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1.「2025山西中考」如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AB = AC$，分别以点$B$，$C$为圆心，$BC$的长为半径画弧，与$BA$，$CA$的延长线分别交于点$D$，$E$。若$BC=4$，则图中阴影部分的面积为（
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
D
）A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
答案
1.D $\because ∠ BAC=90°,AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°,$
$\therefore S_{\mathrm{扇形}CBE}=S_{\mathrm{扇形}BCD}=\frac{45π × 4^2}{360}=2π.$
$\because BC=4,∠ BAC=90°,AB=AC,\therefore AB=AC=2\sqrt{2},$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× 2\sqrt{2}=4,$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}CBE}-S_{△ ABC}+S_{\mathrm{扇形}BCD}-S_{△ ABC}=2π-4+2π-4=4π-8,$故选 D.
$\therefore S_{\mathrm{扇形}CBE}=S_{\mathrm{扇形}BCD}=\frac{45π × 4^2}{360}=2π.$
$\because BC=4,∠ BAC=90°,AB=AC,\therefore AB=AC=2\sqrt{2},$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× 2\sqrt{2}=4,$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}CBE}-S_{△ ABC}+S_{\mathrm{扇形}BCD}-S_{△ ABC}=2π-4+2π-4=4π-8,$故选 D.
解析
【分析】
首先观察图形特征，阴影部分由两部分组成，分别是扇形CBE减去△ABC的剩余部分、扇形BCD减去△ABC的剩余部分。解题思路如下：第一步，根据△ABC是等腰直角三角形，求出两个扇形的圆心角大小；第二步，利用扇形面积公式计算单个扇形的面积；第三步，求出等腰直角△ABC的面积；第四步，将两个扇形的面积之和减去2倍的△ABC的面积，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵两个扇形的半径均为BC=4，圆心角均为45°，
∴单个扇形面积$S_{扇形CBE}=S_{扇形BCD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{45π×4^2}{360}=2π$，
又
∵BC=4，△ABC为等腰直角三角形，设AB=AC=x，
由勾股定理得：$x^2+x^2=BC^2=16$，解得$x=2\sqrt{2}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形CBE}+S_{扇形BCD}-2S_{△ABC}=2π+2π-2×4=4π-8$。
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】本题是与圆有关的不规则面积计算的常考题，解题的核心是将不规则的阴影面积转化为规则的扇形、三角形面积的和差运算，掌握扇形面积公式和等腰直角三角形的性质是解题的基础。
【难度系数】0.7
首先观察图形特征，阴影部分由两部分组成，分别是扇形CBE减去△ABC的剩余部分、扇形BCD减去△ABC的剩余部分。解题思路如下：第一步，根据△ABC是等腰直角三角形，求出两个扇形的圆心角大小；第二步，利用扇形面积公式计算单个扇形的面积；第三步，求出等腰直角△ABC的面积；第四步，将两个扇形的面积之和减去2倍的△ABC的面积，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵两个扇形的半径均为BC=4，圆心角均为45°，
∴单个扇形面积$S_{扇形CBE}=S_{扇形BCD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{45π×4^2}{360}=2π$，
又
∵BC=4，△ABC为等腰直角三角形，设AB=AC=x，
由勾股定理得：$x^2+x^2=BC^2=16$，解得$x=2\sqrt{2}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形CBE}+S_{扇形BCD}-2S_{△ABC}=2π+2π-2×4=4π-8$。
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】本题是与圆有关的不规则面积计算的常考题，解题的核心是将不规则的阴影面积转化为规则的扇形、三角形面积的和差运算，掌握扇形面积公式和等腰直角三角形的性质是解题的基础。
