23. (9分)长方形$OABC$的位置如图所示,点$B$的坐标为(8,4),点$P$和点$Q$分别在线段$OC,OA$上运动.点$P$从点$C$出发向点$O$移动,速度为每秒1个单位长度;点$Q$同时从点$O$出发向点$A$移动,速度为每秒2个单位长度.
(1)请写出点$A,C$的坐标;
(2)几秒后,$P,Q$两点到原点的距离相等?
(3)在点$P,Q$移动过程中,四边形$OPBQ$的面积有何变化,说明理由.

解：
(1) 因为长方形$OABC$中，$OA$在$x$轴上，$OC$在$y$轴上，点$B$的坐标为$(8,4)$，
所以点$A$的坐标为$(8,0)$，点$C$的坐标为$(0,4)$。
(2) 设$t$秒后，$P,Q$两点到原点的距离相等。
此时$OP=4-t$，$OQ=2t$，
根据题意列方程：$4-t=2t$，
解得$t=\frac{4}{3}$。
答：$\frac{4}{3}$秒后，$P,Q$两点到原点的距离相等。
(3) 四边形$OPBQ$的面积保持不变，理由如下：
长方形$OABC$的面积为$8×4=32$，
$△ BCP$的面积为$\frac{1}{2}×8× t=4t$，
$△ ABQ$的面积为$\frac{1}{2}×4×(8-2t)=16-4t$，
则四边形$OPBQ$的面积为：
$32 - 4t - (16-4t)=32-4t-16+4t=16$，
所以在点$P,Q$移动过程中，四边形$OPBQ$的面积始终为16，保持不变。

24. (12分)如图所示,已知点$A(1,0)$,点$B$在$y$轴上,将$△ OAB$沿$x$轴负方向平移,平移后的图形为$△ DEC$,点$C$的坐标为$(a,b)$,且$a=\sqrt{b-2}+\sqrt{2-b}-3$.
(1)直接写出点$C$的坐标:;
(2)直接写出点$E$的坐标:;
(3)点$P$是$CE$上一动点,设$∠ CBP=x°$,$∠ PAD=y°$,$∠ BPA=z°$,确定$x,y,z$之间的数量关系,并证明你的结论.

解：
(1) 由二次根式被开方数的非负性，得
$\begin{cases} b-2≥0 \\ 2-b≥0 \end{cases}$，
解得$b=2$，
将$b=2$代入$a=\sqrt{b-2}+\sqrt{2-b}-3$，得$a=-3$，
∴点$C$的坐标为$\boldsymbol{(-3,2)}$。
(2) 由平移性质可知，$△ OAB$向左平移3个单位得到$△ DEC$，
点$A(1,0)$向左平移3个单位后，横坐标为$1-3=-2$，纵坐标不变，
∴点$E$的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$。
(3) $z=x+y$，证明如下：
过点$P$作$PF// BC$，
∵$△ OAB$平移得到$△ DEC$，∴$BC// AD$，
∴$PF// AD$，
∵$PF// BC$，∴$∠ CBP=∠ BPF=x°$，
∵$PF// AD$，∴$∠ PAD=∠ APF=y°$，
∵$∠ BPA=∠ BPF+∠ APF$，
∴$z°=x°+y°$，即$\boldsymbol{z=x+y}$。