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17. 【实际情境】
叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校 15 km 的车站. 由于摩托车后座只能坐 1 人, 为了节约时间, 叶老师骑摩托车先带着乙出发, 同时, 甲步行出发. 已知甲、乙的步行速度都是 5 km/h, 摩托车的速度是 45 km/h.
【方案预设】
(1)预设方案 1: 叶老师将乙送到车站后, 再回去接甲并将甲送到车站. 求叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间.
(2)预设方案 2: 叶老师骑摩托车行驶 $ a $ h, 送学生乙到路上某一处, 将乙放下, 让乙步行去车站, 与此同时, 叶老师回去接甲并将甲送到车站, 叶老师骑摩托车一共行驶$ \frac{5}{6} $ h. 求 $ a $ 的值.
【优化方案】
(3)请设计一种方案, 使甲、乙两位学生在出发 50 min 内(不含 50 min)全部到达车站. 并直接写出叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间. (要求: 用文字写出方案)
叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校 15 km 的车站. 由于摩托车后座只能坐 1 人, 为了节约时间, 叶老师骑摩托车先带着乙出发, 同时, 甲步行出发. 已知甲、乙的步行速度都是 5 km/h, 摩托车的速度是 45 km/h.
【方案预设】
(1)预设方案 1: 叶老师将乙送到车站后, 再回去接甲并将甲送到车站. 求叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间.
(2)预设方案 2: 叶老师骑摩托车行驶 $ a $ h, 送学生乙到路上某一处, 将乙放下, 让乙步行去车站, 与此同时, 叶老师回去接甲并将甲送到车站, 叶老师骑摩托车一共行驶$ \frac{5}{6} $ h. 求 $ a $ 的值.
【优化方案】
(3)请设计一种方案, 使甲、乙两位学生在出发 50 min 内(不含 50 min)全部到达车站. 并直接写出叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间. (要求: 用文字写出方案)
答案
17. (1)解：叶老师送乙到车站的时间为 $t_1=15÷45=\frac{1}{3}(\mathrm{h})$，此时甲步行的路程为 $5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}(\mathrm{km})$，
叶老师和甲的距离为 $15-\frac{5}{3}=\frac{40}{3}(\mathrm{km})$，
叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为 $t_2=\frac{40}{3}÷(45+5)=\frac{4}{15}(\mathrm{h})$，
相遇后叶老师送甲到车站的时间与 $t_2$ 相等，即 $t_3=\frac{4}{15}(\mathrm{h})$，
总时间 $t=\frac{1}{3}+\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{13}{15}(\mathrm{h})$ .
答：方案 1 所需时间为 $\frac{13}{15}\mathrm{ h}$.
(2)解：叶老师送乙 $a$ h，行驶路程为 $45a$ km，此时甲步行路程为 $5a$ km，
叶老师与甲的距离为 $45a-5a=40a$ km，
叶老师返回与甲相遇的时间为 $t_1=\frac{40a}{45+5}=\frac{4a}{5}(\mathrm{h})$，相遇时甲一共步行的路程为 $5(a+\frac{4a}{5})=9a$ km，剩余到车站的路程为 $(15-9a)$ km，
叶老师送甲到车站的时间为 $t_2=\frac{15-9a}{45}(\mathrm{h})$，
根据摩托车行驶总时间列方程，得 $a+\frac{4a}{5}+\frac{15-9a}{45}=\frac{5}{6}$，解得 $a=\frac{5}{16}$，
答：$a$ 的值为 $\frac{5}{16}$.
(3)解：设计方案：叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶一段时间后放下甲，让甲步行前往车站，同时叶老师原路返回接已经步行出发的乙，接到乙后骑摩托车送乙前往车站，最终甲，乙同时到达车站.
设甲、乙两位学生步行都为 $x$ km，
则叶老师行驶路程为 $15+2(15-2x)=(45-4x)$ km，
$\therefore \frac{x}{5}=\frac{2(15-2x)+x}{45}$，解得 $x=\frac{5}{2}$，
叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶时间为 $(15-\frac{5}{2})÷45=\frac{5}{18}(\mathrm{ h})$，余下路程 $\frac{5}{2}$ km，让甲步行前往车站，耗时 $\frac{5}{2}÷5=\frac{1}{2}(\mathrm{ h})$，甲用时 $\frac{5}{18}+\frac{1}{2}=\frac{7}{9}(\mathrm{h})$，
同时叶老师原路返回与乙相遇，乙步行时间为 $\frac{1}{2}$ h，路程为 $\frac{5}{2}$ km，接到乙后骑摩托车送乙前往车站需要时间为 $\frac{5}{18}$ h，乙用时 $\frac{1}{2}+\frac{5}{18}=\frac{7}{9}(\mathrm{h})$ .