【难度系数】0.7
2.「2026江苏苏州期中」如图,正方形ABCD的边长为1,分别以点A,D为圆心,1为半径作弧$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{AC}$,两处阴影部分的面积分别记为$S_1,S_2$,则$S_1 - S_2 =$（
A.$\frac{π}{2} -1$
B.$1 - \frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{3} -1$
D.$1 - \frac{π}{6}$
A
）A.$\frac{π}{2} -1$
B.$1 - \frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{3} -1$
D.$1 - \frac{π}{6}$
答案
2.A 如图,O是两弧的交点,过点O作$EF// DC$,交AD,BC于点E,F,连接DO,AO,
$\because$ 四边形ABCD为正方形,$\therefore DC// AB,AB=BC=CD=DA=1,∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°,\therefore DC// EF// AB,$由题意知$DO=AO=1=DA,\therefore △ ADO$是等边三角形,$\therefore ∠ ADO=60°,\therefore ∠ CDO=30°.$易知这个图形关于直线EF对称,$\because S_1=2(S_{\mathrm{扇形}ADO}-S_{△ DEO}),S_2=2(S_{\mathrm{矩形}DEFC}-S_{△ DEO}-S_{\mathrm{扇形}CDO}),\therefore S_1 - S_2 = 2(S_{\mathrm{扇形}ADO}-S_{△ DEO})-2(S_{\mathrm{矩形}DEFC}-S_{△ DEO}-S_{\mathrm{扇形}CDO})=2(S_{\mathrm{扇形}ADO}+S_{\mathrm{扇形}CDO}-S_{\mathrm{矩形}DEFC})=2S_{\mathrm{扇形}CDA}-S_{\mathrm{正方形}ABCD}=2×\frac{90π× 1^2}{360}-1^2=\frac{π}{2}-1.$故选 A.
解析
【分析】
本题要求两个不规则阴影部分的面积差，直接分别计算$S_1$、$S_2$的难度较大，可通过转化思想将其转化为规则图形的面积和差求解。思路1：观察图形可知，分别以A、D为圆心，正方形边长为半径的两个四分之一扇形的面积之和，等于正方形的面积加上$S_1$减去$S_2$（两个扇形重叠区域为$S_1$，求和时$S_1$被重复计算一次，而$S_2$是正方形内未被扇形覆盖的区域，未被计入扇形面积和），变形即可直接得到$S_1-S_2$的表达式。思路2：也可通过作辅助线，利用图形的对称性，消去$S_1$和$S_2$中的公共部分后计算。
【解析】
方法一：（直接转化法）
由题意得，正方形ABCD边长为1，两个扇形均为圆心角$90°$、半径1的四分之一圆。
两个扇形的面积和为：$S_{扇形ABD} + S_{扇形ACD} = \frac{90π×1^2}{360} + \frac{90π×1^2}{360} = \frac{π}{2}$
正方形ABCD的面积为：$S_{正方形}=1×1=1$
根据图形构成，两个扇形的面积和 = 正方形面积 + $S_1 - S_2$，因此：
$S_1 - S_2 = (S_{扇形ABD} + S_{扇形ACD}) - S_{正方形} = \frac{π}{2} - 1$
方法二：（辅助线法）
如图，O是两弧的交点，过点O作$EF// DC$，交AD、BC于点E、F，连接DO、AO，
$\because$ 四边形ABCD为正方形，
$\therefore DC// AB,AB=BC=CD=DA=1,∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°$，
$\therefore DC// EF// AB$，
由题意知$DO=AO=1=DA$，$\therefore △ ADO$是等边三角形，
$\therefore ∠ ADO=60°$，$\therefore ∠ CDO=30°$。
易知这个图形关于直线EF对称，
$\because S_1=2(S_{\mathrm{扇形}ADO}-S_{△ DEO})$，$S_2=2(S_{\mathrm{矩形}DEFC}-S_{△ DEO}-S_{\mathrm{扇形}CDO})$，
$\therefore S_1 - S_2 = 2(S_{\mathrm{扇形}ADO}-S_{△ DEO})-2(S_{\mathrm{矩形}DEFC}-S_{△ DEO}-S_{\mathrm{扇形}CDO})$
$= 2(S_{\mathrm{扇形}ADO}+S_{\mathrm{扇形}CDO}-S_{\mathrm{矩形}DEFC})$
$=2S_{\mathrm{扇形}CDA}-S_{\mathrm{正方形}ABCD}$
$=2×\frac{90π× 1^2}{360}-1^2=\frac{π}{2}-1$。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，正方形性质
