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知识点二 分式的约分
1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的
2. 分子与分母没有公因式的分式，叫作
1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的
公因式
约去，叫作分式的约分
。2. 分子与分母没有公因式的分式，叫作
最简分式
。分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式
或者整式
。答案
1. 公因式 约分 2. 最简分式 最简分式 整式
解析
【分析】
本题考查分式约分相关的基础概念，解题时只需回忆教材中的对应定义，按要求填空即可。首先回忆分式约分的定义，明确约分的操作对象是分子分母的公因式；再回忆最简分式的定义，清楚约分的最终结果要求，就能直接匹配出每个空的答案。
【解析】
1. 根据教材中分式约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分，因此两个空依次填公因式、约分。
2. 根据教材中最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。同时分式约分的规则为：一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式，若约分后分母为1，结果就是整式，因此三个空依次填最简分式、最简分式、整式。
【答案】
1. 公因式 约分 2. 最简分式 最简分式 整式
【知识点】
分式约分的概念，最简分式的概念
【点评】
本题是基础概念识记类习题，主要考查对分式约分相关核心定义的掌握，牢记教材对应内容就能轻松答对。
【难度系数】
0.9
本题考查分式约分相关的基础概念，解题时只需回忆教材中的对应定义，按要求填空即可。首先回忆分式约分的定义，明确约分的操作对象是分子分母的公因式；再回忆最简分式的定义，清楚约分的最终结果要求，就能直接匹配出每个空的答案。
【解析】
1. 根据教材中分式约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分，因此两个空依次填公因式、约分。
2. 根据教材中最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。同时分式约分的规则为：一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式，若约分后分母为1，结果就是整式，因此三个空依次填最简分式、最简分式、整式。
【答案】
1. 公因式 约分 2. 最简分式 最简分式 整式
【知识点】
分式约分的概念，最简分式的概念
【点评】
本题是基础概念识记类习题，主要考查对分式约分相关核心定义的掌握，牢记教材对应内容就能轻松答对。
【难度系数】
0.9
例3 约分$\frac{4m - m^2}{m^2 - 8m + 16}$的结果是 （）
A.$m$
B.$4 - m$
C.$\frac{m}{m - 4}$
D.$\frac{m}{4 - m}$
解析 $\frac{4m - m^2}{m^2 - 8m + 16} = \frac{-m(m - 4)}{(m - 4)^2} = -\frac{m}{m - 4} = \frac{m}{4 - m}$。
答案 D
A.$m$
B.$4 - m$
C.$\frac{m}{m - 4}$
D.$\frac{m}{4 - m}$
解析 $\frac{4m - m^2}{m^2 - 8m + 16} = \frac{-m(m - 4)}{(m - 4)^2} = -\frac{m}{m - 4} = \frac{m}{4 - m}$。
答案 D
答案
D
解析
【分析】
要解决分式约分问题，需遵循“先因式分解，再约去公因式，最后化简整理”的思路：第一步先分别对分子、分母进行因式分解，分子是二次二项式，先提取公因式，为了和分母的因式对应，可优先提取负号；分母是二次三项式，符合完全平方公式的结构特征，用完全平方公式分解；第二步找到分子分母的公因式并约去，注意要保证公因式不为0；第三步对约分后的结果进行符号整理，匹配选项即可。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子：$4m - m^2 = -m^2 + 4m = -m(m - 4)$
分母：$m^2 - 8m + 16 = m^2 - 2×4× m + 4^2 = (m - 4)^2$
代入原式得：
$\frac{4m - m^2}{m^2 - 8m + 16} = \frac{-m(m - 4)}{(m - 4)^2}$
由分式有意义的条件可知$m - 4 ≠ 0$，约去公因式$(m - 4)$得：
原式$= \frac{-m}{m - 4} = \frac{m}{4 - m}$
【答案】
D
【知识点】
分式约分，因式分解，分式基本性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，尤其要注意约分过程中的符号处理，避免因符号变形错误丢分。
【难度系数】
0.7
