19. (本题满分9分)
如图，已知点$E$，$F$在线段$BD$上，$AD // BC$，$BF = DE$，$\angle A = \angle C$。试判断线段$AF$与$CE$的关系，并说明理由。

AF与CE的关系是平行且相等。理由如下：
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF。
在△ADF和△CBE中，
∠A=∠C（已知），
∠ADF=∠CBE（已证），
DF=BE（已证），
∴△ADF≌△CBE（AAS）。
∴AF=CE（全等三角形对应边相等），
∠AFD=∠CEB（全等三角形对应角相等）。
∵∠AFD=∠CEB，
∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）。
综上，AF=CE且AF//CE。

20. (本题满分9分)
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = \angle C$，点$D$为$BC$边的中点，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，垂足分别为$E$，$F$。
求证：(1)$DE = DF$；
(2)$EB = FC$。

证明：
(1) 由于 $D$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore BD = CD$，
因为$ DE \perp AB, DF \perp AC$，
$\therefore \angle DEB = \angle DFC = 90°$，
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle CDF$ 中，
$\begin{cases}\angle B = \angle C, \\ \angle DEB = \angle DFC, \\ BD = CD.\end{cases}$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle CDF (AAS)$，
$\therefore DE = DF$。
(2) 由 $\triangle BDE \cong \triangle CDF$，
$\therefore BE = CF$。