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的计算，核心是运用转化思想，将未知的不规则图形面积问题转化为已知的正方形、扇形等规则图形的面积运算，解题时要注意观察图形各部分的重叠、包含关系，灵活选择简便方法，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.6
本题要求两个不规则阴影部分的面积差，直接分别计算$S_1$、$S_2$的难度较大，可通过转化思想将其转化为规则图形的面积和差求解。思路1：观察图形可知，分别以A、D为圆心，正方形边长为半径的两个四分之一扇形的面积之和，等于正方形的面积加上$S_1$减去$S_2$（两个扇形重叠区域为$S_1$，求和时$S_1$被重复计算一次，而$S_2$是正方形内未被扇形覆盖的区域，未被计入扇形面积和），变形即可直接得到$S_1-S_2$的表达式。思路2：也可通过作辅助线，利用图形的对称性，消去$S_1$和$S_2$中的公共部分后计算。
【解析】
方法一：（直接转化法）
由题意得，正方形ABCD边长为1，两个扇形均为圆心角$90°$、半径1的四分之一圆。
两个扇形的面积和为：$S_{扇形ABD} + S_{扇形ACD} = \frac{90π×1^2}{360} + \frac{90π×1^2}{360} = \frac{π}{2}$
正方形ABCD的面积为：$S_{正方形}=1×1=1$
根据图形构成，两个扇形的面积和 = 正方形面积 + $S_1 - S_2$，因此：
$S_1 - S_2 = (S_{扇形ABD} + S_{扇形ACD}) - S_{正方形} = \frac{π}{2} - 1$
方法二：（辅助线法）
如图，O是两弧的交点，过点O作$EF// DC$，交AD、BC于点E、F，连接DO、AO，
$\because$ 四边形ABCD为正方形，
$\therefore DC// AB,AB=BC=CD=DA=1,∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°$，
$\therefore DC// EF// AB$，
由题意知$DO=AO=1=DA$，$\therefore △ ADO$是等边三角形，
$\therefore ∠ ADO=60°$，$\therefore ∠ CDO=30°$。
易知这个图形关于直线EF对称，
$\because S_1=2(S_{\mathrm{扇形}ADO}-S_{△ DEO})$，$S_2=2(S_{\mathrm{矩形}DEFC}-S_{△ DEO}-S_{\mathrm{扇形}CDO})$，
$\therefore S_1 - S_2 = 2(S_{\mathrm{扇形}ADO}-S_{△ DEO})-2(S_{\mathrm{矩形}DEFC}-S_{△ DEO}-S_{\mathrm{扇形}CDO})$
$= 2(S_{\mathrm{扇形}ADO}+S_{\mathrm{扇形}CDO}-S_{\mathrm{矩形}DEFC})$
$=2S_{\mathrm{扇形}CDA}-S_{\mathrm{正方形}ABCD}$
$=2×\frac{90π× 1^2}{360}-1^2=\frac{π}{2}-1$。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，正方形性质
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的计算，核心是运用转化思想，将未知的不规则图形面积问题转化为已知的正方形、扇形等规则图形的面积运算，解题时要注意观察图形各部分的重叠、包含关系，灵活选择简便方法，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.6
3.「2026江苏无锡锡山期中」如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC=6,BD=8$,分别以点$A,B,C,D$为圆心,$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,与该菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为 (
A.$18\sqrt{3}-9π$
B.$9\sqrt{3}-3π$
C.$24-\frac{25}{4}π$
D.$12-\frac{25}{4}π$
C
)A.$18\sqrt{3}-9π$
B.$9\sqrt{3}-3π$
C.$24-\frac{25}{4}π$
D.$12-\frac{25}{4}π$
答案
3.C 设AC与BD的交点为O(图略),$\because$ 四边形ABCD是菱形,$AC=6,BD=8,\therefore OA=OC=3,OB=OD=4$,$AC⊥ BD,\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5,\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=\frac{1}{2}× 6× 8-π× (\frac{5}{2})^2=24-\frac{25}{4}π.$故选 C.
