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1. ★★★ 在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中，$∠ BAD=∠ CAE$，$∠ ABD=∠ ACE$.
(1)如图①.
①求证:$△ ABC ∽ △ ADE$；
②若$AB=AC$，试判断$△ ADE$ 的形状，并说明理由.
(2)如图②，在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中，点 $D$ 在边 $BC$ 上，$∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，$∠ B = ∠ ADE$. 求证:$CE ⊥ BC$.
(1)如图①.
①求证:$△ ABC ∽ △ ADE$；
②若$AB=AC$，试判断$△ ADE$ 的形状，并说明理由.
(2)如图②，在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中，点 $D$ 在边 $BC$ 上，$∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，$∠ B = ∠ ADE$. 求证:$CE ⊥ BC$.
答案
1.(1)①$\because ∠ BAD = ∠ CAE, ∠ ABD = ∠ ACE, \therefore △ ABD ∽ △ ACE$,
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$. 又$\because ∠ BAD = ∠ CAE, \therefore ∠ BAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$,即$∠ BAC = ∠ DAE, \therefore △ ABC ∽ △ ADE$.
②$△ ADE$是等腰三角形.理由:由①知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.$\because AB=AC, \therefore AD=AE$,即$△ ADE$是等腰三角形.
(2)$\because ∠ BAC = ∠ DAE, ∠ B = ∠ ADE, \therefore △ BAC ∽ △ DAE, \therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,即$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$. 又$\because ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC, \therefore ∠ BAD = ∠ CAE$,
$\therefore △ BAD ∽ △ CAE, \therefore ∠ B = ∠ ACE. \because ∠ BAC = 90°, \therefore ∠ B + ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ ACE + ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ BCE = 90°, \therefore CE ⊥ BC$.
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$. 又$\because ∠ BAD = ∠ CAE, \therefore ∠ BAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$,即$∠ BAC = ∠ DAE, \therefore △ ABC ∽ △ ADE$.
②$△ ADE$是等腰三角形.理由:由①知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.$\because AB=AC, \therefore AD=AE$,即$△ ADE$是等腰三角形.
(2)$\because ∠ BAC = ∠ DAE, ∠ B = ∠ ADE, \therefore △ BAC ∽ △ DAE, \therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,即$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$. 又$\because ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC, \therefore ∠ BAD = ∠ CAE$,
$\therefore △ BAD ∽ △ CAE, \therefore ∠ B = ∠ ACE. \because ∠ BAC = 90°, \therefore ∠ B + ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ ACE + ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ BCE = 90°, \therefore CE ⊥ BC$.
解析
【分析】
(1)①要证△ABC∽△ADE，可通过“两边对应成比例且夹角相等”证明。首先利用已知的两组等角证△ABD∽△ACE，得到对应边成比例；再通过∠BAD=∠CAE推导公共角相加后得到∠BAC=∠DAE，结合边的比例即可完成证明。
②判断△ADE的形状，结合①得到的边的比例关系，代入AB=AC的条件，可推出AD=AE，即可判断三角形类型。
(2)要证CE⊥BC，即证∠BCE=90°。首先利用已知等角证△BAC∽△DAE，得到对应边成比例，再推导得到∠BAD=∠CAE，证△BAD∽△CAE，得到∠B=∠ACE，结合Rt△ABC中两锐角互余的性质，即可推出∠ACE+∠ACB=90°，得到垂直关系。
【解析】
(1)①证明：
∵$∠ BAD=∠ CAE$，$∠ ABD=∠ ACE$，
∴$△ ABD ∽ △ ACE$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
又
∵$∠ BAD=∠ CAE$，
∴$∠ BAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$，即$∠ BAC = ∠ DAE$，
∴$△ ABC ∽ △ ADE$。
②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：
由①知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
∵$AB=AC$，
∴$AD=AE$，即△ADE是等腰三角形。
(2)证明：
∵$∠ BAC = ∠ DAE$，$∠ B = ∠ ADE$，
∴$△ BAC ∽ △ DAE$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
又
∵$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，
∴$∠ BAD = ∠ CAE$，
∴$△ BAD ∽ △ CAE$，
∴$∠ B = ∠ ACE$。
∵$∠ BAC = 90°$，
∴$∠ B + ∠ ACB = 90°$，
∴$∠ ACE + ∠ ACB = 90°$，即$∠ BCE = 90°$，
∴$CE ⊥ BC$。
【答案】
(1)①$△ABC∽△ADE$，证明成立；②△ADE是等腰三角形；(2)$CE⊥BC$，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形“手拉手”模型的典型习题，解题关键是先通过已知等角证出第一组相似三角形，得到边的比例关系和角的等量关系，再逐步推导待证结论，熟练掌握相似的判定定理和性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
(1)①要证△ABC∽△ADE，可通过“两边对应成比例且夹角相等”证明。首先利用已知的两组等角证△ABD∽△ACE，得到对应边成比例；再通过∠BAD=∠CAE推导公共角相加后得到∠BAC=∠DAE，结合边的比例即可完成证明。