计算得总时间为 $\frac{7}{9}\mathrm{ h}＜50\mathrm{ min}$，符合要求.
答：该方案所需时间为 $\frac{7}{9}\mathrm{ h}$.
叶老师和甲的距离为 $15-\frac{5}{3}=\frac{40}{3}(\mathrm{km})$，
叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为 $t_2=\frac{40}{3}÷(45+5)=\frac{4}{15}(\mathrm{h})$，
相遇后叶老师送甲到车站的时间与 $t_2$ 相等，即 $t_3=\frac{4}{15}(\mathrm{h})$，
总时间 $t=\frac{1}{3}+\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{13}{15}(\mathrm{h})$ .
答：方案 1 所需时间为 $\frac{13}{15}\mathrm{ h}$.
(2)解：叶老师送乙 $a$ h，行驶路程为 $45a$ km，此时甲步行路程为 $5a$ km，
叶老师与甲的距离为 $45a-5a=40a$ km，
叶老师返回与甲相遇的时间为 $t_1=\frac{40a}{45+5}=\frac{4a}{5}(\mathrm{h})$，相遇时甲一共步行的路程为 $5(a+\frac{4a}{5})=9a$ km，剩余到车站的路程为 $(15-9a)$ km，
叶老师送甲到车站的时间为 $t_2=\frac{15-9a}{45}(\mathrm{h})$，
根据摩托车行驶总时间列方程，得 $a+\frac{4a}{5}+\frac{15-9a}{45}=\frac{5}{6}$，解得 $a=\frac{5}{16}$，
答：$a$ 的值为 $\frac{5}{16}$.
(3)解：设计方案：叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶一段时间后放下甲，让甲步行前往车站，同时叶老师原路返回接已经步行出发的乙，接到乙后骑摩托车送乙前往车站，最终甲，乙同时到达车站.
设甲、乙两位学生步行都为 $x$ km，
则叶老师行驶路程为 $15+2(15-2x)=(45-4x)$ km，
$\therefore \frac{x}{5}=\frac{2(15-2x)+x}{45}$，解得 $x=\frac{5}{2}$，
叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶时间为 $(15-\frac{5}{2})÷45=\frac{5}{18}(\mathrm{ h})$，余下路程 $\frac{5}{2}$ km，让甲步行前往车站，耗时 $\frac{5}{2}÷5=\frac{1}{2}(\mathrm{ h})$，甲用时 $\frac{5}{18}+\frac{1}{2}=\frac{7}{9}(\mathrm{h})$，
同时叶老师原路返回与乙相遇，乙步行时间为 $\frac{1}{2}$ h，路程为 $\frac{5}{2}$ km，接到乙后骑摩托车送乙前往车站需要时间为 $\frac{5}{18}$ h，乙用时 $\frac{1}{2}+\frac{5}{18}=\frac{7}{9}(\mathrm{h})$ .
计算得总时间为 $\frac{7}{9}\mathrm{ h}＜50\mathrm{ min}$，符合要求.
答：该方案所需时间为 $\frac{7}{9}\mathrm{ h}$.