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法，用菱形的总面积减去空白部分的面积即可。首先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长AB，即可得到扇形的半径；其次观察四个空白扇形，它们的圆心角之和为菱形的内角和360°，因此四个扇形的面积和恰好等于半径为$\frac{1}{2}AB$的整圆的面积；最后分别计算菱形面积和圆的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，$AC=6$，$BD=8$，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=4$，且$AC⊥BD$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴扇形的半径为$\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，
∵菱形的四个内角和为360°，
∴四个空白扇形的面积和等于半径为$\frac{5}{2}$的圆的面积，
菱形面积为：$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
空白部分总面积为：$S_{\mathrm{空白}}=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}π$，
∴阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴影}}=24-\frac{25}{4}π$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常考题型，解题的核心是利用割补法将不规则面积转化为规则图形面积的差，难点在于发现四个扇形的面积和恰好为一个整圆的面积，整体解题思路清晰，运算量不大。
【难度系数】
0.7
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法，用菱形的总面积减去空白部分的面积即可。首先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长AB，即可得到扇形的半径；其次观察四个空白扇形，它们的圆心角之和为菱形的内角和360°，因此四个扇形的面积和恰好等于半径为$\frac{1}{2}AB$的整圆的面积；最后分别计算菱形面积和圆的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，$AC=6$，$BD=8$，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=4$，且$AC⊥BD$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴扇形的半径为$\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，
∵菱形的四个内角和为360°，
∴四个空白扇形的面积和等于半径为$\frac{5}{2}$的圆的面积，
菱形面积为：$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
空白部分总面积为：$S_{\mathrm{空白}}=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}π$，
∴阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴影}}=24-\frac{25}{4}π$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常考题型，解题的核心是利用割补法将不规则面积转化为规则图形面积的差，难点在于发现四个扇形的面积和恰好为一个整圆的面积，整体解题思路清晰，运算量不大。
【难度系数】
0.7
4.「2026江苏扬州邗江梅苑双语学校期中」如图,半径为5的扇形AOB中,$∠ AOB=90°$,点C在OB上,点E在OA上,点D在弧AB上,四边形OCDE是正方形,则图中阴影部分的面积为
$\frac{25π}{8}$
.答案
4.答案 $\frac{25π}{8}$
解析 如图,连接OD,交CE于点F.
$\because$ 四边形OCDE是正方形,
$\therefore S_{△ OEF}=S_{△ FCD},∠ EOD=45°,$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOD}=\frac{45π× 5^2}{360}=\frac{25π}{8}.$
解析
【分析】
本题求解不规则阴影部分的面积，核心思路是通过割补法将不规则图形转化为规则图形计算。首先观察图形特征，四边形OCDE为正方形，我们可连接OD，利用正方形的性质：正方形对角线平分内角，且对角线分割正方形得到的小三角形面积两两相等，可得$△ OEF$和$△ FCD$面积相等，此时两块阴影可拼接为圆心角45°的扇形AOD，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：如图，连接OD，交CE于点F。
