1. 如图,正方形$ABCD$的边长为4,顶点$A$的坐标是$(-1,1),AB// x$轴,则顶点$C$的坐标是（）

A.$(3,1)$
B.$(4,1)$
C.$(3,5)$
D.$(-1.5)$

1. C

2. (2025 连云港市期末)如图,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,直线 $l_1$ 过点 $(3,0)$ 且平行于$y$ 轴,直线 $l_2$ 过点 $(0,-4)$ 且平行于 $x$ 轴,点 $P$ 的坐标为 $(a,b)$. 根据图中点 $P$ 的位置,下列结论正确的是（）

A.$a＜-4,b＞3$
B.$0＜a＜3,b＜3$
C.$a＞3,b＜-4$
D.$a＞3,-4＜b＜0$

2. D 提示:由题图可知,点 $P$ 在直线 $x=3$ 的右侧,所以 $a＞3$. 点 $P$ 在直线 $y=-4$ 的上方且在 $x$ 轴下方,所以 $-4＜b＜0$.

3. (2025 无锡市锡山区期末)如图,在平面直角坐标系中,点 B 的坐标是$(8,12)$,点 C 的坐标是$(8,2)$,$AB=AC=13$,则点 A 的坐标是（）


A.$(3,6)$
B.$(-4,5)$
C.$(-4,6)$
D.$(-4,7)$

3. D 提示:过点 $A$ 作 $BC$ 的垂线,垂足为 $M$. 因为 $AB=AC$,且 $AM⊥ BC$,所以 $BM=CM$. 由题意,得 $BC=12-2=10$,所以 $BM=CM=5$. 所以点 $M$ 的纵坐标为 $12-5=7$,所以点 $A$ 的纵坐标为 7. 在$\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=12$,$8-12=-4$,所以点 $A$ 的坐标为$(-4,7)$.

4. (2025 扬州市校级期末) 已知点 $P(m,3)$，$Q(-2m+1,3)$，且 $P,Q$ 两点不重合，线段$PQ$ 的长度随 $m$ 的增大而减小，则 $m$ 的取值范围是.

4. $m＜\dfrac{1}{3}$ 提示:因为点 $P$ 的坐标为 $(m,3)$,点 $Q$ 的坐标为 $(-2m+1,3)$,所以线段 $PQ$ 平行于 $x$ 轴,$PQ=|m-(-2m+1)|=|3m-1|$. 因为 $P,Q$ 两点不重合,所以 $3m-1≠0$,即 $m≠\dfrac{1}{3}$. 当 $m＞\dfrac{1}{3}$ 时,$PQ=3m-1$,此时 $PQ$ 随 $m$ 的增大而增大,故不符合题意. 当 $m＜\dfrac{1}{3}$ 时,$PQ=-3m+1$,此时 $PQ$ 随 $m$ 的增大而减小,所以 $m$ 的取值范围是 $m＜\dfrac{1}{3}$.

5. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,8)$,$B(6,8)$,$C(6,0)$. 点$P$同时满足下面两个条件:①点$P$到$∠ AOC$两边的距离相等；②$PA=PB$.
(1) 用直尺(没有刻度)和圆规作出点$P$(保留作图痕迹,不写作法).
(2) 点$P$的坐标为.

5. 解:(1) 如图,点 $P$ 即为所求.
(2) $(3,3)$

6. (2026 扬州市宝应县期末)在平面直角坐标系中,给出如下定义:点 P 分别到 x 轴、y 轴和坐标原点的距离均为整数时,称点P 为“完美点”.
(1) 点$A(-4,3)$(填“是”或“否”)“完美点”.
(2) 若点$B(5,a),OB=a+1$,求 a 的值并判断点 B 是否是“完美点”.
(3) 若 n 为整数,点$C(n^{2}-1,2n)$,求证:点C 为“完美点”.

6. 解:(1) 是 提示:因为点 $A$ 的坐标为 $(-4,3)$,所以点 $A$ 到 $x$ 轴的距离为 3,到 $y$ 轴的距离为 4,到原点的距离为 5,且均为整数,所以点 $A$ 是“完美点”.
(2) 因为点 $B$ 的坐标为 $(5,a)$ 且 $OB=a+1$,所以 $5^2+a^2=(a+1)^2$. 解得 $a=12$. 所以点 $B(5,12)$. 所以点 $B$ 到 $x$ 轴的距离为 12,到 $y$ 轴的距离为 5,到原点的距离为 13,且均为整数,所以点 $B$ 是“完美点”.
(3) 证明:因为点 $C$ 的坐标为 $(n^2-1,2n)$,所以点 $C$ 到 $x$ 轴的距离为 $|2n|$,到 $y$ 轴的距离为 $|n^2-1|$,到原点的距离为 $\sqrt{(n^2-1)^2+(2n)^2}=n^2+1$. 因为 $n$ 为整数,所以 $|2n|$,$|n^2-1|$,$n^2+1$ 都是整数. 所以点 $C$ 为“完美点”.