9.(2025·鼓楼区三模)如图,点$A(4,a)$在双曲线$y=\frac{8}{x}(x＞0)$上,作直线$OA$交双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$于点$B$,过点$A$作$AC⊥y$轴于点$C$,连接$BC$,已知$△ ABC$的面积为$2$,那么$k=$.

9.18

10.(25分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=2x+b$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于点$A,B$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$C$,连接$OC$.已知点$B(0,4)$,$△ BOC$的面积是2.
求:(1)$b,k$的值;
(2)$△ AOC$的面积.

10.解:(1)
∵一次函数$y=2x+b$的图象过点$B(0,4)$,
∴$b=4$,
∴一次函数的表达式为$y=2x+4$.
∵$OB=4$,$△ BOC$的面积是2,
∴$\frac{1}{2}OB· x_C=2$,即$\frac{1}{2}×4× x_C=2$,解得$x_C=1$.
把$x=1$代入$y=2x+4$,得$y=6$,
∴$C(1,6)$.
∵点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
∴$k=1×6=6$.
(2)把$y=0$代入$y=2x+4$,得$2x+4=0$,解得$x=-2$,
∴$A(-2,0)$,
∴$OA=2$,
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×2×6=6$.

11.(30分)如图,一次函数$y=k_1x+1$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的图象相交于A,B两点,点C在$x$轴正半轴上,点$D(1,-2)$,连接$OA,OD,DC,AC$,四边形$OACD$为菱形.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)根据图象,直接写出反比例函数值大于一次函数值时$x$的取值范围;
(3)设$P$是直线$AB$上一个动点,且$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}OACD}$,求点$P$的坐标.

11.解:(1)如答图,连接AD,交x轴于点E.

∵四边形AODC是菱形,
∴$AD⊥ OC$,$AE=DE$,$EC=OE$.
∵$D(1,-2)$,
∴$OE=1$,$ED=2$,
∴$AE=DE=2$,$EC=OE=1$,
∴$A(1,2)$.
将$A(1,2)$代入直线$y=k_1x+1$,得$k_1+1=2$,
解得$k_1=1$.
将$A(1,2)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$,得$2=\frac{k_2}{1}$,
解得$k_2=2$.
∴一次函数的表达式为$y=x+1$,反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$.
(2)联立一次函数与反比例函数表达式,得$\begin{cases} y=x+1,\\ y=\dfrac{2}{x}, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-2,\\ y=-1, \end{cases}$
则反比例函数值大于一次函数值时,$x$的取值范围为
$x＜-2$或$0＜x＜1$.
(3)
∵$OC=2OE=2$,$AD=2DE=4$,
∴$S_{\mathrm{菱形}OACD}=\frac{1}{2}OC· AD=4$.
∵$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}OACD}$,
∴$S_{△ OAP}=2$.
设$P(a,a+1)$,直线$AB$与$y$轴相交于点$F$,
则$F(0,1)$,
∴$OF=1$.
∵$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$,
当点$P$在点$A$的左侧时,$S_{△ FOP}=\frac{1}{2}(-a)· OF=-\frac{1}{2}a=S_{△ OAP}-S_{△ OAF}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,
解得$a=-3$,$a+1=-2$,
∴$P(-3,-2)$;
当点$P$在点$A$的右侧时,$S_{△ FOP}=\frac{1}{2}a· OF=\frac{1}{2}a=S_{△ OAP}+S_{△ OAF}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$,
解得$a=5$,$a+1=6$,
∴$P(5,6)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(-3,-2)$或$(5,6)$.