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6.《红楼梦》第57回有这么一句话，“自古道：‘千里姻缘一线牵’，管姻缘的有一位月下老儿，预先注定，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住。”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是()
A.直线
B.射线
C.线段
D.以上都不对
A.直线
B.射线
C.线段
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆直线、射线、线段的核心区别，再结合题干情景判断：首先明确三类线的本质差异：直线没有端点，可向两端无限延伸，长度无法测量；射线只有1个端点，可向一端无限延伸，长度无法测量；线段有2个端点，长度可以测量。再看题干中拴住两个人脚的线，两端分别对应两个人，相当于有两个固定的端点，长度是有限的，符合线段的特征，就能得出正确选项。
【解析】
解：首先明确三类线的定义与特征：
①直线：没有端点，向两端无限延伸，长度不可度量；
②射线：只有1个端点，向一端无限延伸，长度不可度量；
③线段：有2个端点，长度可度量。
题干中描述的“线”是用来绊住两个人的脚，即这条线的两端分别对应两个人，有两个固定的端点，且长度是有限的，符合线段的特征，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
线段的特征；射线的特征；直线的特征
【点评】
本题结合传统文化典故考查几何基础概念，情景新颖，核心考查三类线的本质区别，只要掌握不同线的端点数量、长度属性即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆直线、射线、线段的核心区别，再结合题干情景判断：首先明确三类线的本质差异：直线没有端点，可向两端无限延伸，长度无法测量；射线只有1个端点，可向一端无限延伸，长度无法测量；线段有2个端点，长度可以测量。再看题干中拴住两个人脚的线，两端分别对应两个人，相当于有两个固定的端点，长度是有限的，符合线段的特征，就能得出正确选项。
【解析】
解：首先明确三类线的定义与特征：
①直线：没有端点，向两端无限延伸，长度不可度量；
②射线：只有1个端点，向一端无限延伸，长度不可度量；
③线段：有2个端点，长度可度量。
题干中描述的“线”是用来绊住两个人的脚，即这条线的两端分别对应两个人，有两个固定的端点，且长度是有限的，符合线段的特征，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
线段的特征；射线的特征；直线的特征
【点评】
本题结合传统文化典故考查几何基础概念，情景新颖，核心考查三类线的本质区别，只要掌握不同线的端点数量、长度属性即可快速解题。
【难度系数】
0.85
7.如图,下列语句:
①直线$l$经过$C,D$两点；
②点$C,D$在直线$l$上；
③直线$l$可以由$C,D$两点确定；
④$l$是一条直线,$C,D$是任意两点.
其中正确的有()
A.①②③④
B.①②③
C.①②
D.①④
①直线$l$经过$C,D$两点；
②点$C,D$在直线$l$上；
③直线$l$可以由$C,D$两点确定；
④$l$是一条直线,$C,D$是任意两点.