∵ 四边形OCDE是正方形，
∴ OD平分$∠ AOB$，且$S_{△ OEF}=S_{△ FCD}$，
∴ $∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴ 阴影部分面积可转化为扇形AOD的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=45，r=5得：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOD}=\frac{45π × 5^2}{360}=\frac{25π}{8}$。
【答案】
$\frac{25π}{8}$
【知识点】
扇形面积计算，正方形的性质，割补法求面积
【点评】
本题是与圆有关的不规则面积计算的常考题型，解题关键是借助正方形的性质完成阴影部分的拼接转化，将未知的不规则面积转化为熟悉的扇形面积求解，解题时要注意准确确定对应扇形的圆心角和半径。
【难度系数】
0.6
本题求解不规则阴影部分的面积，核心思路是通过割补法将不规则图形转化为规则图形计算。首先观察图形特征，四边形OCDE为正方形，我们可连接OD，利用正方形的性质：正方形对角线平分内角，且对角线分割正方形得到的小三角形面积两两相等，可得$△ OEF$和$△ FCD$面积相等，此时两块阴影可拼接为圆心角45°的扇形AOD，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：如图，连接OD，交CE于点F。
∵ 四边形OCDE是正方形，
∴ OD平分$∠ AOB$，且$S_{△ OEF}=S_{△ FCD}$，
∴ $∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴ 阴影部分面积可转化为扇形AOD的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=45，r=5得：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOD}=\frac{45π × 5^2}{360}=\frac{25π}{8}$。
【答案】
$\frac{25π}{8}$
【知识点】
扇形面积计算，正方形的性质，割补法求面积
【点评】
本题是与圆有关的不规则面积计算的常考题型，解题关键是借助正方形的性质完成阴影部分的拼接转化，将未知的不规则面积转化为熟悉的扇形面积求解，解题时要注意准确确定对应扇形的圆心角和半径。
【难度系数】
0.6
5.「2026江苏南京鼓楼育英外国语学校月考」如图，AB为$\odot O$的直径，CD，EF是$\odot O$的弦，且$AB// CD// EF$，$AB=8$，$CD=5$，连接$AE$，$AF$，$BC$，$BD$，图中阴影部分的面积为$8π$，则$EF=$
$\sqrt{39}$
。答案
5.答案 $\sqrt{39}$
解析 如图,连接OC,OD,OE,OF,延长CO交$\odot O$于点G,连接DG,
$\because AB// CD// EF,$
$\therefore S_{△ BCD}=S_{△ OCD},S_{△ AEF}=S_{△ OEF},$
$\therefore$ 直径AB上方阴影部分的面积与扇形OCD的面积相等,直径AB下方阴影部分的面积与扇形OEF的面积相等,
$\because \odot O$的面积$=π× (\frac{8}{2})^2=16π,$阴影部分的面积为$8π,$
$\therefore$ 图中阴影部分的面积为圆面积的一半,
$\therefore ∠ COD+∠ EOF=180°,$
$\because ∠ DOG+∠ COD=180°,\therefore ∠ DOG=∠ EOF,$
$\therefore DG=EF,$
$\because CG$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ CDG=90°,CG=AB=8,$
$\therefore EF=DG=\sqrt{CG^2-CD^2}=\sqrt{39}.$
解析
【分析】
要求EF的长度，需先将不规则阴影面积转化为规则图形面积求解：①已知$AB// CD// EF$，根据平行线间距离处处相等，可得$△ BCD$与$△ OCD$同底等高、$△ AEF$与$△ OEF$同底等高，两组三角形面积分别相等，因此上下两部分阴影面积可分别转化为扇形$OCD$、扇形$OEF$的面积；②计算得圆的总面积为$16π$，已知阴影面积为$8π$，恰好是圆面积的一半，说明两个扇形的圆心角之和为$180°$；③延长$CO$作直径$CG$，可得$∠ COD+∠ DOG=180°$，因此$∠ DOG=∠ EOF$，根据同圆中相等圆心角所对弦相等，可得$DG=EF$；④$CG$是直径，根据直径所对圆周角为直角，可知$△ CDG$是直角三角形，用勾股定理计算$DG$的长度即为$EF$的长度。
【解析】
如图，连接$OC,OD,OE,OF$，延长$CO$交$\odot O$于点$G$，连接$DG$，
$\because AB// CD// EF,$
$\therefore$ 点$B$和点$O$到$CD$的距离相等，点$A$和点$O$到$EF$的距离相等，
