登录
9.若$a ＜ c ＜ 0 ＜ b$，则$abc$与0的大小关系是（
A.$abc ＜ 0$
B.$abc = 0$
C.$abc ＞ 0$
D.无法确定
C
）。A.$abc ＜ 0$
B.$abc = 0$
C.$abc ＞ 0$
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确我们需要判断乘积abc的正负，步骤分为两步：第一步根据题目给出的大小关系$a＜c＜0＜b$，分别确定a、b、c三个数的正负性；第二步回忆多个非零有理数相乘的符号规律：负因数的个数是偶数时，积为正，负因数个数是奇数时，积为负。数清楚三个数里负因数的个数，就能判断出abc的符号，进而得到和0的大小关系。
【解析】
解：由$a＜c＜0＜b$可知：$a$是负数，$c$是负数，$b$是正数，三个数均不为0，因此乘积$abc$不可能为0，排除B选项。
三个乘数中负因数的个数为2，是偶数，根据多个非零有理数相乘的符号法则：负因数个数为偶数时，积为正数，可得$abc＞0$。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
1.有理数乘法符号法则
2.正负数的判定
【点评】
本题是有理数乘法符号判断的基础题型，解题核心是准确识别各乘数的正负，牢记乘法符号法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确我们需要判断乘积abc的正负，步骤分为两步：第一步根据题目给出的大小关系$a＜c＜0＜b$，分别确定a、b、c三个数的正负性；第二步回忆多个非零有理数相乘的符号规律：负因数的个数是偶数时，积为正，负因数个数是奇数时，积为负。数清楚三个数里负因数的个数，就能判断出abc的符号，进而得到和0的大小关系。
【解析】
解：由$a＜c＜0＜b$可知：$a$是负数，$c$是负数，$b$是正数，三个数均不为0，因此乘积$abc$不可能为0，排除B选项。
三个乘数中负因数的个数为2，是偶数，根据多个非零有理数相乘的符号法则：负因数个数为偶数时，积为正数，可得$abc＞0$。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
1.有理数乘法符号法则
2.正负数的判定
【点评】
本题是有理数乘法符号判断的基础题型，解题核心是准确识别各乘数的正负，牢记乘法符号法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10.若$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，则$\dfrac{cd}{5}×(a+b)=$
0
。答案
0
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数和倒数的基本性质：第一步，根据相反数的定义可得互为相反数的两个数和为0，即a+b=0；第二步，根据倒数的定义可得互为倒数的两个数乘积为1，即cd=1；第三步，将两个结果代入所求代数式，结合有理数乘法中“0乘任何数都得0”的规则即可直接算出结果，不需要额外计算其他部分。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，
∴$a + b = 0$，
∵c，d互为倒数，
∴$cd = 1$，
把$a + b = 0$、$cd = 1$代入$\dfrac{cd}{5}×(a+b)$得：
$\dfrac{cd}{5}×(a+b)=\dfrac{1}{5}×0=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对相反数、倒数基本定义的掌握，解题时可优先观察式子中是否含0的因式，能简化计算过程，避免无用运算。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数和倒数的基本性质：第一步，根据相反数的定义可得互为相反数的两个数和为0，即a+b=0；第二步，根据倒数的定义可得互为倒数的两个数乘积为1，即cd=1；第三步，将两个结果代入所求代数式，结合有理数乘法中“0乘任何数都得0”的规则即可直接算出结果，不需要额外计算其他部分。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，
∴$a + b = 0$，
∵c，d互为倒数，
∴$cd = 1$，
把$a + b = 0$、$cd = 1$代入$\dfrac{cd}{5}×(a+b)$得：
$\dfrac{cd}{5}×(a+b)=\dfrac{1}{5}×0=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对相反数、倒数基本定义的掌握，解题时可优先观察式子中是否含0的因式，能简化计算过程，避免无用运算。
【难度系数】
0.9
11.计算：
(1)$(0.5 - 2 - \frac{4}{9} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) × (-36)$；
(2)$(+\frac{22}{7}) × (\frac{22}{7} - \frac{22}{3}) × \frac{7}{22} × \frac{21}{22}$；
