6.如图,点$A$在双曲线$y=\frac{1}{x}$上,点$B$在双曲线$y=\frac{3}{x}$上,且$AB// x$轴,点$C$,$D$在$x$轴上.已知四
边形$ABCD$为矩形,则它的面积为.

2

设点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，因为AB//x轴，所以点B的纵坐标与点A相同，即点B的坐标为$(b,\frac{1}{a})$。
由于点B在双曲线$y=\frac{3}{x}$上，所以$\frac{1}{a}=\frac{3}{b}$，解得$b=3a$。
则AB的长度为$b - a = 3a - a = 2a$，AD的长度为$\frac{1}{a}$。
矩形ABCD的面积为$AB × AD = 2a × \frac{1}{a} = 2$。

7.如图,过$x$轴正半轴上的任意一点$P$作$y$轴的平行线,分别与反比例函数$y=-\frac{6}{x}$和$y=\frac{4}{x}$的
图象交于$A$,$B$两点.若点$C$是$y$轴上任意一点,连接$AC$,$BC$,则$\bigtriangleup ABC$的面积为.

5

设点$P$的坐标为$(t,0)$（$t＞0$），因为$AB// y$轴，所以点$A$、$B$的横坐标均为$t$。
当$x=t$时，对于$y=\frac{4}{x}$，$y=\frac{4}{t}$，则点$B$的坐标为$(t,\frac{4}{t})$；对于$y=-\frac{6}{x}$，$y=-\frac{6}{t}$，则点$A$的坐标为$(t,-\frac{6}{t})$。
所以$AB$的长度为$\frac{4}{t}-(-\frac{6}{t})=\frac{10}{t}$。
点$C$在$y$轴上，$AB$边上的高为点$P$的横坐标$t$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB× t=\frac{1}{2}×\frac{10}{t}× t = 5$。

8.如图,已知点$A(-2,0)$、点$B(0,6)$,点$C$为$OB$的中点,将$\bigtriangleup ABC$绕点$B$逆时针旋转$90°$后
得到$\bigtriangleup A'BC'$.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象恰好经过$A'B$的中点$D$,则$k$的值是.

15

已知点A(-2,0)，B(0,6)，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得△A'BC'，求A'B中点D的坐标，代入反比例函数求k。
1. 求A'坐标：旋转中心为B(0,6)，向量BA=A-B=(-2-0,0-6)=(-2,-6)。逆时针旋转90°后向量BA'=(-(-6),-2)=(6,-2)（向量(a,b)逆时针转90°得(-b,a)）。则A'=B+BA'=(0+6,6+(-2))=(6,4)。
2. 求D坐标：D为A'B中点，A'(6,4)，B(0,6)，则D((6+0)/2,(4+6)/2)=(3,5)。
3. 求k：D(3,5)在y=k/x上，代入得5=k/3，k=15。

9.如图,在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上有点$P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$,它们的的横坐标依次为1,2,3,
4,分别过这些点作$x$轴与$y$轴的垂线,图中阴影部分的面积从左到右依次为$S_1$,$S_2$,$S_3$,则$S_1+S_2+S_3=\_\_\_\_\_$.

$\frac{3}{2}$

由题意，点$P_1(1,2)$，$P_2(2,1)$，$P_3(3,\frac{2}{3})$，$P_4(4,\frac{1}{2})$。过各点作x轴、y轴垂线，阴影部分$S_1,S_2,S_3$分别位于x=1-2、2-3、3-4区间，宽度均为1。
$S_1=(y_1 - y_2)×1=(2 - 1)×1=1$；
$S_2=(y_2 - y_3)×1=(1 - \frac{2}{3})×1=\frac{1}{3}$；
$S_3=(y_3 - y_4)×1=(\frac{2}{3} - \frac{1}{2})×1=\frac{1}{6}$。
总和$S_1+S_2+S_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$。

10.如图,四边形$OABC$是矩形,四边形$ADEF$是正方形,点$A$,$D$在$x$轴的正半轴上,点$C$在
$y$轴的正半轴上,点$F$在$AB$上,点$B$,$E$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上.已知$OA=2$,$OC=12$,则正方形$ADEF$的边长为.

4

∵四边形OABC是矩形，OA=2，OC=12，
∴点B坐标为(2,12)。
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$12=\frac{k}{2}$，解得$k=24$，反比例函数解析式为$y=\frac{24}{x}$。
设正方形ADEF边长为$t$，
∵A(2,0)，AD在x轴上，∴D(2+t,0)。
∵F在AB上，AB为x=2的竖直线段，AF=t，∴F(2,t)。
∵ADEF是正方形，DE=AD=t，∴E(2+t,t)。
∵点E在$y=\frac{24}{x}$上，
∴$t=\frac{24}{2+t}$，即$t(t+2)=24$，
整理得$t^2+2t-24=0$，
解得$t=4$（$t=-6$舍去）。