要解决分式约分问题，需遵循“先因式分解，再约去公因式，最后化简整理”的思路：第一步先分别对分子、分母进行因式分解，分子是二次二项式，先提取公因式，为了和分母的因式对应，可优先提取负号；分母是二次三项式，符合完全平方公式的结构特征，用完全平方公式分解；第二步找到分子分母的公因式并约去，注意要保证公因式不为0；第三步对约分后的结果进行符号整理，匹配选项即可。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子：$4m - m^2 = -m^2 + 4m = -m(m - 4)$
分母：$m^2 - 8m + 16 = m^2 - 2×4× m + 4^2 = (m - 4)^2$
代入原式得：
$\frac{4m - m^2}{m^2 - 8m + 16} = \frac{-m(m - 4)}{(m - 4)^2}$
由分式有意义的条件可知$m - 4 ≠ 0$，约去公因式$(m - 4)$得：
原式$= \frac{-m}{m - 4} = \frac{m}{4 - m}$
【答案】
D
【知识点】
分式约分，因式分解，分式基本性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，尤其要注意约分过程中的符号处理，避免因符号变形错误丢分。
【难度系数】
0.7
例5 把$\frac{-1}{3a+6}$，$\frac{2}{a^2+2a+1}$，$\frac{a}{a^2+3a+2}$通分后，各分式的分子之和为。
解析 $\frac{-1}{3a+6}$，$\frac{2}{a^2+2a+1}$，$\frac{a}{a^2+3a+2}$的分母分别为$3(a+2)$，$(a+1)^2$，$(a+1)(a+2)$，最简公分母为$3(a+1)^2(a+2)$。$\frac{-1}{3a+6}=\frac{-1}{3(a+2)}=\frac{-(a+1)^2}{3(a+1)^2(a+2)}$，$\frac{2}{a^2+2a+1}=\frac{6(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}$，$\frac{a}{a^2+3a+2}=\frac{3a(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}$。
所以把$\frac{-1}{3a+6}$，$\frac{2}{a^2+2a+1}$，$\frac{a}{a^2+3a+2}$通分后，各分式的分子之和为$-(a+1)^2+6(a+2)+3a(a+1)=2a^2+7a+11$。
答案 $2a^2+7a+11$
—特别提醒
1. 当分子或分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面。
2. 在约分时，若分子与分母是多项式，则要先分解因式。
—解题要点
先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的公因式并约去，注意不要忽略数字系数的约分。
—特别提醒
通分和约分是相反的变换。约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子、分母同时乘相同的因式，使几个分式变成分母相同的形式。约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的。
解析 $\frac{-1}{3a+6}$，$\frac{2}{a^2+2a+1}$，$\frac{a}{a^2+3a+2}$的分母分别为$3(a+2)$，$(a+1)^2$，$(a+1)(a+2)$，最简公分母为$3(a+1)^2(a+2)$。$\frac{-1}{3a+6}=\frac{-1}{3(a+2)}=\frac{-(a+1)^2}{3(a+1)^2(a+2)}$，$\frac{2}{a^2+2a+1}=\frac{6(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}$，$\frac{a}{a^2+3a+2}=\frac{3a(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}$。
所以把$\frac{-1}{3a+6}$，$\frac{2}{a^2+2a+1}$，$\frac{a}{a^2+3a+2}$通分后，各分式的分子之和为$-(a+1)^2+6(a+2)+3a(a+1)=2a^2+7a+11$。
答案 $2a^2+7a+11$
—特别提醒
1. 当分子或分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面。
2. 在约分时，若分子与分母是多项式，则要先分解因式。
—解题要点
先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的公因式并约去，注意不要忽略数字系数的约分。
—特别提醒
通分和约分是相反的变换。约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子、分母同时乘相同的因式，使几个分式变成分母相同的形式。约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的。
答案
$\boldsymbol{2a^2+7a+11}$
解析
【分析】