其中正确的有()
A.①②③④
B.①②③
C.①②
D.①④
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合图形回忆直线的相关性质和点与直线的位置关系，再逐一判断四个语句的正误：首先观察图形可知直线l经过C、D两点，结合点和直线的位置关系可判断①②的正误；再根据“两点确定一条直线”的基本事实判断③的正误；最后结合图形中C、D的位置，判断④的表述是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析4个语句：
①观察图形可得，直线l经过C、D两点，该表述正确；
②若直线经过某点，等价于该点在直线上，因此点C、D在直线l上，该表述正确；
③根据直线的基本事实：两点确定一条直线，经过C、D两点的直线是唯一的，即直线l，因此直线l可以由C、D两点确定，该表述正确；
④图中C、D是直线l上的两个确定的点，并非任意两点，该表述错误。
综上，①②③正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点与直线的位置关系；直线的基本性质
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对直线相关性质的理解，解题时要结合图形分析表述，注意区分“确定的点”和“任意点”的差异，避免错选。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形回忆直线的相关性质和点与直线的位置关系，再逐一判断四个语句的正误：首先观察图形可知直线l经过C、D两点，结合点和直线的位置关系可判断①②的正误；再根据“两点确定一条直线”的基本事实判断③的正误；最后结合图形中C、D的位置，判断④的表述是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析4个语句：
①观察图形可得，直线l经过C、D两点，该表述正确；
②若直线经过某点，等价于该点在直线上，因此点C、D在直线l上，该表述正确；
③根据直线的基本事实：两点确定一条直线，经过C、D两点的直线是唯一的，即直线l，因此直线l可以由C、D两点确定，该表述正确；
④图中C、D是直线l上的两个确定的点，并非任意两点，该表述错误。
综上，①②③正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点与直线的位置关系；直线的基本性质
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对直线相关性质的理解，解题时要结合图形分析表述，注意区分“确定的点”和“任意点”的差异，避免错选。
【难度系数】
0.8
8.三条直线两两相交，交点的个数为()
A.1个
B.2个
C.3个
D.1个或3个
A.1个
B.2个
C.3个
D.1个或3个
答案
D
解析
【分析】
解决本题需要先明确“两两相交”的含义，即每两条直线都存在交点，再分情况讨论三条直线的位置关系：第一种情况是三条直线交于同一个公共点，此时仍满足两两相交的要求；第二种情况是三条直线没有公共交点，每两条直线相交得到不同的交点。结合两种情况即可得到最终的交点个数范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若三条直线相交于同一点，此时满足两两相交的条件，交点个数为1个；
2. 若三条直线不交于同一点，每两条直线相交各得到1个不同的交点，交点总数为3个。
因此三条直线两两相交时，交点个数为1个或3个，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直线交点计数；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略三条直线共点的情况，解题时要全面考虑几何图形的所有可能位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题需要先明确“两两相交”的含义，即每两条直线都存在交点，再分情况讨论三条直线的位置关系：第一种情况是三条直线交于同一个公共点，此时仍满足两两相交的要求；第二种情况是三条直线没有公共交点，每两条直线相交得到不同的交点。结合两种情况即可得到最终的交点个数范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若三条直线相交于同一点，此时满足两两相交的条件，交点个数为1个；
2. 若三条直线不交于同一点，每两条直线相交各得到1个不同的交点，交点总数为3个。
