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1. 在$△ ABC$中，$∠ A=30°$.
（1）若点$O$是$△ ABC$的外心，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$；
（2）若点$O$是$△ ABC$的内心，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$.
（1）若点$O$是$△ ABC$的外心，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$；
（2）若点$O$是$△ ABC$的内心，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
(1) $\boldsymbol{60}$；(2) $\boldsymbol{105}$
解析
【分析】
本题分为两小问，分别考查三角形外心、内心的性质应用：
(1) 首先明确外心是三角形外接圆的圆心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠A是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，直接代入∠A的度数即可计算；
(2) 首先明确内心是三角形三条角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再求出两个角的半角之和，最后在△BOC中利用内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
(1)
∵O是△ABC的外心，
∴O是△ABC外接圆的圆心，∠A、∠BOC分别是弧BC所对的圆周角和圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°；
(2)
∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=150°，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-75°=105°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$；(2) $\boldsymbol{105}$
【知识点】
1. 圆周角定理；2. 三角形外心的性质；3. 三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础类几何计算题，核心考查三角形特殊点（外心、内心）的性质，结合圆周角定理和三角形内角和即可求解，解题的关键是准确区分外心和内心的定义及对应性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，分别考查三角形外心、内心的性质应用：
(1) 首先明确外心是三角形外接圆的圆心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠A是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，直接代入∠A的度数即可计算；
(2) 首先明确内心是三角形三条角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再求出两个角的半角之和，最后在△BOC中利用内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
(1)
∵O是△ABC的外心，
∴O是△ABC外接圆的圆心，∠A、∠BOC分别是弧BC所对的圆周角和圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°；
(2)
∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=150°，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-75°=105°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$；(2) $\boldsymbol{105}$
【知识点】
1. 圆周角定理；2. 三角形外心的性质；3. 三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础类几何计算题，核心考查三角形特殊点（外心、内心）的性质，结合圆周角定理和三角形内角和即可求解，解题的关键是准确区分外心和内心的定义及对应性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形的高的比为（）
A.$1:2:3$
B.$2:3:4$
C.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:\sqrt{3}:2$
A.$1:2:3$
B.$2:3:4$
C.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:\sqrt{3}:2$
答案
A
解析
【分析】
首先回忆等边三角形的特殊性质：等边三角形的内心（内切圆圆心）、外心（外接圆圆心）、重心、垂心四心重合，因此内切圆半径是圆心到边的距离，外接圆半径是圆心到顶点的距离，而三角形的高恰好过该圆心。再结合重心的性质：重心分三角形的高（中线）为2:1的两段，靠近顶点的段长为外接圆半径，靠近边的段长为内切圆半径，高为两段之和，即可快速推导三者的比值；也可以通过设等边三角形的边长为参数，分别计算出内切圆半径、外接圆半径和高的长度，再化简得到比值。
【解析】
方法1：利用等边三角形四心重合和重心性质
等边三角形的内心、外心、重心重合，设内切圆半径为$r$，外接圆半径为$R$，高为$h$。
根据重心的性质：重心将三角形的高分为长度比为$2:1$的两段，其中靠近顶点的段长为外接圆半径$R$，靠近边的段长为内切圆半径$r$，因此$R=2r$。
而高$h = R + r = 2r + r = 3r$，因此$r:R:h = r:2r:3r = 1:2:3$。
方法2：参数计算法
设等边三角形的边长为$a$：
① 等边三角形的高$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$；
② 外接圆半径$R$：等边三角形外接圆半径公式为$R = \frac{\sqrt{3}}{3}a$；
③ 内切圆半径$r$：等边三角形内切圆半径公式为$r = \frac{\sqrt{3}}{6}a$。
因此$r:R:h = \frac{\sqrt{3}}{6}a : \frac{\sqrt{3}}{3}a : \frac{\sqrt{3}}{2}a$，各项同时约去$\sqrt{3}a$，再同乘6化简得$1:2:3$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形性质；三角形内切圆与外接圆；重心性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是利用等边三角形四心重合的特点，既可以通过重心的比例性质快速得到结果，也可以通过设边长计算各量的具体数值化简得到比值，掌握等边三角形的特殊性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先回忆等边三角形的特殊性质：等边三角形的内心（内切圆圆心）、外心（外接圆圆心）、重心、垂心四心重合，因此内切圆半径是圆心到边的距离，外接圆半径是圆心到顶点的距离，而三角形的高恰好过该圆心。再结合重心的性质：重心分三角形的高（中线）为2:1的两段，靠近顶点的段长为外接圆半径，靠近边的段长为内切圆半径，高为两段之和，即可快速推导三者的比值；也可以通过设等边三角形的边长为参数，分别计算出内切圆半径、外接圆半径和高的长度，再化简得到比值。