要解决这道分式通分求分子和的问题，可按以下思路逐步推导：第一步，先对三个分式的分母分别进行因式分解，这是找最简公分母的前提；第二步，根据因式分解后的分母确定最简公分母，需取各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂，所有不同因式都要包含在内；第三步，将每个分式的分子、分母同乘相应的因式，使各分式的分母都变为最简公分母，得到通分后的各分子；第四步，将三个通分后的分子相加，展开后合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
1. 先对各分母因式分解：
$\frac{-1}{3a+6}$的分母$3a+6=3(a+2)$；
$\frac{2}{a^2+2a+1}$的分母$a^2+2a+1=(a+1)^2$；
$\frac{a}{a^2+3a+2}$的分母$a^2+3a+2=(a+1)(a+2)$。
2. 确定最简公分母：系数的最小公倍数是3，因式$(a+1)$的最高次为2次，$(a+2)$的最高次为1次，因此最简公分母为$3(a+1)^2(a+2)$。
3. 分别通分得到各分子：
$\frac{-1}{3a+6}=\frac{-(a+1)^2}{3(a+1)^2(a+2)}$，分子为$-(a+1)^2$；
$\frac{2}{a^2+2a+1}=\frac{2×3(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{6(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}$，分子为$6(a+2)$；
$\frac{a}{a^2+3a+2}=\frac{a×3(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{3a(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}$，分子为$3a(a+1)$。
4. 计算分子之和：
$\begin{aligned}&-(a+1)^2+6(a+2)+3a(a+1)\\=&-(a^2+2a+1)+6a+12+3a^2+3a\\=&-a^2-2a-1+6a+12+3a^2+3a\\=&2a^2+7a+11\end{aligned}$
【答案】
$2a^2+7a+11$
【知识点】
分式的通分；因式分解；整式的加减
【点评】
本题是分式基本性质的典型应用题型，解题核心是准确对分母因式分解、正确确定最简公分母，计算过程中要注意负号的处理和同类项的合并，掌握通分的基本步骤就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道分式通分求分子和的问题，可按以下思路逐步推导：第一步，先对三个分式的分母分别进行因式分解，这是找最简公分母的前提；第二步，根据因式分解后的分母确定最简公分母，需取各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂，所有不同因式都要包含在内；第三步，将每个分式的分子、分母同乘相应的因式，使各分式的分母都变为最简公分母，得到通分后的各分子；第四步，将三个通分后的分子相加，展开后合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
1. 先对各分母因式分解：
$\frac{-1}{3a+6}$的分母$3a+6=3(a+2)$；
$\frac{2}{a^2+2a+1}$的分母$a^2+2a+1=(a+1)^2$；
$\frac{a}{a^2+3a+2}$的分母$a^2+3a+2=(a+1)(a+2)$。
2. 确定最简公分母：系数的最小公倍数是3，因式$(a+1)$的最高次为2次，$(a+2)$的最高次为1次，因此最简公分母为$3(a+1)^2(a+2)$。
3. 分别通分得到各分子：
$\frac{-1}{3a+6}=\frac{-(a+1)^2}{3(a+1)^2(a+2)}$，分子为$-(a+1)^2$；
$\frac{2}{a^2+2a+1}=\frac{2×3(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{6(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}$，分子为$6(a+2)$；
$\frac{a}{a^2+3a+2}=\frac{a×3(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{3a(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}$，分子为$3a(a+1)$。
4. 计算分子之和：
$\begin{aligned}&-(a+1)^2+6(a+2)+3a(a+1)\\=&-(a^2+2a+1)+6a+12+3a^2+3a\\=&-a^2-2a-1+6a+12+3a^2+3a\\=&2a^2+7a+11\end{aligned}$
【答案】
$2a^2+7a+11$
【知识点】
分式的通分；因式分解；整式的加减
【点评】
本题是分式基本性质的典型应用题型，解题核心是准确对分母因式分解、正确确定最简公分母，计算过程中要注意负号的处理和同类项的合并，掌握通分的基本步骤就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
