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15. （10 分）如图，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，点 $ M $，$ N $ 分别是线段 $ AC $，$ BC $ 的中点。若 $ AC = 10 \mathrm{ cm} $，$ BC = 8 \mathrm{ cm} $，求线段 $ MN $ 的长度。
答案
15. 解:因为$ AC = 10\ \mathrm{cm} $，$ BC = 8\ \mathrm{cm} $，点$ M $，$ N $分别是线段$ AC $，$ BC $的中点，
所以$ MC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} × 10 = 5(\mathrm{cm}) $，
$ NC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 8 = 4(\mathrm{cm}) $。
所以$ MN = MC + NC = 5 + 4 = 9(\mathrm{cm}) $。
所以$ MC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} × 10 = 5(\mathrm{cm}) $，
$ NC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 8 = 4(\mathrm{cm}) $。
所以$ MN = MC + NC = 5 + 4 = 9(\mathrm{cm}) $。
解析
【分析】
要计算线段MN的长度，已知M、N分别是AC、BC的中点，可先根据线段中点的定义求出MC和NC的长度，再结合线段的和差关系，将MC与NC相加即可得到MN的长度。
【解析】
因为$AC = 10\ \mathrm{cm}$，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，点$M$，$N$分别是线段$AC$，$BC$的中点，
所以根据线段中点的定义，得$MC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}×10 = 5(\mathrm{cm})$，
$NC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}×8 = 4(\mathrm{cm})$。
又因为线段$MN = MC + NC$，
所以$MN = 5 + 4 = 9(\mathrm{cm})$。
【答案】
$9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点、线段和差
【点评】
本题是线段中点性质的基础应用题，核心是利用中点将线段二等分，再通过线段和差计算目标线段长度，属于几何入门的基础题型，能帮助学生巩固线段相关的基本概念。
【难度系数】
0.6
要计算线段MN的长度，已知M、N分别是AC、BC的中点，可先根据线段中点的定义求出MC和NC的长度，再结合线段的和差关系，将MC与NC相加即可得到MN的长度。
【解析】
因为$AC = 10\ \mathrm{cm}$，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，点$M$，$N$分别是线段$AC$，$BC$的中点，
所以根据线段中点的定义，得$MC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}×10 = 5(\mathrm{cm})$，
$NC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}×8 = 4(\mathrm{cm})$。
又因为线段$MN = MC + NC$，
所以$MN = 5 + 4 = 9(\mathrm{cm})$。
【答案】
$9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点、线段和差
【点评】
本题是线段中点性质的基础应用题，核心是利用中点将线段二等分，再通过线段和差计算目标线段长度，属于几何入门的基础题型，能帮助学生巩固线段相关的基本概念。
【难度系数】
0.6
16. （12 分）如图，已知 $ ∠ AOB = 120^{\circ} $，射线 $ OC $ 是 $ ∠ AOB $ 内部的一条射线，且 $ ∠ AOC : ∠ BOC = 1 : 2 $。
（1）求 $ ∠ AOC $ 的度数；
（2）若过点 $ O $ 作射线 $ OD $，使 $ ∠ AOD = \frac{1}{2} ∠ AOB $，求 $ ∠ COD $ 的度数。
（1）求 $ ∠ AOC $ 的度数；
（2）若过点 $ O $ 作射线 $ OD $，使 $ ∠ AOD = \frac{1}{2} ∠ AOB $，求 $ ∠ COD $ 的度数。
答案
16. 解:(1)因为$ ∠ AOC : ∠ BOC = 1 : 2 $，
$ ∠ AOB = 120^{\circ} $，
所以$ ∠ AOC = \dfrac{1}{3}∠ AOB = \dfrac{1}{3} × 120^{\circ} = 40^{\circ} $。
(2)因为$ ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOB $，
$ ∠ AOB = 120^{\circ} $，
所以$ ∠ AOD = \dfrac{1}{2} × 120^{\circ} = 60^{\circ} $。
当射线$ OD $在$ ∠ AOB $内部时，
$ ∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC $
$ = 60^{\circ} - 40^{\circ} = 20^{\circ} $；
当射线$ OD $在$ ∠ AOB $外部时，
$ ∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOD $
$ = 40^{\circ} + 60^{\circ} = 100^{\circ} $。
因此，$ ∠ COD = 20^{\circ} $或$ 100^{\circ} $。
$ ∠ AOB = 120^{\circ} $，
所以$ ∠ AOC = \dfrac{1}{3}∠ AOB = \dfrac{1}{3} × 120^{\circ} = 40^{\circ} $。
(2)因为$ ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOB $，
$ ∠ AOB = 120^{\circ} $，
所以$ ∠ AOD = \dfrac{1}{2} × 120^{\circ} = 60^{\circ} $。
当射线$ OD $在$ ∠ AOB $内部时，
$ ∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC $
$ = 60^{\circ} - 40^{\circ} = 20^{\circ} $；
当射线$ OD $在$ ∠ AOB $外部时，
$ ∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOD $
$ = 40^{\circ} + 60^{\circ} = 100^{\circ} $。
因此，$ ∠ COD = 20^{\circ} $或$ 100^{\circ} $。
解析
【分析】
第(1)问，已知∠AOC与∠BOC的比例关系，且两角之和为∠AOB，通过比例分配可直接计算∠AOC；第(2)问，射线OD的位置不确定，需分“在∠AOB内部”和“在∠AOB外部”两种情况，利用角的和差关系计算∠COD，避免漏解。
【解析】
(1) 因为∠AOC : ∠BOC = 1 : 2，且∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 120°，总份数为1+2=3份，∠AOC占1份，所以：
∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}$×120° = 40°。
(2) 因为∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB，∠AOB=120°，所以：
∠AOD = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
分两种情况讨论：
① 当射线OD在∠AOB内部时，∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 60° - 40° = 20°；
② 当射线OD在∠AOB外部时，∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 40° + 60° = 100°。
综上，∠COD的度数为20°或100°。
【答案】
∠AOC的度数为40°；∠COD的度数为20°或100°。
【知识点】
角的计算、分类讨论、比例分配
【点评】
本题考查角的和差计算，核心是第(2)问需考虑射线OD的两种位置，体现分类讨论思想，需注意思维严谨性，避免漏解，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问，已知∠AOC与∠BOC的比例关系，且两角之和为∠AOB，通过比例分配可直接计算∠AOC；第(2)问，射线OD的位置不确定，需分“在∠AOB内部”和“在∠AOB外部”两种情况，利用角的和差关系计算∠COD，避免漏解。
【解析】
(1) 因为∠AOC : ∠BOC = 1 : 2，且∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 120°，总份数为1+2=3份，∠AOC占1份，所以：
∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}$×120° = 40°。
(2) 因为∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB，∠AOB=120°，所以：
∠AOD = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
分两种情况讨论：
① 当射线OD在∠AOB内部时，∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 60° - 40° = 20°；
② 当射线OD在∠AOB外部时，∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 40° + 60° = 100°。
综上，∠COD的度数为20°或100°。
【答案】
∠AOC的度数为40°；∠COD的度数为20°或100°。
【知识点】
角的计算、分类讨论、比例分配
【点评】
本题考查角的和差计算，核心是第(2)问需考虑射线OD的两种位置，体现分类讨论思想，需注意思维严谨性，避免漏解，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