②判断△ADE的形状，结合①得到的边的比例关系，代入AB=AC的条件，可推出AD=AE，即可判断三角形类型。
(2)要证CE⊥BC，即证∠BCE=90°。首先利用已知等角证△BAC∽△DAE，得到对应边成比例，再推导得到∠BAD=∠CAE，证△BAD∽△CAE，得到∠B=∠ACE，结合Rt△ABC中两锐角互余的性质，即可推出∠ACE+∠ACB=90°，得到垂直关系。
【解析】
(1)①证明：
∵$∠ BAD=∠ CAE$，$∠ ABD=∠ ACE$，
∴$△ ABD ∽ △ ACE$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
又
∵$∠ BAD=∠ CAE$，
∴$∠ BAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$，即$∠ BAC = ∠ DAE$，
∴$△ ABC ∽ △ ADE$。
②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：
由①知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
∵$AB=AC$，
∴$AD=AE$，即△ADE是等腰三角形。
(2)证明：
∵$∠ BAC = ∠ DAE$，$∠ B = ∠ ADE$，
∴$△ BAC ∽ △ DAE$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
又
∵$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，
∴$∠ BAD = ∠ CAE$，
∴$△ BAD ∽ △ CAE$，
∴$∠ B = ∠ ACE$。
∵$∠ BAC = 90°$，
∴$∠ B + ∠ ACB = 90°$，
∴$∠ ACE + ∠ ACB = 90°$，即$∠ BCE = 90°$，
∴$CE ⊥ BC$。
【答案】
(1)①$△ABC∽△ADE$，证明成立；②△ADE是等腰三角形；(2)$CE⊥BC$，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形“手拉手”模型的典型习题，解题关键是先通过已知等角证出第一组相似三角形，得到边的比例关系和角的等量关系，再逐步推导待证结论，熟练掌握相似的判定定理和性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
2. 如图,四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形,将正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转,连结AG,DF,CE.
(1)求证:$AG=CE$.
(2)在正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转的过程中,$\frac{DF}{CE}$的值是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,说明理由.
进一步挑战进阶专题:P103 专题17
(1)求证:$AG=CE$.
(2)在正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转的过程中,$\frac{DF}{CE}$的值是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,说明理由.
进一步挑战进阶专题:P103 专题17
答案
2.(1)$\because$ 四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形, $\therefore ∠ ABC = ∠ GBE = 90°, AB=BC, BG=BE, \therefore ∠ ABC - ∠ GBC = ∠ GBE - ∠ GBC$,即$∠ ABG = ∠ CBE$. 在$△ ABG$和$△ CBE$中, $\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABG = ∠ CBE, \\ BG=BE, \end{cases}$ $\therefore △ ABG ≌ △ CBE (\mathrm{SAS}), \therefore AG=CE$.
(2)$\frac{DF}{CE}$的值不发生变化. 如图,连结BD,BF.
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 45°, ∠ 2 + ∠ 3 = 45°, \therefore ∠ 1 = ∠ 3$. 在$\mathrm{Rt}△ DBC$中, $\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$, 在$\mathrm{Rt}△ FBE$中, $\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$,
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{BF}{BE}, \therefore △ BDF ∽ △ BCE$, 同理,当正方形BEFG旋转到其他位置时,也可得$△ BDF ∽ △ BCE, \therefore \frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。本题中AG在△ABG中，CE在△CBE中，结合正方形的性质可找到两组对应边相等，再通过角的和差得到夹角相等，即可用SAS证全等得到AG=CE。
(2) 要判断$\frac{DF}{CE}$的值是否变化，可构造包含DF、CE的相似三角形。连接两个正方形的对角线BD、BF，利用正方形对角线与边长的固定比值，结合角的和差得到两组对应边成比例且夹角相等，证明△BDF∽△BCE，即可得到比值为固定值，不随旋转发生变化。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形，
∴∠ABC=∠GBE=90°，AB=BC，BG=BE，
∴∠ABC - ∠GBC = ∠GBE - ∠GBC，即∠ABG=∠CBE。
在△ABG和△CBE中：
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABG = ∠CBE, \\ BG=BE, \end{cases}$
∴△ABG ≌ △CBE（SAS），
∴AG=CE。
(2) 解：$\frac{DF}{CE}$的值不发生变化，求解如下：
连结BD，BF。
∵∠1 + ∠2 = 45°，∠2 + ∠3 = 45°，
∴∠1 = ∠3。
在Rt△DBC中，由正方形性质得$\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$，
在Rt△FBE中，由正方形性质得$\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BF}{BE}$，
∴△BDF ∽ △BCE，同理当正方形BEFG旋转到其他位置时，也可证得△BDF ∽ △BCE，
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$。
【答案】
2.(1)$\because$ 四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形, $\therefore ∠ ABC = ∠ GBE = 90°, AB=BC, BG=BE, \therefore ∠ ABC - ∠ GBC = ∠ GBE - ∠ GBC$,即$∠ ABG = ∠ CBE$. 在$△ ABG$和$△ CBE$中, $\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABG = ∠ CBE, \\ BG=BE, \end{cases}$ $\therefore △ ABG ≌ △ CBE (\mathrm{SAS}), \therefore AG=CE$.