【解析】
方法1：利用等边三角形四心重合和重心性质
等边三角形的内心、外心、重心重合，设内切圆半径为$r$，外接圆半径为$R$，高为$h$。
根据重心的性质：重心将三角形的高分为长度比为$2:1$的两段，其中靠近顶点的段长为外接圆半径$R$，靠近边的段长为内切圆半径$r$，因此$R=2r$。
而高$h = R + r = 2r + r = 3r$，因此$r:R:h = r:2r:3r = 1:2:3$。
方法2：参数计算法
设等边三角形的边长为$a$：
① 等边三角形的高$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$；
② 外接圆半径$R$：等边三角形外接圆半径公式为$R = \frac{\sqrt{3}}{3}a$；
③ 内切圆半径$r$：等边三角形内切圆半径公式为$r = \frac{\sqrt{3}}{6}a$。
因此$r:R:h = \frac{\sqrt{3}}{6}a : \frac{\sqrt{3}}{3}a : \frac{\sqrt{3}}{2}a$，各项同时约去$\sqrt{3}a$，再同乘6化简得$1:2:3$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形性质；三角形内切圆与外接圆；重心性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是利用等边三角形四心重合的特点，既可以通过重心的比例性质快速得到结果，也可以通过设边长计算各量的具体数值化简得到比值，掌握等边三角形的特殊性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$，$∠ A=40°$，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$，$∠ EDF=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
$110$；$70$
解析
【解析】
1. 求∠BOC：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=70°，
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-70°=110°。
2. 求∠EDF：
连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F为切点，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，即∠OEA=∠OFA=90°，
在四边形AEOF中，∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=360°-40°-90°-90°=140°，
根据圆周角定理，∠EDF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
∴∠EDF=1/2∠EOF=1/2×140°=70°。
【答案】
110；70
【知识点】
三角形内切圆；角平分线性质；圆周角定理
【点评】
本题结合三角形内切圆的性质，综合考查角平分线的运算与圆周角和圆心角的关系，解题关键是明确内心的角平分线属性，以及通过辅助线构造圆心角推导圆周角，属于内切圆相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
1. 求∠BOC：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=70°，
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-70°=110°。
2. 求∠EDF：
连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F为切点，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，即∠OEA=∠OFA=90°，
在四边形AEOF中，∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=360°-40°-90°-90°=140°，
根据圆周角定理，∠EDF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
∴∠EDF=1/2∠EOF=1/2×140°=70°。
【答案】
110；70
【知识点】
三角形内切圆；角平分线性质；圆周角定理
【点评】
本题结合三角形内切圆的性质，综合考查角平分线的运算与圆周角和圆心角的关系，解题关键是明确内心的角平分线属性，以及通过辅助线构造圆心角推导圆周角，属于内切圆相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$O$是内心,若$CO=2$,$△ ABC$的周长为$16$,则$△ ABC$的面积为（）
A.$16\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$16$
D.$32$
A.$16\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$16$
D.$32$
答案
B
解析
【分析】
首先明确三角形内心的性质：内心是三角形角平分线的交点，到三边的距离等于内切圆半径r。本题中△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，因此CO平分∠ACB，可得∠OCB=45°，据此可通过CO的长度求出内切圆半径r；再利用三角形面积等于周长与内切圆半径乘积的一半这一公式，代入已知周长即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵点O是Rt△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，且点O到△ABC三边的距离均等于内切圆半径r。
∵∠ACB=90°，
∴∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°。
过O作OD⊥BC于点D，则△OCD为等腰直角三角形，
∴CO=$\sqrt{2}r$，
将CO=2代入得：$2=\sqrt{2}r$，解得$r=\sqrt{2}$。
根据三角形面积与内切圆的关系公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×C_{△ABC}×r$，
