8. (2025 南京市鼓楼区期中)如图,公路上 A，B 两点相距 50 km,C、D 为两村庄,$DA ⊥$ AB 于点 A,$CB ⊥ AB$ 于点 B,已知 $DA=$ 30 km,$CB=20$ km,现在要在公路 AB 上建一个土特产品市场 E,使得 C,D 两村庄到市场 E 的距离相等,则市场 E 应建在距点 A 多少千米处? 并判断此时 $△ DEC$ 的形状,请说明理由.

8. 解:设 $AE=x$ km,则 $BE=(50-x)$km. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$DE^2=DA^2+AE^2=30^2+x^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$CE^2=CB^2+BE^2=20^2+(50-x)^2$. 因为 $DE=CE$,所以 $30^2+x^2=20^2+(50-x)^2$. 解得 $x=20$. 即 $AE=20$ km. 所以市场点 E 应建在距 A 的 20 km 处. 所以 $AE=BC,BE=50-20=30$(km). 所以 $AD=BE$. 在 $△ ADE$ 和 $△ BEC$ 中,
$\begin{cases} AE=BC, \\ ∠DAE=∠EBC, \\ AD=BE, \end{cases}$
所以 $△ ADE ≌ △ BEC(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠AED=∠BCE$. 因为 $∠BCE+∠BEC=90°$,所以 $∠AED+∠BEC=90°$,所以 $∠DEC=90°$. 因为 $DE=EC$,所以 $△ DEC$ 是等腰直角三角形.

9. (2025 镇江市京口区期中)我国著名数学家华罗庚曾说过:"数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休".数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.
某校数学兴趣小组,在学习完勾股定理和实数后,进行了如下的问题探索与分析:
【提出问题】已知 $0＜x＜1$,求 $\sqrt{1+x^2}+$ $\sqrt{1+(1-x)^2}$ 的最小值.
【分析问题】根据勾股定理,可以通过构造直角三角形的方法,来分别表示长为 $\sqrt{1+x^2}$ 和 $\sqrt{1+(1-x)^2}$ 的线段,将代数求和转化为线段求和问题.
【解决问题】
(1) 如图,我们可以构造边长为 1 的正方形 $ABCD$,$P$ 为边 $BC$ 上的动点. 设 $BP=$ $x$, 则 $PC=1-x$. 则 $\sqrt{1+x^2}+$ $\sqrt{1+(1-x)^2}$ 可表示线段和线段的和.
(2) 在 (1) 的条件下,已知 $0＜x＜1$,求 $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+(1-x)^2}$ 的最小值.
(3)【应用拓展】应用数形结合思想,则 $\sqrt{x^2+9}+\sqrt{x^2-12x+37}$ 的最小值是.

9. 解:(1) $AP$ $DP$
(2) 如图1,作点 $D$ 关于 $BC$ 的对称点 $D'$,连接 $AD'$,所以 $DD'=2CD=2$. 所以 $AP+PD$ 的最小值即为 $AD'$ 的长. 在 $\mathrm{Rt}△ ADD'$ 中,由勾股定理,得 $AD'=\sqrt{AD^2+DD'^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$. 即$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+(1-x)^2}$ 的最小值为$\sqrt{5}$.

(3 ) $2\sqrt{13}$ 提示: 因 为 $\sqrt{x^2+9}$ +$\sqrt{x^2-12x+37}=\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(6-x)^2+1}$,如图2,$AB=3,CD=1,BC=6,AB ⊥ BC,CD ⊥ BC$,设 $BE=x$,则 $AE=\sqrt{x^2+9},DE=\sqrt{(6-x)^2+1}$,所以$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{x^2-12x+37}=AE+DE≥AD$,所以当 $A,E,D$ 三点共线时取等号. 过点 $D$ 作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$,则 $DH=BC=6,AH=AB+BH=AB+CD=4$,所以 $AD=\sqrt{AH^2+DH^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$,即$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{x^2-12x+37}$ 的最小值是 $2\sqrt{13}$.