$\therefore S_{△ BCD}=S_{△ OCD},S_{△ AEF}=S_{△ OEF},$
$\therefore$ 直径$AB$上方阴影部分的面积等于扇形$OCD$的面积，直径$AB$下方阴影部分的面积等于扇形$OEF$的面积。
$\because \odot O$的直径$AB=8$，$\therefore \odot O$的半径为$4$，$\odot O$的面积$=π× 4^2=16π$。
已知阴影部分的面积为$8π$，即$S_{扇形OCD}+S_{扇形OEF}=8π=\frac{1}{2}S_{\odot O}$，
$\therefore ∠ COD+∠ EOF=180°$。
$\because ∠ DOG+∠ COD=180°,\therefore ∠ DOG=∠ EOF,$
同圆中相等的圆心角所对的弦相等，$\therefore DG=EF$。
$\because CG$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ CDG=90°,CG=AB=8,$
在$Rt△ CDG$中，由勾股定理得：
$DG=\sqrt{CG^2-CD^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39},$
$\therefore EF=\sqrt{39}$。
【答案】
$\sqrt{39}$
【知识点】
同底等高三角形面积相等；扇形面积计算；勾股定理
【点评】
本题核心是通过平行线的性质将不规则阴影面积转化为扇形面积，结合圆的圆心角与弦的对应关系、直径所对圆周角为直角的性质，最终用勾股定理求解线段长度，解题的关键是完成阴影面积的转化，找到两个扇形圆心角之和为平角的关系。
【难度系数】
0.6
要求EF的长度，需先将不规则阴影面积转化为规则图形面积求解：①已知$AB// CD// EF$，根据平行线间距离处处相等，可得$△ BCD$与$△ OCD$同底等高、$△ AEF$与$△ OEF$同底等高，两组三角形面积分别相等，因此上下两部分阴影面积可分别转化为扇形$OCD$、扇形$OEF$的面积；②计算得圆的总面积为$16π$，已知阴影面积为$8π$，恰好是圆面积的一半，说明两个扇形的圆心角之和为$180°$；③延长$CO$作直径$CG$，可得$∠ COD+∠ DOG=180°$，因此$∠ DOG=∠ EOF$，根据同圆中相等圆心角所对弦相等，可得$DG=EF$；④$CG$是直径，根据直径所对圆周角为直角，可知$△ CDG$是直角三角形，用勾股定理计算$DG$的长度即为$EF$的长度。
【解析】
如图，连接$OC,OD,OE,OF$，延长$CO$交$\odot O$于点$G$，连接$DG$，
$\because AB// CD// EF,$
$\therefore$ 点$B$和点$O$到$CD$的距离相等，点$A$和点$O$到$EF$的距离相等，
$\therefore S_{△ BCD}=S_{△ OCD},S_{△ AEF}=S_{△ OEF},$
$\therefore$ 直径$AB$上方阴影部分的面积等于扇形$OCD$的面积，直径$AB$下方阴影部分的面积等于扇形$OEF$的面积。
$\because \odot O$的直径$AB=8$，$\therefore \odot O$的半径为$4$，$\odot O$的面积$=π× 4^2=16π$。
已知阴影部分的面积为$8π$，即$S_{扇形OCD}+S_{扇形OEF}=8π=\frac{1}{2}S_{\odot O}$，
$\therefore ∠ COD+∠ EOF=180°$。
$\because ∠ DOG+∠ COD=180°,\therefore ∠ DOG=∠ EOF,$
同圆中相等的圆心角所对的弦相等，$\therefore DG=EF$。
$\because CG$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ CDG=90°,CG=AB=8,$
在$Rt△ CDG$中，由勾股定理得：
$DG=\sqrt{CG^2-CD^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39},$
$\therefore EF=\sqrt{39}$。
【答案】
$\sqrt{39}$
【知识点】
同底等高三角形面积相等；扇形面积计算；勾股定理
【点评】
本题核心是通过平行线的性质将不规则阴影面积转化为扇形面积，结合圆的圆心角与弦的对应关系、直径所对圆周角为直角的性质，最终用勾股定理求解线段长度，解题的关键是完成阴影面积的转化，找到两个扇形圆心角之和为平角的关系。
【难度系数】
0.6
6.「2025 四川绵阳平武期末」如图,正方形ABCD的边长为2,O为对角线的交点,点E,F分别为BC,AD的中点,以C为圆心,2为半径作圆弧BD,再分别以E,F为圆心,1为半径作圆弧BO,OD,则图中阴影部分的面积为 (
A.$π -1$
B.$π -3$
C.$π -2$
D.$4-π$
C
)A.$π -1$
B.$π -3$
C.$π -2$
D.$4-π$
答案
6.C 如图,连接BD,EF,
由题意可得EF,BD经过点O,且$EF⊥ AD,EF⊥ CB.$
$\because$ 正方形ABCD的边长为2,O为对角线的交点,点E,F分别为BC,AD的中点,
