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1. 下列能断定$△ ABC$为等腰三角形的是（
A.$∠ A=40°,∠ B=50°$
B.$∠ A=2∠ B=70°$
C.$∠ A=40°,∠ B=70°$
D.$AB=3,BC=6$,周长为 14
C
）A.$∠ A=40°,∠ B=50°$
B.$∠ A=2∠ B=70°$
C.$∠ A=40°,∠ B=70°$
D.$AB=3,BC=6$,周长为 14
答案
1. C
2. (2025 无锡市宜兴市期中)如图,在$4×4$的正方形网格中,M,N 是两个格点(即小正方形的顶点),在网格中找出格点 P,使$△ MNP$为等腰三角形,那么满足条件的格点 P 的个数是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2. C 提示:如图,分 $MP=MN,NP=NM,PM=PN$ 三种情况讨论,作出图形即可解答.
3. 下列命题中,不正确的是 （
A.两个外角相等的三角形是等腰三角形
B.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C.两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
D.两个内角分别是$50°$和$65°$的三角形是等腰三角形
C
）A.两个外角相等的三角形是等腰三角形
B.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C.两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
D.两个内角分别是$50°$和$65°$的三角形是等腰三角形
答案
3. C
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°,CD⊥$ $AB$于点$D$,$CE$平分$∠ ACD$交$AB$于点$E$,则下列结论一定成立的是 （
A.$BC=EC$
B.$EC=BE$
C.$BC=BE$
D.$AE=EC$
C
）A.$BC=EC$
B.$EC=BE$
C.$BC=BE$
D.$AE=EC$
答案
4. C 提示:因为$∠ ACB=90°,CD ⊥ AB$,所以$∠ A+∠ B=90°,∠ BCD+∠ B=90°$,所以$∠ A=∠ BCD$.
因为 $CE$ 平分$∠ ACD$,所以$∠ ACE=∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACD$,所以$∠ A+∠ ACE=∠ BCD+∠ DCE$,
所以$∠ BEC=∠ BCE$,所以 $BC=BE$.
因为 $CE$ 平分$∠ ACD$,所以$∠ ACE=∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACD$,所以$∠ A+∠ ACE=∠ BCD+∠ DCE$,
所以$∠ BEC=∠ BCE$,所以 $BC=BE$.
5. 在$△ ABC$中，$∠ A=40^{\circ }$，当$∠ B=$
$40°或70°或100°$
时，$△ ABC$是等腰三角形.答案
5. $40°或70°或100°$ 提示:①当$∠ A$ 是底角时,若$AB=BC$,则$∠ A=∠ C=40°$,所以$∠ B=180°-∠ A-∠ C=100°$;若 $AC=BC$,则$∠ A=∠ B=40°$.
②当$∠ A$ 是顶角时,$AB=AC$,所以$∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=70°$. 综上,$∠ B$ 的度数为 $40°$或$70°$或 $100°$.
②当$∠ A$ 是顶角时,$AB=AC$,所以$∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=70°$. 综上,$∠ B$ 的度数为 $40°$或$70°$或 $100°$.
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ ABC=$$36°$,$D,E$是边$BC$上的两点,且$∠ BAD=$$∠ DAE=∠ EAC$,则图中有
6
个等腰三角形.答案
6. 6 提示:因为 $AB=AC$,所以$∠ C=∠ ABC=36°$,所以$∠ BAC=180°-∠ C-∠ ABC=108°$,所以$∠ BAD=∠ DAE=∠ EAC=36°$,所以$∠ BAE=∠ AEB=∠ CAD=∠ ADC=72°,∠ B=∠ BAD=36°,∠ C=∠ EAC=36°$, 所 以 $△ ABC,△ ABD$,$△ ABE,△ ADE,△ ADC,△ AEC$ 都是等腰三角形.
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=20°$,$∠ B=40°$,$AC$的垂直平分线$MN$交$BC$于点$N$,且$CN$的长为$m$,$BN$的长为$n$,则$△ ABN$的周长为
$2m+n$
(用含$m,n$的代数式表示).答案
7. $2m+n$ 提示:因为 $MN$ 垂直平分 $AC$,$∠ C=20°$,所以 $AN=CN=m$,$∠ CAN=∠ C=20°$,所以$∠ ANB=∠ CAN+∠ C=40°$. 因为$∠ B=40°$,所以$∠ B=∠ ANB$,所以 $AB=AN=m$. 所以$△ ABN$的周长是$AB+BN+AN=2m+n$.
8. (2025扬州市仪征市期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,AD// BC,∠ C=2∠ D$.求证:$△ ABD$是等腰三角形.
答案
8. 证明:因为 $AB=AC$,所以$∠ C=∠ ABC$.
因为 $AD// BC$,所以$∠ D=∠ DBC$. 因为$∠ C=2∠ D$,所以$∠ ABC=2∠ D=2∠ DBC$.
所以 $BD$ 平分$∠ ABC$. 所以$∠ ABD=∠ DBC$. 所以$∠ D=∠ ABD$. 所以$△ ABD$是等腰三角形.
因为 $AD// BC$,所以$∠ D=∠ DBC$. 因为$∠ C=2∠ D$,所以$∠ ABC=2∠ D=2∠ DBC$.
所以 $BD$ 平分$∠ ABC$. 所以$∠ ABD=∠ DBC$. 所以$∠ D=∠ ABD$. 所以$△ ABD$是等腰三角形.
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=2∠ C$,$BD$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$D$,$AE ⊥ BD$,垂足为$E$.求证:$AC=2BE$.
答案
9. 证明:过点 $A$ 作 $AF// BC$,交 $BD$ 的延长线于点 $F$,所以$∠ F=∠ DBC$,$∠ FAD=∠ C$.
因为$∠ ABC=2∠ C$,$BD$ 平分$∠ ABC$,所以$∠ ABD=∠ DBC=∠ C$. 所以$∠ F=∠ FAD=∠ ABD$,$BD=CD$. 所以 $AD=DF$,$AB=AF$. 又因为 $AE ⊥ BD$,所以$BE=EF=\frac{1}{2}BF$. 因为 $AC=AD+CD=DF+BD=BF$,所以 $AC=2BE$.
因为$∠ ABC=2∠ C$,$BD$ 平分$∠ ABC$,所以$∠ ABD=∠ DBC=∠ C$. 所以$∠ F=∠ FAD=∠ ABD$,$BD=CD$. 所以 $AD=DF$,$AB=AF$. 又因为 $AE ⊥ BD$,所以$BE=EF=\frac{1}{2}BF$. 因为 $AC=AD+CD=DF+BD=BF$,所以 $AC=2BE$.
