12.(7分)如图,直线$y=kx-1$与$x$轴、$y$轴分别交于$B,C$两点$,\mathrm{tan} \angle OCB=\frac{1}{2}$.
$(1)$求点$B$的坐标和$k$的值.
$(2)$若点$A(x,y)$是直线$y=kx-1$上在第一象限内的一个动点,在点$A$的运动过程中,试写出$\triangle AOB$的面积$S$关于$x$的函数解析式.

(1) 对于直线$y = kx - 1$，令$x = 0$，得$y = -1$，则$C(0, -1)$，$OC = 1$。
令$y = 0$，得$x = \frac{1}{k}$，则$B\left(\frac{1}{k}, 0\right)$（$k ＞ 0$，因点$A$在第一象限）。
在$Rt\triangle OCB$中，$\tan\angle OCB = \frac{OB}{OC} = \frac{1}{2}$，$OC = 1$，故$OB = \frac{1}{2}$，即$\frac{1}{k} = \frac{1}{2}$，解得$k = 2$。
因此，点$B\left(\frac{1}{2}, 0\right)$，$k = 2$。
(2) 由(1)知直线方程为$y = 2x - 1$。点$A(x, y)$在第一象限，故$x ＞ \frac{1}{2}$，$y = 2x - 1 ＞ 0$。
$\triangle AOB$的面积$S = \frac{1}{2} × OB × y$，$OB = \frac{1}{2}$，$y = 2x - 1$，则$S = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × (2x - 1) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$。
综上，(1)点$B\left(\frac{1}{2}, 0\right)$，$k = 2$；(2)$S = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}(x ＞ \frac{1}{2})$。