$\therefore FD=FO=EO=EB=1,\therefore \overset{\frown}{OB}=\overset{\frown}{OD},OB=OD,$
$\therefore$ 弓形$OB=$弓形$OD,$
$\therefore$ 阴影部分的面积等于弓形BD的面积,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}CBD}-S_{△ CBD}=\frac{90π× 2^2}{360}-\frac{1}{2}× 2× 2=π-2.$
故选 C.
解析
【分析】
求解不规则阴影图形面积时，优先采用割补法将其转化为规则图形的面积和差运算。本题中阴影由多段圆弧围成，直接计算难度大，我们先作辅助线BD、EF，结合正方形的性质、中点的性质可证得弓形OB和弓形OD面积相等，因此可将阴影部分的面积转化为扇形CBD的面积减去△CBD的面积，再分别代入公式计算作差即可。
【解析】
连接BD，EF，
由题意可得EF、BD都经过点O，且$EF⊥AD$，$EF⊥CB$。
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点，
∴$FD=FO=EO=EB=1$，可得$\overset{\frown}{OB}=\overset{\frown}{OD}$，$OB=OD$，
∴弓形OB的面积=弓形OD的面积，即阴影部分的面积等于弓形BD的面积。
因此$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}CBD}-S_{△ CBD}=\frac{90π× 2^2}{360}-\frac{1}{2}× 2× 2=π-2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
割补法求面积，扇形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题是与圆有关的不规则面积计算的典型题型，解题关键是通过割补法实现不规则图形到规则图形的转化，需要熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式，对图形观察和转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
求解不规则阴影图形面积时，优先采用割补法将其转化为规则图形的面积和差运算。本题中阴影由多段圆弧围成，直接计算难度大，我们先作辅助线BD、EF，结合正方形的性质、中点的性质可证得弓形OB和弓形OD面积相等，因此可将阴影部分的面积转化为扇形CBD的面积减去△CBD的面积，再分别代入公式计算作差即可。
【解析】
连接BD，EF，
由题意可得EF、BD都经过点O，且$EF⊥AD$，$EF⊥CB$。
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点，
∴$FD=FO=EO=EB=1$，可得$\overset{\frown}{OB}=\overset{\frown}{OD}$，$OB=OD$，
∴弓形OB的面积=弓形OD的面积，即阴影部分的面积等于弓形BD的面积。
因此$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}CBD}-S_{△ CBD}=\frac{90π× 2^2}{360}-\frac{1}{2}× 2× 2=π-2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
割补法求面积，扇形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题是与圆有关的不规则面积计算的典型题型，解题关键是通过割补法实现不规则图形到规则图形的转化，需要熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式，对图形观察和转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7.「2023山东滨州中考」如图，某玩具品牌的标志由半径为1 cm的三个等圆构成，且三个等圆$\odot O_1$，$\odot O_2$，$\odot O_3$相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（
A.$\frac{1}{4}π$ cm²
B.$\frac{1}{3}π$ cm²
C.$\frac{1}{2}π$ cm²
D.$π$ cm²
C
）A.$\frac{1}{4}π$ cm²
B.$\frac{1}{3}π$ cm²
C.$\frac{1}{2}π$ cm²
D.$π$ cm²
答案
7.C 如图,连接$O_1A,O_2A,O_1B,O_3B,O_2C,O_3C,O_1O_2$,$O_1O_3,O_2O_3$,则$△ O_1AO_2,△ O_1BO_3,△ O_2CO_3,△ O_1O_2O_3$是边长为1 cm的正三角形,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=3S_{\mathrm{扇形}O_1O_2A}=3×\frac{60π× 1^2}{360}=\frac{π}{2}(\mathrm{cm}^2),$故选 C.
