部分的面积为$a(a + b - c)$。
8. (2024·浙江)如图, 正方形 $A B C D$ 由四个全等的直角三角形 $(\triangle A B E, \triangle B C F, \triangle C D G$, $\triangle D A H)$ 和中间一个小正方形 $E F G H$ 组成, 连接 $D E$. 若 $A E=4, B E=3$, 则 $D E$ 的长为
$\sqrt{17}$
.答案
8. $\sqrt{17}$ 解析：$\because Rt\triangle DAH \cong Rt\triangle ABE$，$\therefore DH = AE = 4$，$AH = BE = 3$，$\therefore EH = AE - AH = 4 - 3 = 1$。$\because$四边形$EFGH$是正方形，$\therefore \angle DHE = 90^{\circ}$，$\therefore DE^{2} = DH^{2} + EH^{2}$，$\therefore DE = \sqrt{17}$。
9. 如图, $C D$ 是 $Rt \triangle A B C$ 的斜边 $A B$ 上的高, 教材第 100 页例 3 通过勾股定理与完全平方公式证明出了结论: $C D^2=A D · D B$. 请你利用上述结论与学过的数学知识, 求证:
(1) $A C^2=A D · A B$;
(2) $B C^2=D B · A B$.
(1) $A C^2=A D · A B$;
(2) $B C^2=D B · A B$.
答案
9. (1) $\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore$在$Rt\triangle ADC$中，$AC^{2} = CD^{2} + AD^{2}$。$\because CD^{2} = AD · DB$，$\therefore AC^{2} = AD · DB + AD^{2} = AD · (DB + AD)$。$\because AB = DB + AD$，$\therefore AC^{2} = AD · AB$
(2) $\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore$在$Rt\triangle BDC$中，$BC^{2} = CD^{2} + DB^{2}$。$\because CD^{2} = AD · DB$，$\therefore BC^{2} = AD · DB + DB^{2} = DB · (AD + DB)$。$\because AB = AD + DB$，$\therefore BC^{2} = DB · AB$
(2) $\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore$在$Rt\triangle BDC$中，$BC^{2} = CD^{2} + DB^{2}$。$\because CD^{2} = AD · DB$，$\therefore BC^{2} = AD · DB + DB^{2} = DB · (AD + DB)$。$\because AB = AD + DB$，$\therefore BC^{2} = DB · AB$
10. (2024·陕西)如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, E$ 是边 $A B$ 上一点, 连接 $C E$, 在 $B C$ 的右侧作 $B F / / A C$, 且 $B F=A E$, 连接 $C F$. 若 $A C=13, B C=10$, 求四边形 $E B F C$ 的面积.
答案
10. 如图，过点$A$作$AH \perp BC$，垂足为$H$，过点$C$分别作$CM \perp AB$，$CN \perp BF$，垂足分别为$M$，$N$。$\because AB = AC$，$AH \perp BC$，$\therefore CH = \frac{1}{2}BC = 5$。$\therefore$在$Rt\triangle AHC$中，$AH^{2} = AC^{2} - CH^{2}$，$\therefore AH = 12$。$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC · AH = \frac{1}{2} × 10 × 12 = 60$。$\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC = \angle ACB$。$\because BF // AC$，$\therefore \angle ACB = \angle CBF$，$\therefore \angle ABC = \angle CBF$。$\because CM \perp AB$，$CN \perp BF$，$\therefore CM = CN$。$\because S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2}AE · CM$，$S_{\triangle CBF} = \frac{1}{2}BF · CN$，$AE = BF$，$\therefore S_{\triangle ACE} = S_{\triangle CBF}$，$\therefore S_{四边形EBFC} = S_{\triangle CBF} + S_{\triangle CBE} = S_{\triangle ACE} + S_{\triangle CBE} = S_{\triangle ABC} = 60$
