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著名数学家希尔伯特曾说:“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式.”构造图形是为了运用几何图形的直观性，通过数形结合来简化并解决一些复杂代数问题.
（1）如图1，铁路上A，B两点（可被看作直线上的两个点）相距40千米，C，D为两个村庄（可被看作两个点），$AD ⊥ AB$，$BC ⊥ AB$，垂足分别为点A，B，$AD=24$千米，$BC=16$千米，求两个村庄的距离；
（2）在（1）的条件下，要在AB上建造一个供应站P（可被看作点），使得$PC=PD$，求AP的距离；
（3）借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中$x＞0$）
①代数式$\sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(x - 16)^2 + 81}(0＜x＜16)$的最小值为________.
②代数式$\sqrt{(x + 4)^2 + 16} - \sqrt{x^2 + 1}(x＞0)$的最大值为________.
（1）如图1，铁路上A，B两点（可被看作直线上的两个点）相距40千米，C，D为两个村庄（可被看作两个点），$AD ⊥ AB$，$BC ⊥ AB$，垂足分别为点A，B，$AD=24$千米，$BC=16$千米，求两个村庄的距离；
（2）在（1）的条件下，要在AB上建造一个供应站P（可被看作点），使得$PC=PD$，求AP的距离；
（3）借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中$x＞0$）
①代数式$\sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(x - 16)^2 + 81}(0＜x＜16)$的最小值为________.
②代数式$\sqrt{(x + 4)^2 + 16} - \sqrt{x^2 + 1}(x＞0)$的最大值为________.
答案
解:(1) $CD=8\sqrt{26}$千米 (2) $AP$ 的距离为 16 千米 (3) ①20 ②5