解析
【分析】
本题要求不规则阴影部分的总面积，解题核心是用割补法将不规则图形转化为规则图形求解。首先观察到三个是半径为1cm的等圆，且互相经过彼此的圆心，因此任意两个圆心的距离等于半径长度。通过连接各交点与圆心，可构造等边三角形，确定阴影部分对应扇形的圆心角和半径，进而计算总面积。
【解析】
解：如图，连接$O_1A,O_2A,O_1B,O_3B,O_2C,O_3C,O_1O_2$,$O_1O_3,O_2O_3$。
∵三个圆为半径1cm的等圆，且互相经过彼此的圆心，
∴$O_1A=O_2A=O_1O_2=1\mathrm{cm}$，同理$O_1B=O_3B=O_1O_3=1\mathrm{cm}$，$O_2C=O_3C=O_2O_3=1\mathrm{cm}$，
∴$△ O_1AO_2$、$△ O_1BO_3$、$△ O_2CO_3$、$△ O_1O_2O_3$均为边长1cm的等边三角形，内角均为$60°$。
经割补可得，三个阴影部分的面积和等于3个圆心角$60°$、半径1cm的扇形的面积和。
单个扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}\mathrm{cm}^2$
阴影总面积：$S_{\mathrm{阴影}}=3×\frac{π}{6}=\frac{π}{2}\mathrm{cm}^2$
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，等边三角形性质
【点评】
本题是圆相关不规则面积计算的典型题型，解题关键是通过作辅助线构造等边三角形，将不规则阴影面积转化为规则扇形面积之和，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
本题要求不规则阴影部分的总面积，解题核心是用割补法将不规则图形转化为规则图形求解。首先观察到三个是半径为1cm的等圆，且互相经过彼此的圆心，因此任意两个圆心的距离等于半径长度。通过连接各交点与圆心，可构造等边三角形，确定阴影部分对应扇形的圆心角和半径，进而计算总面积。
【解析】
解：如图，连接$O_1A,O_2A,O_1B,O_3B,O_2C,O_3C,O_1O_2$,$O_1O_3,O_2O_3$。
∵三个圆为半径1cm的等圆，且互相经过彼此的圆心，
∴$O_1A=O_2A=O_1O_2=1\mathrm{cm}$，同理$O_1B=O_3B=O_1O_3=1\mathrm{cm}$，$O_2C=O_3C=O_2O_3=1\mathrm{cm}$，
∴$△ O_1AO_2$、$△ O_1BO_3$、$△ O_2CO_3$、$△ O_1O_2O_3$均为边长1cm的等边三角形，内角均为$60°$。
经割补可得，三个阴影部分的面积和等于3个圆心角$60°$、半径1cm的扇形的面积和。
单个扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}\mathrm{cm}^2$
阴影总面积：$S_{\mathrm{阴影}}=3×\frac{π}{6}=\frac{π}{2}\mathrm{cm}^2$
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，等边三角形性质
【点评】
本题是圆相关不规则面积计算的典型题型，解题关键是通过作辅助线构造等边三角形，将不规则阴影面积转化为规则扇形面积之和，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
