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类型一 分组分解法
1. 先阅读下面的材料，再分解因式.
$am + an + bm + bn$
$= (am + an) + (bm + bn)$
$= a(m + n) + b(m + n)$
$= (m + n)(a + b)$.
这种因式分解的方法叫作分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.
请用上面材料中提供的方法分解因式：
(1)$m^{2}-mn + mx - nx$； (2)$x^{5}-x^{3}+x^{2}-x$；
(3)$(a + b)(a + b - 4)-c^{2}+4$.
1. 先阅读下面的材料，再分解因式.
$am + an + bm + bn$
$= (am + an) + (bm + bn)$
$= a(m + n) + b(m + n)$
$= (m + n)(a + b)$.
这种因式分解的方法叫作分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.
请用上面材料中提供的方法分解因式：
(1)$m^{2}-mn + mx - nx$； (2)$x^{5}-x^{3}+x^{2}-x$；
(3)$(a + b)(a + b - 4)-c^{2}+4$.
答案
$(1)$分解$m^{2}-mn + mx - nx$
解：
$\begin{aligned}m^{2}-mn + mx - nx&=(m^{2}-mn)+(mx - nx)\\&=m(m - n)+x(m - n)\\&=(m - n)(m + x)\end{aligned}$
$(2)$分解$x^{5}-x^{3}+x^{2}-x$
解：
$\begin{aligned}x^{5}-x^{3}+x^{2}-x&=(x^{5}-x^{3})+(x^{2}-x)\\&=x^{3}(x^{2}-1)+x(x - 1)\\&=x^{3}(x + 1)(x - 1)+x(x - 1)\\&=x(x - 1)[x^{2}(x + 1)+1]\\&=x(x - 1)(x^{3}+x^{2}+1)\end{aligned}$
$(3)$分解$(a + b)(a + b - 4)-c^{2}+4$
解：
$\begin{aligned}&(a + b)(a + b - 4)-c^{2}+4\\=&(a + b)^{2}-4(a + b)-c^{2}+4\\=&[(a + b)^{2}-4(a + b)+4]-c^{2}\\=&(a + b - 2)^{2}-c^{2}\\=&(a + b - 2 + c)(a + b - 2 - c)\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{(m - n)(m + x)}$；$(2)\boldsymbol{x(x - 1)(x^{3}+x^{2}+1)}$；$(3)\boldsymbol{(a + b - 2 + c)(a + b - 2 - c)}$。
解：
$\begin{aligned}m^{2}-mn + mx - nx&=(m^{2}-mn)+(mx - nx)\\&=m(m - n)+x(m - n)\\&=(m - n)(m + x)\end{aligned}$
$(2)$分解$x^{5}-x^{3}+x^{2}-x$
解：
$\begin{aligned}x^{5}-x^{3}+x^{2}-x&=(x^{5}-x^{3})+(x^{2}-x)\\&=x^{3}(x^{2}-1)+x(x - 1)\\&=x^{3}(x + 1)(x - 1)+x(x - 1)\\&=x(x - 1)[x^{2}(x + 1)+1]\\&=x(x - 1)(x^{3}+x^{2}+1)\end{aligned}$
$(3)$分解$(a + b)(a + b - 4)-c^{2}+4$
解：
$\begin{aligned}&(a + b)(a + b - 4)-c^{2}+4\\=&(a + b)^{2}-4(a + b)-c^{2}+4\\=&[(a + b)^{2}-4(a + b)+4]-c^{2}\\=&(a + b - 2)^{2}-c^{2}\\=&(a + b - 2 + c)(a + b - 2 - c)\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{(m - n)(m + x)}$；$(2)\boldsymbol{x(x - 1)(x^{3}+x^{2}+1)}$；$(3)\boldsymbol{(a + b - 2 + c)(a + b - 2 - c)}$。
类型二 十字相乘法
2. 计算$(ax + b)(cx + d)=acx^{2}+adx + bcx + bd = acx^{2}+(ad + bc)x + bd$，倒过来写可得$acx^{2}+(ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$.我们就得到一个关于$x$的二次三项式的因式分解的一个新的公式.我们观察公式左边，二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果.这种因式分解的方法叫作十字相乘法.如图①所示.
示例：因式分解：$12x^{2}-5x - 2$.
解：由图②可知：
$12x^{2}-5x - 2=(3x - 2)(4x + 1)$.
请根据示例，对下列多项式进行因式分解：
(1)$y^{2}-7y + 12$； (2)$11x - x^{2}-18$；
(3)$6x^{2}-7x - 3$； (4)$(x^{2}+x)^{2}-8(x^{2}+x)+12$.
2. 计算$(ax + b)(cx + d)=acx^{2}+adx + bcx + bd = acx^{2}+(ad + bc)x + bd$，倒过来写可得$acx^{2}+(ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$.我们就得到一个关于$x$的二次三项式的因式分解的一个新的公式.我们观察公式左边，二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果.这种因式分解的方法叫作十字相乘法.如图①所示.
示例：因式分解：$12x^{2}-5x - 2$.
解：由图②可知：
$12x^{2}-5x - 2=(3x - 2)(4x + 1)$.
请根据示例，对下列多项式进行因式分解：
(1)$y^{2}-7y + 12$； (2)$11x - x^{2}-18$；
(3)$6x^{2}-7x - 3$； (4)$(x^{2}+x)^{2}-8(x^{2}+x)+12$.