(2)$\frac{DF}{CE}$的值不发生变化. 如图,连结BD,BF.
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 45°, ∠ 2 + ∠ 3 = 45°, \therefore ∠ 1 = ∠ 3$. 在$\mathrm{Rt}△ DBC$中, $\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$, 在$\mathrm{Rt}△ FBE$中, $\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$,
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{BF}{BE}, \therefore △ BDF ∽ △ BCE$, 同理,当正方形BEFG旋转到其他位置时,也可得$△ BDF ∽ △ BCE, \therefore \frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是手拉手模型的典型应用，既考查了通过全等证明线段相等的基础方法，也考查了动态几何问题中不变量的分析思路，需要熟练掌握特殊图形的边角特性，灵活运用全等、相似的判定定理解决问题。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。本题中AG在△ABG中，CE在△CBE中，结合正方形的性质可找到两组对应边相等，再通过角的和差得到夹角相等，即可用SAS证全等得到AG=CE。
(2) 要判断$\frac{DF}{CE}$的值是否变化，可构造包含DF、CE的相似三角形。连接两个正方形的对角线BD、BF，利用正方形对角线与边长的固定比值，结合角的和差得到两组对应边成比例且夹角相等，证明△BDF∽△BCE，即可得到比值为固定值，不随旋转发生变化。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形，
∴∠ABC=∠GBE=90°，AB=BC，BG=BE，
∴∠ABC - ∠GBC = ∠GBE - ∠GBC，即∠ABG=∠CBE。
在△ABG和△CBE中：
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABG = ∠CBE, \\ BG=BE, \end{cases}$
∴△ABG ≌ △CBE（SAS），
∴AG=CE。
(2) 解：$\frac{DF}{CE}$的值不发生变化，求解如下：
连结BD，BF。
∵∠1 + ∠2 = 45°，∠2 + ∠3 = 45°，
∴∠1 = ∠3。
在Rt△DBC中，由正方形性质得$\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$，
在Rt△FBE中，由正方形性质得$\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BF}{BE}$，
∴△BDF ∽ △BCE，同理当正方形BEFG旋转到其他位置时，也可证得△BDF ∽ △BCE，
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$。
【答案】
2.(1)$\because$ 四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形, $\therefore ∠ ABC = ∠ GBE = 90°, AB=BC, BG=BE, \therefore ∠ ABC - ∠ GBC = ∠ GBE - ∠ GBC$,即$∠ ABG = ∠ CBE$. 在$△ ABG$和$△ CBE$中, $\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABG = ∠ CBE, \\ BG=BE, \end{cases}$ $\therefore △ ABG ≌ △ CBE (\mathrm{SAS}), \therefore AG=CE$.
(2)$\frac{DF}{CE}$的值不发生变化. 如图,连结BD,BF.
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 45°, ∠ 2 + ∠ 3 = 45°, \therefore ∠ 1 = ∠ 3$. 在$\mathrm{Rt}△ DBC$中, $\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$, 在$\mathrm{Rt}△ FBE$中, $\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$,
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{BF}{BE}, \therefore △ BDF ∽ △ BCE$, 同理,当正方形BEFG旋转到其他位置时,也可得$△ BDF ∽ △ BCE, \therefore \frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是手拉手模型的典型应用，既考查了通过全等证明线段相等的基础方法，也考查了动态几何问题中不变量的分析思路，需要熟练掌握特殊图形的边角特性，灵活运用全等、相似的判定定理解决问题。
【难度系数】
0.6