(3)$(-370) × (-\frac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (+\frac{11}{2}) × \frac{1}{4}$。
(1)$(0.5 - 2 - \frac{4}{9} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) × (-36)$；
(2)$(+\frac{22}{7}) × (\frac{22}{7} - \frac{22}{3}) × \frac{7}{22} × \frac{21}{22}$；
(3)$(-370) × (-\frac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (+\frac{11}{2}) × \frac{1}{4}$。
答案
(1) 61
(2) $-4$
(3) 100
(2) $-4$
(3) 100
解析
【分析】
这三道有理数乘法计算题均可通过运用乘法运算律简化计算，无需硬算。解题思路：①若式子是括号内多个数的和乘同一个数，优先用乘法分配律，将括号内每一项分别乘括号外的数，再计算加减，注意符号不要出错；②若式子中有互为倒数或者分母能约分的因数，先用乘法交换律、结合律把能约分的因数放在一起先算，简化后再用分配律计算；③若式子中有相同的因数，先提取相同的公因数，再将剩余部分合并计算，可大幅降低计算量。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}&(0.5 - 2 - \frac{4}{9} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) × (-36)\\=&0.5×(-36) + (-2)×(-36) + (-\frac{4}{9})×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) + (-\frac{7}{12})×(-36)\\=&-18 + 72 + 16 - 30 + 21\\=&61\end{aligned}$
(2) 先利用乘法交换律、结合律约分，再用分配律计算：
$\begin{aligned}&(+\frac{22}{7}) × (\frac{22}{7} - \frac{22}{3}) × \frac{7}{22} × \frac{21}{22}\\=&(\frac{22}{7} × \frac{7}{22}) × (\frac{22}{7} - \frac{22}{3}) × \frac{21}{22}\\=&1×(\frac{22}{7}×\frac{21}{22} - \frac{22}{3}×\frac{21}{22})\\=&3 - 7\\=&-4\end{aligned}$
(3) 先统一公因数为$\frac{1}{4}$，再提取公因数计算：
$\begin{aligned}&(-370) × (-\frac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (+\frac{11}{2}) × \frac{1}{4}\\=&370×\frac{1}{4} + 24.5×\frac{1}{4} + 5.5×\frac{1}{4}\\=&(370 + 24.5 + 5.5)×\frac{1}{4}\\=&400×\frac{1}{4}\\=&100\end{aligned}$
【答案】
(1)61；(2)$-4$；(3)100
【知识点】
有理数乘法运算律，乘法分配律，乘法交换律与结合律
【点评】
这几道题侧重考查有理数乘法运算律的灵活应用，解题时先观察式子的结构特征，优先选择合适的运算律简化计算，能有效减少计算量，降低符号出错的概率。
【难度系数】
0.8
这三道有理数乘法计算题均可通过运用乘法运算律简化计算，无需硬算。解题思路：①若式子是括号内多个数的和乘同一个数，优先用乘法分配律，将括号内每一项分别乘括号外的数，再计算加减，注意符号不要出错；②若式子中有互为倒数或者分母能约分的因数，先用乘法交换律、结合律把能约分的因数放在一起先算，简化后再用分配律计算；③若式子中有相同的因数，先提取相同的公因数，再将剩余部分合并计算，可大幅降低计算量。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}&(0.5 - 2 - \frac{4}{9} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) × (-36)\\=&0.5×(-36) + (-2)×(-36) + (-\frac{4}{9})×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) + (-\frac{7}{12})×(-36)\\=&-18 + 72 + 16 - 30 + 21\\=&61\end{aligned}$
(2) 先利用乘法交换律、结合律约分，再用分配律计算：
