13.(8 分) 甲、乙两人进行羽毛球比赛.如图,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,甲在$O$点正上方$1 m$的$P$处发出一球,羽毛球飞行的高度$y( m )$与水平距离$x( m )$之间满足函数表达式$y = a ( x - 4 ) ^ { 2 } + h$,已知点$O$与球网的水平距离为$5 m$,球网的高度为$1 . 5 5 m$.
(1) 当$a = - \frac { 1 } { 2 4 }$时,通过计算判断此球能否过网.
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点$O$的水平距离为$7 m$、离地面的高度为$\frac { 1 2 } { 5 } m$的点$Q$处时,乙扣球成功,求$a$的值.

(1)
已知$y = a(x - 4)^2 + h$，当$a = -\frac{1}{24}$时，$P(0,1)$在抛物线上，代入可得：
$1 = -\frac{1}{24}×(0 - 4)^2 + h$
$1 = -\frac{1}{24}×16 + h$
$1 = -\frac{2}{3} + h$
$h = \frac{5}{3}$
所以抛物线解析式为$y = -\frac{1}{24}(x - 4)^2 + \frac{5}{3}$。
当$x = 5$时，$y = -\frac{1}{24}×(5 - 4)^2 + \frac{5}{3}$
$y = -\frac{1}{24} + \frac{5}{3}$
$y = -\frac{1}{24} + \frac{40}{24}$
$y = \frac{39}{24} = 1.625\gt1.55$
所以此球能过网。
(2)
因为抛物线$y = a(x - 4)^2 + h$过点$P(0,1)$和点$Q(7,\frac{12}{5})$，将这两点代入抛物线方程可得：
$\begin{cases}1 = a(0 - 4)^2 + h\\frac{12}{5} = a(7 - 4)^2 + h\end{cases}$
即$\begin{cases}1 = 16a + h\\frac{12}{5} = 9a + h\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$h$：
$1-\frac{12}{5}=16a - 9a$
$-\frac{7}{5}=7a$
解得$a = -\frac{1}{5}$。
综上，答案依次为：(1)此球能过网；(2)$a = -\frac{1}{5}$。

14.(8 分) 某游乐园有一个直径为$1 6$米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线形状,在距水池中心$3$米处达到最高,高度为$5$米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为$x$轴、喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水池意外喷水,为了不被淋湿,身高$1 . 8$米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到$3 2$米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.

(1)$y=-\frac{1}{5}(x-3)^2+5$；(2)7米；(3)$\frac{289}{20}$米。

(1) 设抛物线顶点式为$y=a(x-3)^2+5$，因过点$(8,0)$，代入得$0=a(8-3)^2+5$，解得$a=-\frac{1}{5}$，故表达式为$y=-\frac{1}{5}(x-3)^2+5$。
(2) 令$y=1.8$，则$1.8=-\frac{1}{5}(x-3)^2+5$，化简得$(x-3)^2=16$，解得$x=7$（$x=-1$舍），故需在离中心7米以内。
(3) 设新抛物线为$y=-\frac{1}{5}(x-h)^2+k$，过$(16,0)$和$(0,\frac{16}{5})$，代入得$\begin{cases}0=-\frac{1}{5}(16-h)^2+k\\frac{16}{5}=-\frac{1}{5}h^2+k\end{cases}$，解得$k=\frac{289}{20}=14.45$，故最大高度为$\frac{289}{20}$米（或14.45米）。