21. （8 分）如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ABC = ∠ ACB $，以 $ AC $ 为直径的 $ \odot O $ 分别交 $ AB $，$ BC $ 于点 $ M $，$ N $，点 $ P $ 在 $ AB $ 的延长线上，且 $ ∠ CAB = 2∠ BCP $。
（1）求证：直线 $ CP $ 是 $ \odot O $ 的切线；
（2）若 $ BC = 2\sqrt{5} $，$ \sin ∠ BCP = \frac{\sqrt{5}}{5} $，求 $ △ ACP $ 的周长。

1. （1）证明直线$CP$是$\odot O$的切线：
连接$AN$，因为$AC$为$\odot O$的直径，所以$∠ ANC = 90^{\circ}$，则$∠ NAC+∠ ACN = 90^{\circ}$。
因为$∠ ABC=∠ ACB$，$∠ CAB = 2∠ BCP$，且$∠ ABC=∠ ACB=∠ BAN+∠ NAC$，$∠ BAN=∠ CAN$（同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{CN}$），所以$∠ ACB=∠ BAN+∠ NAC$，又$∠ CAB = 2∠ BAN$，$∠ CAB = 2∠ BCP$，所以$∠ BAN=∠ BCP$。
那么$∠ BCP+∠ ACN=∠ NAC+∠ ACN = 90^{\circ}$，即$∠ ACP = 90^{\circ}$。
因为$OC$是$\odot O$的半径，$OC⊥ CP$，所以直线$CP$是$\odot O$的切线。
2. （2）求$△ ACP$的周长：
因为$∠ BCP+∠ ACN = 90^{\circ}$，$∠ CAN+∠ ACN = 90^{\circ}$，所以$∠ BCP=∠ CAN$。
已知$\sin∠ BCP=\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以$\sin∠ CAN=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
在$Rt△ ACN$中，$\sin∠ CAN=\frac{CN}{AC}$，设$CN = x$，$AC = y$，则$\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即$y=\sqrt{5}x$。
由勾股定理$AN=\sqrt{AC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{y^{2}-x^{2}}$，把$y = \sqrt{5}x$代入得$AN=\sqrt{5x^{2}-x^{2}} = 2x$。
因为$∠ ABC=∠ ACB$，$AN⊥ BC$，所以$BC = 2CN$，已知$BC = 2\sqrt{5}$，则$CN=\sqrt{5}$。
所以$AC=\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$。
在$Rt△ ACP$中，$\sin∠ CAN=\sin∠ BCP=\frac{CP}{AP}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，设$CP=\sqrt{5}k$，$AP = 5k$。
由勾股定理$AP^{2}=AC^{2}+CP^{2}$，即$(5k)^{2}=5^{2}+(\sqrt{5}k)^{2}$。
展开得$25k^{2}=25 + 5k^{2}$，移项得$25k^{2}-5k^{2}=25$，$20k^{2}=25$，$k^{2}=\frac{5}{4}$，$k=\frac{\sqrt{5}}{2}$（$k＞0$）。
所以$CP=\frac{5}{2}$，$AP=\frac{5\sqrt{5}}{2}$。
则$△ ACP$的周长为$AC + CP+AP=5+\frac{5}{2}+\frac{5\sqrt{5}}{2}=\frac{10 + 5+5\sqrt{5}}{2}=\frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}$。
综上，（1）已证直线$CP$是$\odot O$的切线；（2）$△ ACP$的周长为$\boldsymbol{\frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}}$。

22. （10 分）某小队在探险过程中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪 $ AB $ 从点 $ A $ 观测深坑底部的点 $ P $，用观测视线刚好经过深坑边缘点 $ M $，在深坑右侧用观测仪 $ CD $ 从点 $ C $ 观测深坑底部的点 $ P $，且观测视线恰好经过深坑边缘点 $ N $。（点 $ E $，$ B $，$ M $，$ N $，$ D $，$ F $ 在同一水平线上）
已知：$ AB ⊥ EM $，$ CD ⊥ NF $，观测仪 $ AB $ 高 $ 2 $ m，观测仪 $ CD $ 高 $ 1 $ m，$ BM = 1.6 $ m，$ ND = 0.8 $ m，深坑宽度 $ MN = 8.8 $ m，请根据以上数据计算深坑的深度。

22. 5.5 米

解：过点 $ P $ 作 $ PH ⊥ EF $ 于点 $ H $，设 $ PH = h $ 米，$ MH = x $ 米，则 $ NH = MN - MH = (8.8 - x) $ 米。
因为 $ AB ⊥ EM $，$ CD ⊥ NF $，$ PH ⊥ EF $，所以 $ AB // PH // CD $。
由 $ △ ABM ∼ △ PHM $，得 $ \frac{AB}{PH} = \frac{BM}{MH} $，即 $ \frac{2}{h} = \frac{1.6}{x} $，整理得 $ x = 0.8h $。
由 $ △ CDN ∼ △ PHN $，得 $ \frac{CD}{PH} = \frac{ND}{NH} $，即 $ \frac{1}{h} = \frac{0.8}{8.8 - x} $，整理得 $ 8.8 - x = 0.8h $。
将 $ x = 0.8h $ 代入 $ 8.8 - x = 0.8h $，得 $ 8.8 - 0.8h = 0.8h $，解得 $ h = 5.5 $。
答：深坑的深度为 $ 5.5 $ 米。