因此三条直线两两相交时，交点个数为1个或3个，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直线交点计数；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略三条直线共点的情况，解题时要全面考虑几何图形的所有可能位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9.如图,下列叙述错误的是()
A.直线l经过点A
B.点P在直线l外
C.直线l与直线AB表示同一条直线
D.直线BA与直线AB不是同一条直线
A.直线l经过点A
B.点P在直线l外
C.直线l与直线AB表示同一条直线
D.直线BA与直线AB不是同一条直线
答案
D
解析
【分析】
本题考查直线的基础概念，解题时先回忆点与直线的位置关系、直线的表示方法这两个核心知识点，再逐一分析每个选项：首先结合图形判断点是否在直线上，验证A、B选项的正误；再根据直线的表示规则（直线用两个点的大写字母表示时无顺序要求，同一条直线可使用不同的表示方法）判断C、D选项的正误，最终选出叙述错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 观察图形可得点A在直线l上，即直线l经过点A，叙述正确，不符合题意；
B. 观察图形可得点P不在直线l上，即点P在直线l外，叙述正确，不符合题意；
C. 直线l上包含A、B两点，因此直线l和直线AB是同一条直线，叙述正确，不符合题意；
D. 直线没有方向，用两个大写字母表示直线时，字母的顺序不影响直线的指代，因此直线BA与直线AB是同一条直线，本选项叙述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直线的表示方法、点与直线的位置关系
【点评】
本题是基础的概念辨析题，主要围绕直线的基本性质和表示方法出题，掌握核心概念就能轻松作答，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
本题考查直线的基础概念，解题时先回忆点与直线的位置关系、直线的表示方法这两个核心知识点，再逐一分析每个选项：首先结合图形判断点是否在直线上，验证A、B选项的正误；再根据直线的表示规则（直线用两个点的大写字母表示时无顺序要求，同一条直线可使用不同的表示方法）判断C、D选项的正误，最终选出叙述错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 观察图形可得点A在直线l上，即直线l经过点A，叙述正确，不符合题意；
B. 观察图形可得点P不在直线l上，即点P在直线l外，叙述正确，不符合题意；
C. 直线l上包含A、B两点，因此直线l和直线AB是同一条直线，叙述正确，不符合题意；
D. 直线没有方向，用两个大写字母表示直线时，字母的顺序不影响直线的指代，因此直线BA与直线AB是同一条直线，本选项叙述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直线的表示方法、点与直线的位置关系
【点评】
本题是基础的概念辨析题，主要围绕直线的基本性质和表示方法出题，掌握核心概念就能轻松作答，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
10.读下列语句画出图形：
(1)直线$l_1$与直线$l_2$相交于点A，点P在直线$l_1$上，但不在直线$l_2$上；
(2)直线a经过点A，而不经过点B；
(3)直线l和直线a，b分别交于A，B两点；
(4)直线a，b，c两两相交。
(1)直线$l_1$与直线$l_2$相交于点A，点P在直线$l_1$上，但不在直线$l_2$上；
(2)直线a经过点A，而不经过点B；
(3)直线l和直线a，b分别交于A，B两点；
(4)直线a，b，c两两相交。
答案
解：
(1) 画两条相交的直线，分别标注为$l_1$、$l_2$，将两直线的交点标注为A，在直线$l_1$上选取异于点A的点标注为P，点P不在直线$l_2$上，即得到符合要求的图形。
(2) 任意取两个不重合的点，分别标注为A、B，画一条经过点A的直线，标注为a，使点B落在直线a的外部，即得到符合要求的图形。
(3) 先画两条不重合的直线，分别标注为a、b，再画第三条直线l，使直线l与直线a交于点A，与直线b交于点B，标注所有对应点和直线，即得到符合要求的图形。
(4) 画出三条直线a、b、c，满足任意两条直线都有交点，可分为两种情况：三条直线交于三个不同的点，或三条直线交于同一个公共点，两种均符合两两相交的要求，标注所有对应直线，即得到符合要求的图形。
（注：按上述描述绘制出的对应图形均为正确结果）
(1) 画两条相交的直线，分别标注为$l_1$、$l_2$，将两直线的交点标注为A，在直线$l_1$上选取异于点A的点标注为P，点P不在直线$l_2$上，即得到符合要求的图形。
(2) 任意取两个不重合的点，分别标注为A、B，画一条经过点A的直线，标注为a，使点B落在直线a的外部，即得到符合要求的图形。
