4. 小明与小亮做抛硬币游戏,连续抛四次硬币,当其中恰有三次结果相同时,小明赢,而当恰有两次结果相同时,小亮赢,其他情况不计输赢.你认为这个游戏对双方公平吗?
答案
解：
连续抛四次硬币，所有可能的结果总数为 $2 × 2 × 2 × 2 = 16$ 种。
计算小明赢的概率：
恰有三次结果相同包含“三次正面、一次反面”和“三次反面、一次正面”两种情况。
“三次正面、一次反面”的情况有4种：正正正反、正正反正、正反正正、反正正正；
“三次反面、一次正面”的情况有4种：反反反正、反反正反、反正反反、正反反反；
小明赢的总情况数为 $4 + 4 = 8$ 种，
则 $P(\mathrm{小明赢}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$。
计算小亮赢的概率：
恰有两次结果相同即“两次正面、两次反面”，共有6种情况：正正反反、正反正反、正反反正、反正正反、反正反正、反反正正；
则 $P(\mathrm{小亮赢}) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$。
因为 $\frac{1}{2} ≠ \frac{3}{8}$，双方赢的概率不相等，
所以这个游戏对双方不公平。
连续抛四次硬币，所有可能的结果总数为 $2 × 2 × 2 × 2 = 16$ 种。
计算小明赢的概率：
恰有三次结果相同包含“三次正面、一次反面”和“三次反面、一次正面”两种情况。
“三次正面、一次反面”的情况有4种：正正正反、正正反正、正反正正、反正正正；
“三次反面、一次正面”的情况有4种：反反反正、反反正反、反正反反、正反反反；
小明赢的总情况数为 $4 + 4 = 8$ 种，
则 $P(\mathrm{小明赢}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$。
计算小亮赢的概率：
恰有两次结果相同即“两次正面、两次反面”，共有6种情况：正正反反、正反正反、正反反正、反正正反、反正反正、反反正正；
则 $P(\mathrm{小亮赢}) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$。
因为 $\frac{1}{2} ≠ \frac{3}{8}$，双方赢的概率不相等，
所以这个游戏对双方不公平。
5. 小兰和小颖用如图所示的两个可以自由转动的转盘做游戏,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,转动两个转盘各一次,若两次指针所指数字之和小于4,则小兰胜,否则小颖胜.这个游戏对双方公平吗? 为什么?
答案
解：通过列表法列出转动两个转盘各一次的所有等可能结果：
| A盘\B盘 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1)和为2 | (1,2)和为3 | (1,3)和为4 |
| 2 | (2,1)和为3 | (2,2)和为4 | (2,3)和为5 |
共有6种等可能的结果，其中两次指针所指数字之和小于4的结果有3种：(1,1)、(1,2)、(2,1)。
小兰获胜的概率为：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
小颖获胜的概率为：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以这个游戏对双方公平。
| A盘\B盘 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1)和为2 | (1,2)和为3 | (1,3)和为4 |
| 2 | (2,1)和为3 | (2,2)和为4 | (2,3)和为5 |
共有6种等可能的结果，其中两次指针所指数字之和小于4的结果有3种：(1,1)、(1,2)、(2,1)。
小兰获胜的概率为：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
小颖获胜的概率为：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以这个游戏对双方公平。
6. 甲、乙两人做摸球游戏,规则是:一个不透明的袋中装有2个黄球、1个红球和1个白球,它们除颜色外其他都相同.搅匀后,从袋中任意摸出2个球,若摸出的2个球中没有黄球,则甲获胜;若摸出的2个球中有1个红球、1个黄球,则乙获胜;其他情况甲、乙不分胜负.这个游戏对双方公平吗? 为什么?
答案
解：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂，红球记为红，白球记为白。
列出所有摸出2个球的等可能结果：
(黄₁,黄₂)、(黄₁,红)、(黄₁,白)、(黄₂,红)、(黄₂,白)、(红,白)，共6种。
其中，甲获胜的结果只有(红,白)，共1种，
则$P(甲获胜)=\frac{1}{6}$；
乙获胜的结果有(黄₁,红)、(黄₂,红)，共2种，
则$P(乙获胜)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{1}{6}≠\frac{1}{3}$，即甲、乙获胜的概率不相等，
所以这个游戏对双方不公平。
列出所有摸出2个球的等可能结果：
(黄₁,黄₂)、(黄₁,红)、(黄₁,白)、(黄₂,红)、(黄₂,白)、(红,白)，共6种。
其中，甲获胜的结果只有(红,白)，共1种，
则$P(甲获胜)=\frac{1}{6}$；
乙获胜的结果有(黄₁,红)、(黄₂,红)，共2种，
则$P(乙获胜)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{1}{6}≠\frac{1}{3}$，即甲、乙获胜的概率不相等，
所以这个游戏对双方不公平。
7. 甲、乙两人做掷骰子游戏,规则是:将一枚骰子连掷两次,若两次骰子点数之和为2、3、4、5、10、11或12,则甲赢;若两次骰子点数之和为6、7、8或9,则乙赢.这个游戏对双方公平吗? 若不公平,如何修改规则能使这个游戏对双方公平?
答案
解：将一枚骰子连掷两次，共有$6×6=36$种等可能的结果。
1. 计算甲赢的概率：
点数和为2：$(1,1)$，共1种；
点数和为3：$(1,2),(2,1)$，共2种；
点数和为4：$(1,3),(2,2),(3,1)$，共3种；
点数和为5：$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$，共4种；
点数和为10：$(4,6),(5,5),(6,4)$，共3种；
点数和为11：$(5,6),(6,5)$，共2种；
点数和为12：$(6,6)$，共1种；
甲赢的总情况数：$1+2+3+4+3+2+1=16$种，
甲赢的概率：$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$。
2. 计算乙赢的概率：
点数和为6：$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$，共5种；
点数和为7：$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共6种；
点数和为8：$(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$，共5种；
点数和为9：$(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$，共4种；
乙赢的总情况数：$5+6+5+4=20$种，
乙赢的概率：$\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$。
因为$\frac{4}{9}≠\frac{5}{9}$，所以这个游戏对双方不公平。
修改规则示例：若两次骰子点数之和为2、3、5、6、10、11、12，则甲赢；若两次骰子点数之和为4、7、8、9，则乙赢。（或：若两次点数之和小于7，则甲赢；若两次点数之和大于7，则乙赢；若等于7，则重新掷骰子）
1. 计算甲赢的概率：
点数和为2：$(1,1)$，共1种；
点数和为3：$(1,2),(2,1)$，共2种；
点数和为4：$(1,3),(2,2),(3,1)$，共3种；
点数和为5：$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$，共4种；
点数和为10：$(4,6),(5,5),(6,4)$，共3种；
点数和为11：$(5,6),(6,5)$，共2种；
点数和为12：$(6,6)$，共1种；
甲赢的总情况数：$1+2+3+4+3+2+1=16$种，
甲赢的概率：$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$。
2. 计算乙赢的概率：
点数和为6：$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$，共5种；
点数和为7：$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共6种；
点数和为8：$(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$，共5种；
点数和为9：$(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$，共4种；
乙赢的总情况数：$5+6+5+4=20$种，
乙赢的概率：$\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$。
因为$\frac{4}{9}≠\frac{5}{9}$，所以这个游戏对双方不公平。
修改规则示例：若两次骰子点数之和为2、3、5、6、10、11、12，则甲赢；若两次骰子点数之和为4、7、8、9，则乙赢。（或：若两次点数之和小于7，则甲赢；若两次点数之和大于7，则乙赢；若等于7，则重新掷骰子）