已知△ABC周长为16，代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×16×\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内切圆面积公式，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是利用内心的角平分线性质找到CO和内切圆半径的数量关系，再结合面积公式求解，熟练掌握内心的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先明确三角形内心的性质：内心是三角形角平分线的交点，到三边的距离等于内切圆半径r。本题中△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，因此CO平分∠ACB，可得∠OCB=45°，据此可通过CO的长度求出内切圆半径r；再利用三角形面积等于周长与内切圆半径乘积的一半这一公式，代入已知周长即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵点O是Rt△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，且点O到△ABC三边的距离均等于内切圆半径r。
∵∠ACB=90°，
∴∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°。
过O作OD⊥BC于点D，则△OCD为等腰直角三角形，
∴CO=$\sqrt{2}r$，
将CO=2代入得：$2=\sqrt{2}r$，解得$r=\sqrt{2}$。
根据三角形面积与内切圆的关系公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×C_{△ABC}×r$，
已知△ABC周长为16，代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×16×\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内切圆面积公式，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是利用内心的角平分线性质找到CO和内切圆半径的数量关系，再结合面积公式求解，熟练掌握内心的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
5. 任意画一个三角形，分别作出这个三角形的外接圆和内切圆.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答案
解：
1. 任意作△ABC；
2. 作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O即为△ABC的外接圆；
3. 作△ABC任意两个内角的角平分线，两线交于点I，过点I作ID⊥AB，垂足为D，以I为圆心，ID的长为半径画圆，⊙I即为△ABC的内切圆。
作图保留垂直平分线、角平分线的尺规作图圆弧痕迹，无需额外标注作法，最终图形同时包含所作三角形、外接圆、内切圆及对应辅助作图痕迹即可。
1. 任意作△ABC；
2. 作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O即为△ABC的外接圆；
3. 作△ABC任意两个内角的角平分线，两线交于点I，过点I作ID⊥AB，垂足为D，以I为圆心，ID的长为半径画圆，⊙I即为△ABC的内切圆。
作图保留垂直平分线、角平分线的尺规作图圆弧痕迹，无需额外标注作法，最终图形同时包含所作三角形、外接圆、内切圆及对应辅助作图痕迹即可。
解析
【分析】
解题前先明确两类圆的核心构成：圆心和半径。①三角形外接圆的圆心是外心，为三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，因此外接圆半径为外心到任意顶点的长度；②三角形内切圆的圆心是内心，为三角形三个内角角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，因此内切圆半径为内心到任意边的垂线段长度。解题时先任意绘制三角形，再分别按外心、内心的判定规则找到对应圆心，确定半径后画圆即可，作图需保留尺规作垂直平分线、角平分线的痕迹。
【解析】
1. 先任意绘制△ABC；
2. 作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交点为外心O，以O为圆心、OA长为半径画圆，得到的⊙O就是△ABC的外接圆；
3. 作△ABC任意两个内角的角平分线，两线交点为内心I，过I作ID⊥AB垂足为D，以I为圆心、ID长为半径画圆，得到的⊙I就是△ABC的内切圆。
作图需保留垂直平分线、角平分线的尺规作图圆弧痕迹，无需额外标注作法。
【答案】
1. 任意作△ABC；
2. 作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O即为△ABC的外接圆；
3. 作△ABC任意两个内角的角平分线，两线交于点I，过点I作ID⊥AB，垂足为D，以I为圆心，ID的长为半径画圆，⊙I即为△ABC的内切圆。
作图保留垂直平分线、角平分线的尺规作图圆弧痕迹，无需额外标注作法，最终图形同时包含所作三角形、外接圆、内切圆及对应辅助作图痕迹即可。
【知识点】
1. 三角形外心性质
2. 三角形内心性质
3. 尺规基本作图
【点评】
本题属于基础尺规作图题，主要考查对三角形外心、内心定义及性质的理解运用，同时要求熟练掌握垂直平分线、角平分线的尺规作图方法，作图时要注意规范保留对应痕迹。
【难度系数】
0.75
解题前先明确两类圆的核心构成：圆心和半径。①三角形外接圆的圆心是外心，为三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，因此外接圆半径为外心到任意顶点的长度；②三角形内切圆的圆心是内心，为三角形三个内角角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，因此内切圆半径为内心到任意边的垂线段长度。解题时先任意绘制三角形，再分别按外心、内心的判定规则找到对应圆心，确定半径后画圆即可，作图需保留尺规作垂直平分线、角平分线的痕迹。
【解析】
1. 先任意绘制△ABC；
2. 作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交点为外心O，以O为圆心、OA长为半径画圆，得到的⊙O就是△ABC的外接圆；
3. 作△ABC任意两个内角的角平分线，两线交点为内心I，过I作ID⊥AB垂足为D，以I为圆心、ID长为半径画圆，得到的⊙I就是△ABC的内切圆。
作图需保留垂直平分线、角平分线的尺规作图圆弧痕迹，无需额外标注作法。
【答案】
1. 任意作△ABC；
2. 作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O即为△ABC的外接圆；
3. 作△ABC任意两个内角的角平分线，两线交于点I，过点I作ID⊥AB，垂足为D，以I为圆心，ID的长为半径画圆，⊙I即为△ABC的内切圆。
作图保留垂直平分线、角平分线的尺规作图圆弧痕迹，无需额外标注作法，最终图形同时包含所作三角形、外接圆、内切圆及对应辅助作图痕迹即可。
【知识点】
1. 三角形外心性质
2. 三角形内心性质
3. 尺规基本作图
【点评】
本题属于基础尺规作图题，主要考查对三角形外心、内心定义及性质的理解运用，同时要求熟练掌握垂直平分线、角平分线的尺规作图方法，作图时要注意规范保留对应痕迹。
【难度系数】
0.75