(3) 先画两条不重合的直线，分别标注为a、b，再画第三条直线l，使直线l与直线a交于点A，与直线b交于点B，标注所有对应点和直线，即得到符合要求的图形。
(4) 画出三条直线a、b、c，满足任意两条直线都有交点，可分为两种情况：三条直线交于三个不同的点，或三条直线交于同一个公共点，两种均符合两两相交的要求，标注所有对应直线，即得到符合要求的图形。
（注：按上述描述绘制出的对应图形均为正确结果）
解析
【分析】
本题考查将几何文字语言转化为图形的能力，解题时先回忆直线的基本特征、点与直线的位置关系、两直线相交的含义，再逐小题梳理需要用到的几何元素，按顺序作图即可：(1)先明确需要两条相交直线，交点为A，点P的位置要满足在$l_1$上、不在$l_2$上，因此P不能是两直线的交点；(2)先确定两个不同的点A、B，再画直线a，保证A在直线上、B在直线外；(3)先画两条直线a、b，再画截线l，分别和a交于A、和b交于B；(4)两两相交即每两条直线都有交点，分三条直线共一个交点、三条直线交于三个不同点两种情况均可。
【解析】
(1) 画两条相交的直线，分别标注为$l_1$、$l_2$，将两直线的交点标注为A，在直线$l_1$上选取异于点A的点标注为P，保证点P不在直线$l_2$上，即得到符合要求的图形。
(2) 任意取两个不重合的点，分别标注为A、B，画一条经过点A的直线，标注为a，使点B落在直线a的外部，即得到符合要求的图形。
(3) 先画两条不重合的直线，分别标注为a、b，再画第三条直线l，使直线l与直线a交于点A，与直线b交于点B，标注所有对应点和直线，即得到符合要求的图形。
(4) 画出三条直线a、b、c，满足任意两条直线都有交点，可分为两种情况：三条直线交于三个不同的点，或三条直线交于同一个公共点，两种均符合两两相交的要求，标注所有对应直线，即得到符合要求的图形。
【答案】
按上述解析步骤绘制的对应图形均为正确结果
【知识点】
点与直线的位置关系、直线相交的概念、几何图文转化
【点评】
本题是几何入门的基础作图题，核心是准确理解文字描述的几何位置关系，能熟练将文字语言转化为直观的几何图形，为后续复杂几何作图和推理打下基础。
【难度系数】
0.9
本题考查将几何文字语言转化为图形的能力，解题时先回忆直线的基本特征、点与直线的位置关系、两直线相交的含义，再逐小题梳理需要用到的几何元素，按顺序作图即可：(1)先明确需要两条相交直线，交点为A，点P的位置要满足在$l_1$上、不在$l_2$上，因此P不能是两直线的交点；(2)先确定两个不同的点A、B，再画直线a，保证A在直线上、B在直线外；(3)先画两条直线a、b，再画截线l，分别和a交于A、和b交于B；(4)两两相交即每两条直线都有交点，分三条直线共一个交点、三条直线交于三个不同点两种情况均可。
【解析】
(1) 画两条相交的直线，分别标注为$l_1$、$l_2$，将两直线的交点标注为A，在直线$l_1$上选取异于点A的点标注为P，保证点P不在直线$l_2$上，即得到符合要求的图形。
(2) 任意取两个不重合的点，分别标注为A、B，画一条经过点A的直线，标注为a，使点B落在直线a的外部，即得到符合要求的图形。
(3) 先画两条不重合的直线，分别标注为a、b，再画第三条直线l，使直线l与直线a交于点A，与直线b交于点B，标注所有对应点和直线，即得到符合要求的图形。
(4) 画出三条直线a、b、c，满足任意两条直线都有交点，可分为两种情况：三条直线交于三个不同的点，或三条直线交于同一个公共点，两种均符合两两相交的要求，标注所有对应直线，即得到符合要求的图形。
【答案】
按上述解析步骤绘制的对应图形均为正确结果
【知识点】
点与直线的位置关系、直线相交的概念、几何图文转化
【点评】
本题是几何入门的基础作图题，核心是准确理解文字描述的几何位置关系，能熟练将文字语言转化为直观的几何图形，为后续复杂几何作图和推理打下基础。
【难度系数】
0.9
11.如图,已知每过两点可以画一条直线.
(1)试验观察:
图①最多可以画条直线;
图②最多可以画条直线;
图③最多可以画条直线.
(2)探索归纳:
如果平面上有$n(n≥3)$个点,且任意3个点均不在一条直线上,那么最多可以画条直线.(用含$n$的式子表示)
(3)拓展延伸:
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,如果每两人握1次手问好,那么共握次手.
(1)试验观察:
图①最多可以画条直线;
图②最多可以画条直线;
图③最多可以画条直线.
(2)探索归纳:
如果平面上有$n(n≥3)$个点,且任意3个点均不在一条直线上,那么最多可以画条直线.(用含$n$的式子表示)
(3)拓展延伸:
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,如果每两人握1次手问好,那么共握次手.
