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21.(10分)越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元.根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本.书店要求每本书的利润不低于10元，且不高于18元.
(1)直接写出书店销售该科幻小说每天的销售量$y$(本)与销售单价$x$(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2)求出每天的销售总利润$W$(元)与销售单价$x$(元)之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，当天的销售总利润最大？最大总利润为多少元？
(3)若将每本书的利润调至不低于5元且不高于10元，则(2)中的利润是否仍然成立？若不成立，当销售单价定为多少元时，当天的销售总利润最大？最大总利润为多少元？
(4)若书店要求每天的销售总利润不低于2160元，销售单价定的范围是多少？
(1)直接写出书店销售该科幻小说每天的销售量$y$(本)与销售单价$x$(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2)求出每天的销售总利润$W$(元)与销售单价$x$(元)之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，当天的销售总利润最大？最大总利润为多少元？
(3)若将每本书的利润调至不低于5元且不高于10元，则(2)中的利润是否仍然成立？若不成立，当销售单价定为多少元时，当天的销售总利润最大？最大总利润为多少元？
(4)若书店要求每天的销售总利润不低于2160元，销售单价定的范围是多少？
答案
（1）
解：根据题意，$y = 250-10(x - 25)$，化简得$y=-10x + 500$。
因为每本书的利润不低于$10$元，且不高于$18$元，所以$\begin{cases}x - 20\geqslant10\\x - 20\leqslant18\end{cases}$，解得$30\leqslant x\leqslant38$。
所以$y=-10x + 500(30\leqslant x\leqslant38)$。
（2）
解：$W=(x - 20)y=(x - 20)(-10x + 500)$
展开得$W=-10x^{2}+500x + 200x-10000=-10x^{2}+700x - 10000$。
对于二次函数$W=-10x^{2}+700x - 10000$，其中$a=-10$，$b = 700$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{700}{2×(-10)} = 35$。
因为$a=-10\lt0$，所以抛物线开口向下，在对称轴$x = 35$处取得最大值。
把$x = 35$代入$W$得$W=-10×35^{2}+700×35 - 10000=-10×1225+24500 - 10000=-12250+24500 - 10000 = 2250$（元）。
所以$W=-10x^{2}+700x - 10000(30\leqslant x\leqslant38)$，当销售单价定为$35$元时，当天的销售总利润最大，最大总利润为$2250$元。
（3）
解：因为每本书的利润调至不低于$5$元且不高于$10$元，所以$\begin{cases}x - 20\geqslant5\\x - 20\leqslant10\end{cases}$，解得$25\leqslant x\leqslant30$。
对于二次函数$W=-10x^{2}+700x - 10000$，对称轴$x = 35$，$a=-10\lt0$，在$25\leqslant x\leqslant30$上，$W$随$x$的增大而增大。
所以当$x = 30$时，$W$有最大值，$W=-10×30^{2}+700×30 - 10000=-9000 + 21000-10000 = 2000$（元）。
所以（2）中的利润不成立，当销售单价定为$30$元时，当天的销售总利润最大，最大总利润为$2000$元。
（4）
解：令$W=-10x^{2}+700x - 10000 = 2160$，即$-10x^{2}+700x - 10000 - 2160 = 0$，$-10x^{2}+700x - 12160 = 0$，两边同时除以$-10$得$x^{2}-70x + 1216 = 0$。
对于一元二次方程$x^{2}-70x + 1216 = 0$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中$a = 1$，$b=-70$，$c = 1216$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-70)^{2}-4×1×1216=4900 - 4864 = 36$。
则$x=\frac{70\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{70\pm6}{2}$，$x_1=\frac{70 + 6}{2}=38$，$x_2=\frac{70 - 6}{2}=32$。
因为$a=-10\lt0$，抛物线开口向下，所以当$32\leqslant x\leqslant38$时，$W\geqslant2160$。
综上，（1）$y=-10x + 500(30\leqslant x\leqslant38)$；（2）$W=-10x^{2}+700x - 10000(30\leqslant x\leqslant38)$，$35$元，$2250$元；（3）不成立，$30$元，$2000$元；（4）$32\leqslant x\leqslant38$。
解：根据题意，$y = 250-10(x - 25)$，化简得$y=-10x + 500$。
因为每本书的利润不低于$10$元，且不高于$18$元，所以$\begin{cases}x - 20\geqslant10\\x - 20\leqslant18\end{cases}$，解得$30\leqslant x\leqslant38$。
所以$y=-10x + 500(30\leqslant x\leqslant38)$。
（2）
解：$W=(x - 20)y=(x - 20)(-10x + 500)$
展开得$W=-10x^{2}+500x + 200x-10000=-10x^{2}+700x - 10000$。
对于二次函数$W=-10x^{2}+700x - 10000$，其中$a=-10$，$b = 700$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{700}{2×(-10)} = 35$。
因为$a=-10\lt0$，所以抛物线开口向下，在对称轴$x = 35$处取得最大值。
把$x = 35$代入$W$得$W=-10×35^{2}+700×35 - 10000=-10×1225+24500 - 10000=-12250+24500 - 10000 = 2250$（元）。
所以$W=-10x^{2}+700x - 10000(30\leqslant x\leqslant38)$，当销售单价定为$35$元时，当天的销售总利润最大，最大总利润为$2250$元。
（3）
解：因为每本书的利润调至不低于$5$元且不高于$10$元，所以$\begin{cases}x - 20\geqslant5\\x - 20\leqslant10\end{cases}$，解得$25\leqslant x\leqslant30$。
对于二次函数$W=-10x^{2}+700x - 10000$，对称轴$x = 35$，$a=-10\lt0$，在$25\leqslant x\leqslant30$上，$W$随$x$的增大而增大。
所以当$x = 30$时，$W$有最大值，$W=-10×30^{2}+700×30 - 10000=-9000 + 21000-10000 = 2000$（元）。
所以（2）中的利润不成立，当销售单价定为$30$元时，当天的销售总利润最大，最大总利润为$2000$元。
（4）
解：令$W=-10x^{2}+700x - 10000 = 2160$，即$-10x^{2}+700x - 10000 - 2160 = 0$，$-10x^{2}+700x - 12160 = 0$，两边同时除以$-10$得$x^{2}-70x + 1216 = 0$。
对于一元二次方程$x^{2}-70x + 1216 = 0$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中$a = 1$，$b=-70$，$c = 1216$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-70)^{2}-4×1×1216=4900 - 4864 = 36$。
则$x=\frac{70\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{70\pm6}{2}$，$x_1=\frac{70 + 6}{2}=38$，$x_2=\frac{70 - 6}{2}=32$。
因为$a=-10\lt0$，抛物线开口向下，所以当$32\leqslant x\leqslant38$时，$W\geqslant2160$。
综上，（1）$y=-10x + 500(30\leqslant x\leqslant38)$；（2）$W=-10x^{2}+700x - 10000(30\leqslant x\leqslant38)$，$35$元，$2250$元；（3）不成立，$30$元，$2000$元；（4）$32\leqslant x\leqslant38$。
解析