解析
【分析】
(1) 方案1需分段计算总时间：首先计算老师送乙到车站的耗时，同时算出这段时间甲步行的路程，得到老师返回时与甲的距离；接下来老师返回接甲属于相向相遇问题，用距离除以速度和可得相遇时间；最后相遇后老师送甲到车站的路程与返回路程相等，速度相同，所以耗时和相遇时间一致，三段时间相加即为总耗时。
(2) 方案2中摩托车总行驶时间分为三段：送乙的$a$小时、返回接甲的时间、送甲到车站的时间。先算出送乙$a$小时后老师和甲的距离，用相遇公式求出返回时间；再算出相遇时甲步行的总路程，得到甲到车站的剩余路程，进而求出送甲的耗时，最后根据摩托车总行驶时间列一元一次方程求解$a$即可。
(3) 要让两人在50分钟内到达，最优思路是让两人同时到达车站：先送一名学生行驶一段路程后，放下让其步行去车站，老师立即返回接另一名步行的学生，最终两人同时到站，此时总时间最短，计算可验证符合时间要求。
【解析】
(1) 叶老师送乙到车站的时间为 $t_1=15÷45=\frac{1}{3}(\mathrm{h})$，此时甲步行的路程为 $5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}(\mathrm{km})$，
叶老师和甲的距离为 $15-\frac{5}{3}=\frac{40}{3}(\mathrm{km})$，
叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为 $t_2=\frac{40}{3}÷(45+5)=\frac{4}{15}(\mathrm{h})$，
相遇后叶老师送甲到车站的路程与返回路程相等，所以时间与$t_2$相等，即 $t_3=\frac{4}{15}(\mathrm{h})$，
总时间 $t=\frac{1}{3}+\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{13}{15}(\mathrm{h})$。
(2) 叶老师送乙$a$ h，行驶路程为$45a$ km，此时甲步行路程为$5a$ km，
叶老师与甲的距离为$45a-5a=40a$ km，
叶老师返回与甲相遇的时间为 $t_1=\frac{40a}{45+5}=\frac{4a}{5}(\mathrm{h})$，相遇时甲一共步行的路程为 $5(a+\frac{4a}{5})=9a$ km，剩余到车站的路程为 $(15-9a)$ km，
叶老师送甲到车站的时间为 $t_2=\frac{15-9a}{45}(\mathrm{h})$，
根据摩托车行驶总时间列方程，得 $a+\frac{4a}{5}+\frac{15-9a}{45}=\frac{5}{6}$，解得 $a=\frac{5}{16}$。
(3) 设计方案：叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶一段时间后放下甲，让甲步行前往车站，同时叶老师原路返回接已经步行出发的乙，接到乙后骑摩托车送乙前往车站，最终甲，乙同时到达车站。
设甲、乙两位学生步行都为 $x$ km，
则叶老师行驶路程为 $15+2(15-2x)=(45-4x)$ km，
列方程：$\frac{x}{5}=\frac{2(15-2x)+x}{45}$，解得 $x=\frac{5}{2}$，
叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶时间为 $(15-\frac{5}{2})÷45=\frac{5}{18}(\mathrm{ h})$，余下路程 $\frac{5}{2}$ km，让甲步行前往车站，耗时 $\frac{5}{2}÷5=\frac{1}{2}(\mathrm{ h})$，甲总用时 $\frac{5}{18}+\frac{1}{2}=\frac{7}{9}(\mathrm{h})$，
同时叶老师原路返回与乙相遇，乙步行时间为 $\frac{1}{2}$ h，路程为 $\frac{5}{2}$ km，接到乙后骑摩托车送乙前往车站需要时间为 $\frac{5}{18}$ h，乙总用时 $\frac{1}{2}+\frac{5}{18}=\frac{7}{9}(\mathrm{h})$，
$\frac{7}{9}\mathrm{ h}＜50\mathrm{ min}$，符合要求。
【答案】
(1) $\frac{13}{15}\ \mathrm{h}$
(2) $a=\frac{5}{16}$
(3) 方案：叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶$\frac{5}{18}\ \mathrm{h}$后放下甲让其步行前往车站，同时原路返回接步行的乙，接到乙后送乙去车站，最终甲乙同时到达；所需时间为$\frac{7}{9}\ \mathrm{h}$
【知识点】
行程问题，一元一次方程的应用，相遇问题
【点评】
本题结合生活实际送站场景设置分层问题，既考察了行程问题的分段分析能力、相遇公式的基础运用，也考察了用一元一次方程解决实际问题的能力，最后的方案设计环节能有效锻炼优化思维和逻辑推理能力，兼具实用性和趣味性。
【难度系数】