答案
(1) 如图①，12 可以分解为 (-3)×(-4)，并且 (-3) + (-4) = -7，因此 y² - 7y + 12 = (y - 3)(y - 4).
(2) 先把 11x - x² - 18 写成 -x² + 11x - 18，二次项系数为 -1，应当提取出来，变成二次项系数为 1，因此 11x - x² - 18 = -(x² - 11x + 18)，如图②，根据十字相乘法得 11x - x² - 18 = -(x² - 11x + 18) = -(x - 2)(x - 9).(3) 6 可以分解成 2×3，-3 可以分解成 (-3)×1，如图③，根据十字相乘法得 6x² - 7x - 3 = (2x - 3)(3x + 1).(4) 把 x² + x 整体看成一个字母 a，运用十字相乘法，分解二次三项式 a² - 8a + 12 = (a - 2)(a - 6)，再把 a = x² + x 代入，继续完成分解. (x² + x)² - 8(x² + x) + 12 = (x² + x - 2)(x² + x - 6) = (x + 2)(x - 1)(x + 3)(x - 2).类型三 拆项或添项法
3. 阅读下面的材料，然后解决问题：
苏菲·热门，19世纪法国数学家，她在数学研究上造诣颇深.下面是她写的数学著作中的一个问题：因式分解$x^{4}+4$时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即$(x^{2})^{2}+2^{2}$，所以要使用公式就必须添加一项$4x^{2}$，同时减去$4x^{2}$，即$x^{4}+4 = x^{4}+4x^{2}+4 - 4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2x + 2)(x^{2}-2x + 2)$.人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”.请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式分解因式：
(1)$x^{4}+4y^{4}$； (2)$x^{2}-2ax - b^{2}-2ab$；
(3)$x^{3}+2x^{2}-5x - 6$.
3. 阅读下面的材料，然后解决问题：
苏菲·热门，19世纪法国数学家，她在数学研究上造诣颇深.下面是她写的数学著作中的一个问题：因式分解$x^{4}+4$时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即$(x^{2})^{2}+2^{2}$，所以要使用公式就必须添加一项$4x^{2}$，同时减去$4x^{2}$，即$x^{4}+4 = x^{4}+4x^{2}+4 - 4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2x + 2)(x^{2}-2x + 2)$.人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”.请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式分解因式：
(1)$x^{4}+4y^{4}$； (2)$x^{2}-2ax - b^{2}-2ab$；
(3)$x^{3}+2x^{2}-5x - 6$.
答案
$(1)$ 分解因式$x^{4}+4y^{4}$
解：
$\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2}\\&=(x^{2}+2xy + 2y^{2})(x^{2}-2xy + 2y^{2})\end{aligned}$
$(2)$ 分解因式$x^{2}-2ax - b^{2}-2ab$
解：
$\begin{aligned}x^{2}-2ax - b^{2}-2ab&=x^{2}-2ax+a^{2}-a^{2}-b^{2}-2ab\\&=(x - a)^{2}-(a + b)^{2}\\&=(x - a + a + b)(x - a-(a + b))\\&=(x + b)(x-2a - b)\end{aligned}$
$(3)$ 分解因式$x^{3}+2x^{2}-5x - 6$
解：
$\begin{aligned}x^{3}+2x^{2}-5x - 6&=x^{3}+x^{2}+x^{2}+x-6x - 6\\&=(x^{3}+x^{2})+(x^{2}+x)-(6x + 6)\\&=x^{2}(x + 1)+x(x + 1)-6(x + 1)\\&=(x + 1)(x^{2}+x - 6)\\&=(x + 1)(x + 3)(x - 2)\end{aligned}$
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{(x^{2}+2xy + 2y^{2})(x^{2}-2xy + 2y^{2})}$；$(2)$$\boldsymbol{(x + b)(x-2a - b)}$；$(3)$$\boldsymbol{(x + 1)(x + 3)(x - 2)}$。
解：
$\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2}\\&=(x^{2}+2xy + 2y^{2})(x^{2}-2xy + 2y^{2})\end{aligned}$
$(2)$ 分解因式$x^{2}-2ax - b^{2}-2ab$
解：
$\begin{aligned}x^{2}-2ax - b^{2}-2ab&=x^{2}-2ax+a^{2}-a^{2}-b^{2}-2ab\\&=(x - a)^{2}-(a + b)^{2}\\&=(x - a + a + b)(x - a-(a + b))\\&=(x + b)(x-2a - b)\end{aligned}$
$(3)$ 分解因式$x^{3}+2x^{2}-5x - 6$
解：
$\begin{aligned}x^{3}+2x^{2}-5x - 6&=x^{3}+x^{2}+x^{2}+x-6x - 6\\&=(x^{3}+x^{2})+(x^{2}+x)-(6x + 6)\\&=x^{2}(x + 1)+x(x + 1)-6(x + 1)\\&=(x + 1)(x^{2}+x - 6)\\&=(x + 1)(x + 3)(x - 2)\end{aligned}$
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{(x^{2}+2xy + 2y^{2})(x^{2}-2xy + 2y^{2})}$；$(2)$$\boldsymbol{(x + b)(x-2a - b)}$；$(3)$$\boldsymbol{(x + 1)(x + 3)(x - 2)}$。