$\begin{aligned}&(+\frac{22}{7}) × (\frac{22}{7} - \frac{22}{3}) × \frac{7}{22} × \frac{21}{22}\\=&(\frac{22}{7} × \frac{7}{22}) × (\frac{22}{7} - \frac{22}{3}) × \frac{21}{22}\\=&1×(\frac{22}{7}×\frac{21}{22} - \frac{22}{3}×\frac{21}{22})\\=&3 - 7\\=&-4\end{aligned}$
(3) 先统一公因数为$\frac{1}{4}$，再提取公因数计算：
$\begin{aligned}&(-370) × (-\frac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (+\frac{11}{2}) × \frac{1}{4}\\=&370×\frac{1}{4} + 24.5×\frac{1}{4} + 5.5×\frac{1}{4}\\=&(370 + 24.5 + 5.5)×\frac{1}{4}\\=&400×\frac{1}{4}\\=&100\end{aligned}$
【答案】
(1)61；(2)$-4$；(3)100
【知识点】
有理数乘法运算律，乘法分配律，乘法交换律与结合律
【点评】
这几道题侧重考查有理数乘法运算律的灵活应用，解题时先观察式子的结构特征，优先选择合适的运算律简化计算，能有效减少计算量，降低符号出错的概率。
【难度系数】
0.8
12.【综合与实践】观察下列算式，寻找规律，利用规律解答后面的问题：
$1×3+1=4=2^2$，$2×4+1=9=3^2$，$3×5+1=16=4^2$，$4×6+1=25=5^2$，…。
（1）计算：$7×9+1=64=(\_\_\_\_\_\_)^2$；
（2）请你用找到的规律计算：$(1+\dfrac{1}{1×3})×(1+\dfrac{1}{2×4})×$
$×\dots×(1+\dfrac{1}{9×11})$。
$1×3+1=4=2^2$，$2×4+1=9=3^2$，$3×5+1=16=4^2$，$4×6+1=25=5^2$，…。
（1）计算：$7×9+1=64=(\_\_\_\_\_\_)^2$；
（2）请你用找到的规律计算：$(1+\dfrac{1}{1×3})×(1+\dfrac{1}{2×4})×$
$×\dots×(1+\dfrac{1}{9×11})$。答案
(1) 8
(2) 原式$=\dfrac{1×3+1}{1×3}×\dfrac{2×4+1}{2×4}×\dfrac{3×5+1}{3×5}×\dots×\dfrac{9×11+1}{9×11}=\dfrac{2^2}{1×3}×\dfrac{3^2}{2×4}×\dfrac{4^2}{3×5}×\dots×\dfrac{10^2}{9×11}=$
$2×\dfrac{10}{11}=\dfrac{20}{11}$。
(2) 原式$=\dfrac{1×3+1}{1×3}×\dfrac{2×4+1}{2×4}×\dfrac{3×5+1}{3×5}×\dots×\dfrac{9×11+1}{9×11}=\dfrac{2^2}{1×3}×\dfrac{3^2}{2×4}×\dfrac{4^2}{3×5}×\dots×\dfrac{10^2}{9×11}=$
$2×\dfrac{10}{11}=\dfrac{20}{11}$。
解析
【分析】
（1）先观察已知算式的规律：对正整数n，有$n×(n+2)+1=(n+1)^2$，对应$7×9+1$时n=7，可直接得到结果对应的平方数；
（2）先将每个括号内的式子通分，得到$\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}$的形式，利用找到的规律将分子替换为$(n+1)^2$，再展开所有项通过交叉约分简化连乘运算，最终算出结果。
【解析】
（1）观察已知算式：$1×3+1=2^2$，$2×4+1=3^2$，$3×5+1=4^2$……可得规律：$n×(n+2)+1=(n+1)^2$（n为正整数）。
当n=7时，$7×9+1=(7+1)^2=8^2$，因此括号内填8。
（2）对每个括号内的式子通分，结合规律化简：
原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×…×\frac{9×11+1}{9×11}$
$=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×…×\frac{10^2}{9×11}$
将分子的平方拆分为两个相同因数相乘，再交叉约分：
$=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×…×\frac{10×10}{9×11}$
约分后剩余：$\frac{2}{1}×\frac{10}{11}=\frac{20}{11}$
【答案】
（1）$\boxed{8}$；（2）$\boxed{\dfrac{20}{11}}$
【知识点】
有理数乘除运算、数字规律探究、分数约分
【点评】