0.6
(1) 方案1需分段计算总时间：首先计算老师送乙到车站的耗时，同时算出这段时间甲步行的路程，得到老师返回时与甲的距离；接下来老师返回接甲属于相向相遇问题，用距离除以速度和可得相遇时间；最后相遇后老师送甲到车站的路程与返回路程相等，速度相同，所以耗时和相遇时间一致，三段时间相加即为总耗时。
(2) 方案2中摩托车总行驶时间分为三段：送乙的$a$小时、返回接甲的时间、送甲到车站的时间。先算出送乙$a$小时后老师和甲的距离，用相遇公式求出返回时间；再算出相遇时甲步行的总路程，得到甲到车站的剩余路程，进而求出送甲的耗时，最后根据摩托车总行驶时间列一元一次方程求解$a$即可。
(3) 要让两人在50分钟内到达，最优思路是让两人同时到达车站：先送一名学生行驶一段路程后，放下让其步行去车站，老师立即返回接另一名步行的学生，最终两人同时到站，此时总时间最短，计算可验证符合时间要求。
【解析】
(1) 叶老师送乙到车站的时间为 $t_1=15÷45=\frac{1}{3}(\mathrm{h})$，此时甲步行的路程为 $5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}(\mathrm{km})$，
叶老师和甲的距离为 $15-\frac{5}{3}=\frac{40}{3}(\mathrm{km})$，
叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为 $t_2=\frac{40}{3}÷(45+5)=\frac{4}{15}(\mathrm{h})$，
相遇后叶老师送甲到车站的路程与返回路程相等，所以时间与$t_2$相等，即 $t_3=\frac{4}{15}(\mathrm{h})$，
总时间 $t=\frac{1}{3}+\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{13}{15}(\mathrm{h})$。
(2) 叶老师送乙$a$ h，行驶路程为$45a$ km，此时甲步行路程为$5a$ km，
叶老师与甲的距离为$45a-5a=40a$ km，
叶老师返回与甲相遇的时间为 $t_1=\frac{40a}{45+5}=\frac{4a}{5}(\mathrm{h})$，相遇时甲一共步行的路程为 $5(a+\frac{4a}{5})=9a$ km，剩余到车站的路程为 $(15-9a)$ km，
叶老师送甲到车站的时间为 $t_2=\frac{15-9a}{45}(\mathrm{h})$，
根据摩托车行驶总时间列方程，得 $a+\frac{4a}{5}+\frac{15-9a}{45}=\frac{5}{6}$，解得 $a=\frac{5}{16}$。
(3) 设计方案：叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶一段时间后放下甲，让甲步行前往车站，同时叶老师原路返回接已经步行出发的乙，接到乙后骑摩托车送乙前往车站，最终甲，乙同时到达车站。
设甲、乙两位学生步行都为 $x$ km，
则叶老师行驶路程为 $15+2(15-2x)=(45-4x)$ km，
列方程：$\frac{x}{5}=\frac{2(15-2x)+x}{45}$，解得 $x=\frac{5}{2}$，
叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶时间为 $(15-\frac{5}{2})÷45=\frac{5}{18}(\mathrm{ h})$，余下路程 $\frac{5}{2}$ km，让甲步行前往车站，耗时 $\frac{5}{2}÷5=\frac{1}{2}(\mathrm{ h})$，甲总用时 $\frac{5}{18}+\frac{1}{2}=\frac{7}{9}(\mathrm{h})$，
同时叶老师原路返回与乙相遇，乙步行时间为 $\frac{1}{2}$ h，路程为 $\frac{5}{2}$ km，接到乙后骑摩托车送乙前往车站需要时间为 $\frac{5}{18}$ h，乙总用时 $\frac{1}{2}+\frac{5}{18}=\frac{7}{9}(\mathrm{h})$，
$\frac{7}{9}\mathrm{ h}＜50\mathrm{ min}$，符合要求。
【答案】
(1) $\frac{13}{15}\ \mathrm{h}$
(2) $a=\frac{5}{16}$
(3) 方案：叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶$\frac{5}{18}\ \mathrm{h}$后放下甲让其步行前往车站，同时原路返回接步行的乙，接到乙后送乙去车站，最终甲乙同时到达；所需时间为$\frac{7}{9}\ \mathrm{h}$
【知识点】
行程问题，一元一次方程的应用，相遇问题
【点评】
本题结合生活实际送站场景设置分层问题，既考察了行程问题的分段分析能力、相遇公式的基础运用，也考察了用一元一次方程解决实际问题的能力，最后的方案设计环节能有效锻炼优化思维和逻辑推理能力，兼具实用性和趣味性。
【难度系数】
0.6