答案
解：
(1) 图①最多可以画3条直线；
图②最多可以画6条直线；
图③最多可以画10条直线。
(2) 最多可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线。
(3) 将$n=45$代入$\frac{n(n-1)}{2}$，得$\frac{45×(45-1)}{2}=990$，即共握990次手。
(1) 图①最多可以画3条直线；
图②最多可以画6条直线；
图③最多可以画10条直线。
(2) 最多可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线。
(3) 将$n=45$代入$\frac{n(n-1)}{2}$，得$\frac{45×(45-1)}{2}=990$，即共握990次手。
解析
【分析】
解决这道题我们可以分步骤思考：首先解决第一问，逐个观察每个图形的点数，两两连线时不重复计数，就能得到每个图最多可画的直线数；接着第二问找通用规律，n个点时，每个点能和剩下的n-1个点各连1条直线，总计得到n(n-1)条，但每条直线会被两个端点各计算1次，所以要除以2去掉重复计数的部分，即可得到通用公式；第三问是规律的实际应用，握手问题和两点连直线是同一模型，每两个人握手相当于两点确定一条直线，把人数代入公式计算即可。
【解析】
(1) 图①有3个点，任意3点不共线，两两连线，最多可画直线：$\frac{3×2}{2}=3$条；
图②有4个点，任意3点不共线，两两连线，最多可画直线：$\frac{4×3}{2}=6$条；
图③有5个点，任意3点不共线，两两连线，最多可画直线：$\frac{5×4}{2}=10$条。
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，且任意3个点均不在一条直线上，每个点可与其余$n-1$个点画$n-1$条直线，总计得到$n(n-1)$条，由于每条直线被两个端点各计数1次，因此最多可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线。
(3) 45名同学每两人握1次手，对应$n=45$个点两两连线的情况，代入公式得：
$\frac{45×(45-1)}{2}=\frac{45×44}{2}=990$次。
【答案】
(1) 3；6；10
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
(3) 990
【知识点】
两点确定一条直线；规律归纳探究；代数式应用
【点评】
本题从直线的基本性质出发，引导学生通过观察、归纳得到通用规律，再迁移应用到实际生活的握手问题中，侧重考查观察总结能力和知识迁移能力，解题时要注意避免重复计数的问题。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以分步骤思考：首先解决第一问，逐个观察每个图形的点数，两两连线时不重复计数，就能得到每个图最多可画的直线数；接着第二问找通用规律，n个点时，每个点能和剩下的n-1个点各连1条直线，总计得到n(n-1)条，但每条直线会被两个端点各计算1次，所以要除以2去掉重复计数的部分，即可得到通用公式；第三问是规律的实际应用，握手问题和两点连直线是同一模型，每两个人握手相当于两点确定一条直线，把人数代入公式计算即可。
【解析】
(1) 图①有3个点，任意3点不共线，两两连线，最多可画直线：$\frac{3×2}{2}=3$条；
图②有4个点，任意3点不共线，两两连线，最多可画直线：$\frac{4×3}{2}=6$条；
图③有5个点，任意3点不共线，两两连线，最多可画直线：$\frac{5×4}{2}=10$条。
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，且任意3个点均不在一条直线上，每个点可与其余$n-1$个点画$n-1$条直线，总计得到$n(n-1)$条，由于每条直线被两个端点各计数1次，因此最多可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线。
(3) 45名同学每两人握1次手，对应$n=45$个点两两连线的情况，代入公式得：
$\frac{45×(45-1)}{2}=\frac{45×44}{2}=990$次。
【答案】
(1) 3；6；10
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
(3) 990
【知识点】
两点确定一条直线；规律归纳探究；代数式应用
【点评】
本题从直线的基本性质出发，引导学生通过观察、归纳得到通用规律，再迁移应用到实际生活的握手问题中，侧重考查观察总结能力和知识迁移能力，解题时要注意避免重复计数的问题。
【难度系数】
0.7