本题需要先从示例中归纳出通用的数字规律，再将规律应用到连乘运算中，通过约分简化计算过程，既考查观察归纳能力，也锻炼了有理数混合运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
（1）先观察已知算式的规律：对正整数n，有$n×(n+2)+1=(n+1)^2$，对应$7×9+1$时n=7，可直接得到结果对应的平方数；
（2）先将每个括号内的式子通分，得到$\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}$的形式，利用找到的规律将分子替换为$(n+1)^2$，再展开所有项通过交叉约分简化连乘运算，最终算出结果。
【解析】
（1）观察已知算式：$1×3+1=2^2$，$2×4+1=3^2$，$3×5+1=4^2$……可得规律：$n×(n+2)+1=(n+1)^2$（n为正整数）。
当n=7时，$7×9+1=(7+1)^2=8^2$，因此括号内填8。
（2）对每个括号内的式子通分，结合规律化简：
原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×…×\frac{9×11+1}{9×11}$
$=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×…×\frac{10^2}{9×11}$
将分子的平方拆分为两个相同因数相乘，再交叉约分：
$=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×…×\frac{10×10}{9×11}$
约分后剩余：$\frac{2}{1}×\frac{10}{11}=\frac{20}{11}$
【答案】
（1）$\boxed{8}$；（2）$\boxed{\dfrac{20}{11}}$
【知识点】
有理数乘除运算、数字规律探究、分数约分
【点评】
本题需要先从示例中归纳出通用的数字规律，再将规律应用到连乘运算中，通过约分简化计算过程，既考查观察归纳能力，也锻炼了有理数混合运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
13.【数学游戏】某数学小组的10位同学站成一列做报数游戏，规则：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数的2倍加1，第1位同学报$(\dfrac{2}{1}+1)$，第2位同学报$(\dfrac{2}{2}+1)$，第3位同学报$(\dfrac{2}{3}+1)$……则得到的10个数的积为
66
。答案
66
解析
【分析】
首先观察每位同学报数的规律，先将第n位同学报的算式$\frac{2}{n}+1$化简为分数形式，再将10个分数连乘，观察分子和分母的特点，通过约分公共因数简化计算，无需逐个计算每个数的结果即可求出乘积。
【解析】
解：第n位同学报的数可化简为：
$\frac{2}{n}+1=\frac{2+n}{n}=\frac{n+2}{n}$
则10位同学报的数的乘积为：
$\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}×\frac{6}{4}×\dots×\frac{11}{9}×\frac{12}{10}$
观察分子和分母，分子为$3×4×5×\dots×11×12$，分母为$1×2×3×\dots×9×10$，分子和分母中相同的因数3~10可以相互约分，约分后剩余：
$\frac{11×12}{1×2}=\frac{132}{2}=66$
【答案】
66
【知识点】
有理数乘法运算；分数约分；数字规律探究
【点评】
本题是结合规律探究的有理数运算题，解题核心是先化简每个报数的表达式，再利用连乘时分子分母的公共因数约分简化计算，避免了繁琐的逐个计算，考验学生的观察能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.7
首先观察每位同学报数的规律，先将第n位同学报的算式$\frac{2}{n}+1$化简为分数形式，再将10个分数连乘，观察分子和分母的特点，通过约分公共因数简化计算，无需逐个计算每个数的结果即可求出乘积。
【解析】
解：第n位同学报的数可化简为：
$\frac{2}{n}+1=\frac{2+n}{n}=\frac{n+2}{n}$
则10位同学报的数的乘积为：
$\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}×\frac{6}{4}×\dots×\frac{11}{9}×\frac{12}{10}$
观察分子和分母，分子为$3×4×5×\dots×11×12$，分母为$1×2×3×\dots×9×10$，分子和分母中相同的因数3~10可以相互约分，约分后剩余：
$\frac{11×12}{1×2}=\frac{132}{2}=66$
【答案】
66
【知识点】
有理数乘法运算；分数约分；数字规律探究
【点评】
本题是结合规律探究的有理数运算题，解题核心是先化简每个报数的表达式，再利用连乘时分子分母的公共因数约分简化计算，避免了繁琐的逐个计算，考验学生的观察能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.7
