1 密度计常用来测量液体的密度.如图①是一款自制的木棒密度计,将木棒依次放入一系列密度已知的液体中,每次当木棒在液体中处于竖直漂浮状态时,在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值ρ,并测量木棒浸入液体的深度h,再利用收集的数据画出如图②所示的ρ与h之间的关系图象.根据图象判断,下列说法正确的是 ()


A.密度ρ越大,深度h越大
B.若$h_1＜h_3＜h_2$,则$ρ_1＜ρ_3＜ρ_2$
C.密度ρ均匀增加时,深度h的变化量相同
D.密度计的刻度线越往上,对应的密度越小

1. D

【分析】
密度计的工作原理是漂浮时浮力等于自身重力，结合阿基米德原理可推导液体密度与浸入深度的关系：漂浮时F浮=G，由阿基米德原理F浮=ρ液gV排，且V排=S·h（S为密度计横截面积，h为浸入深度），可得ρ液与h成反比（ρ液=G/(gSh)），即h越大，对应液体密度越小。据此逐一分析选项即可。
【解析】
密度计竖直漂浮时，浮力等于重力，即F浮=G。根据阿基米德原理F浮=ρ液gV排，且V排=S·h（S为密度计横截面积，h为浸入液体的深度），代入得：ρ液gSh=G，整理得ρ液=G/(gSh)，可知ρ液与h成反比。
选项A：由ρ液与h成反比，密度ρ越大，深度h越小，A错误；
选项B：若h₁＜h₃＜h₂，根据反比关系，h越小ρ越大，故ρ₁＞ρ₃＞ρ₂，B错误；
选项C：ρ液与h成反比，不是线性关系，因此密度ρ均匀增加时，深度h的变化量不相同，C错误；
选项D：密度计刻度线越往上，说明浸入深度h越大，根据ρ液与h成反比，对应的液体密度越小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
密度计原理、阿基米德原理、物体浮沉条件
【点评】
本题考查密度计的工作原理，核心是利用漂浮条件和阿基米德原理推导ρ与h的反比关系，需明确密度计刻度“上小下大”的特点，是对浮沉知识的基础应用。
【难度系数】
0.5

2 浮力式密度计是测量液体密度的仪器(如图①),通常是一个密封的玻璃管,底部有重物,上部有刻度,把它放入液体中,它会竖直漂浮.密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h(单位:cm),且液体密度ρ(单位:g/cm³)是浸没深度h(单位:cm)的反比例函数.小明在家里制作了如图②所示的简易浮力式密度计,经过测量与查阅资料得到h与ρ之间的对应关系如下表:

(1) $m=$,$n=$;
(2) 如果该密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5 cm,最大浸没深度为20 cm,求该密度计能测量的液体密度ρ(单位:g/cm³)的范围.
(第2题)

2. (1) 0.8 1.4 (2) 设反比例函数的表达式为$\rho=\frac{k}{h}$.把$h=14$,$\rho=1$代入,得$1=\frac{k}{14}$,解得$k=14$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$\rho=\frac{14}{h}$.
当$h=5$时,$\rho=\frac{14}{5}=2.8$;当$h=20$时,$\rho=\frac{14}{20}=0.7$.$\therefore$ 该密度计能测量的液体密度$\rho$(单位:$\mathrm{g/cm}^3$)的范围是$0.7≤\rho≤2.8$

【分析】本题结合浮力密度计的实际场景，核心是利用“液体密度ρ与浸没深度h成反比例函数”的关系解题。首先需设出反比例函数表达式，通过已知对应值求出函数解析式；再将对应h或ρ代入解析式，解决第一问的m、n值；最后利用反比例函数的增减性，结合h的取值范围求出ρ的范围。
【解析】
(1) 因为ρ是h的反比例函数，设表达式为$\rho=\frac{k}{h}(k≠0)$。
选取表格中已知的$h=14$、$\rho=1$代入，得$1=\frac{k}{14}$，解得$k=14$，故反比例函数为$\rho=\frac{14}{h}$。
当$h=17.5$时，$\rho=\frac{14}{17.5}=0.8$，即$m=0.8$；
当$h=10$时，$\rho=\frac{14}{10}=1.4$，即$n=1.4$。
(2) 已知密度计的浸没深度范围为$5cm≤h≤20cm$，由于$\rho=\frac{14}{h}$中$k=14＞0$，ρ随h增大而减小：
当$h=5$时，$\rho=\frac{14}{5}=2.8$；
当$h=20$时，$\rho=\frac{14}{20}=0.7$；
因此ρ的范围为$0.7≤ρ≤2.8$。
【答案】(1) $0.8$；$1.4$ (2) $0.7≤ρ≤2.8$
【知识点】反比例函数的应用、实际问题中反比例函数的性质
【点评】本题将物理浮力知识与数学反比例函数结合，重点考查反比例函数解析式的求解及性质的应用，需注意反比例函数在$k＞0$时的增减性，是跨学科结合的基础题型。
【难度系数】0.5