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1 下列说法正确的有(
①正方体的6个面完全相同。
②4个同样的小正方体能拼成一个稍大的正方体。
③长方体和正方体都有6个面、8个顶点和12条棱。
④有4个面都是正方形的长方体,一定是正方体。⑤有2个相邻的面是正方形的长方体是正方体。
①③④⑤
)。(填序号)①正方体的6个面完全相同。
②4个同样的小正方体能拼成一个稍大的正方体。
③长方体和正方体都有6个面、8个顶点和12条棱。
④有4个面都是正方形的长方体,一定是正方体。⑤有2个相邻的面是正方形的长方体是正方体。
答案
1. ①③④⑤
解析：①正确，正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。
②错误，如图
，至少需要8个同样的小正方体。③正确，正方体是特殊的长方体，它们都有6个面、8个顶点和12条棱。
④⑤都正确，长方体相对的面完全相同，当有4个面是正方形时，一定有相邻的2个面是正方形，此时长=宽=高，一定是正方体。
解析
【分析】
我们可以先回忆长方体和正方体的核心特征，再逐个判断每个说法的正误：
1. 先明确正方体的定义，判断说法①；
2. 思考拼成稍大正方体所需小正方体的数量，需满足长、宽、高方向至少各2个，以此判断说法②；
3. 结合长方体和正方体的从属关系，判断它们共有的面、顶点、棱的数量，验证说法③；
4. 根据长方体相对面的特征，分析当有4个面或2个相邻面是正方形时，长、宽、高的关系，进而判断说法④和⑤。
【解析】
①正确，正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。
②错误，拼成一个稍大的正方体，长、宽、高方向至少各需要2个小正方体，总共需要$2×2×2=8$个，4个无法拼成，如图。
③正确，正方体是特殊的长方体，它们都有6个面、8个顶点和12条棱。
④正确，长方体相对的面完全相同，当有4个面是正方形时，一定有相邻的2个面是正方形，此时长=宽=高，这个立体图形一定是正方体。
⑤正确，若长方体有2个相邻的面是正方形，说明长=宽=高，满足正方体的特征，因此一定是正方体。
【答案】
①③④⑤
【知识点】
正方体的特征，长方体的特征，立体图形拼接
【点评】
本题考查长方体和正方体的特征及二者的关系，需要准确掌握它们的面、棱、顶点的特点，以及拼成大正方体的条件，通过逐一分析每个说法，能加深对长方体和正方体概念的理解。
【难度系数】
0.6
我们可以先回忆长方体和正方体的核心特征，再逐个判断每个说法的正误：
1. 先明确正方体的定义，判断说法①；
2. 思考拼成稍大正方体所需小正方体的数量，需满足长、宽、高方向至少各2个，以此判断说法②；
3. 结合长方体和正方体的从属关系，判断它们共有的面、顶点、棱的数量，验证说法③；
4. 根据长方体相对面的特征，分析当有4个面或2个相邻面是正方形时，长、宽、高的关系，进而判断说法④和⑤。
【解析】
①正确，正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。
②错误，拼成一个稍大的正方体，长、宽、高方向至少各需要2个小正方体，总共需要$2×2×2=8$个，4个无法拼成，如图
。③正确，正方体是特殊的长方体，它们都有6个面、8个顶点和12条棱。
④正确，长方体相对的面完全相同，当有4个面是正方形时，一定有相邻的2个面是正方形，此时长=宽=高，这个立体图形一定是正方体。
⑤正确，若长方体有2个相邻的面是正方形，说明长=宽=高，满足正方体的特征，因此一定是正方体。
【答案】
①③④⑤
【知识点】
正方体的特征，长方体的特征，立体图形拼接
【点评】
本题考查长方体和正方体的特征及二者的关系，需要准确掌握它们的面、棱、顶点的特点，以及拼成大正方体的条件，通过逐一分析每个说法，能加深对长方体和正方体概念的理解。
【难度系数】
0.6
(1)下图是由棱长为1 cm 的小正方体摆成的大正方体,它的棱长是(
3 cm
),棱长总和是(36 cm
),每个面的面积都是(9cm²
)。答案
(1)3 cm 36 cm 9cm²
解析：正方体的6个面都是相同的正方形，12条棱的长度都相等。题图是用棱长为1 cm的小正方体摆成的大正方体，它的棱长是3 cm，棱长总和是3×12 = 36(cm)，每个面的面积是3×3 = 9(cm²)。
解析：正方体的6个面都是相同的正方形，12条棱的长度都相等。题图是用棱长为1 cm的小正方体摆成的大正方体，它的棱长是3 cm，棱长总和是3×12 = 36(cm)，每个面的面积是3×3 = 9(cm²)。
解析
【分析】
首先观察由小正方体摆成的大正方体，确定每条棱上小正方体的数量，从而得出大正方体的棱长；再根据正方体有12条长度相等的棱，用棱长乘12计算棱长总和；最后根据正方体每个面都是正方形，利用正方形面积公式（边长×边长）计算每个面的面积。
【解析】
1. 确定大正方体的棱长：
由棱长为1 cm的小正方体摆成大正方体，每条棱上有3个小正方体，所以大正方体的棱长为 $1×3 = 3\ \mathrm{cm}$。
2. 计算棱长总和：
正方体有12条长度相等的棱，棱长总和 = 棱长×12，即 $3×12 = 36\ \mathrm{cm}$。
3. 计算每个面的面积：
正方体的每个面都是正方形，正方形面积 = 边长×边长，即 $3×3 = 9\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
3 cm；36 cm；9 cm²
【知识点】
正方体的特征；正方体棱长总和计算；正方形面积计算
【点评】
本题考查正方体的基本特征及相关计算，需要熟练掌握正方体棱、面的特点，以及对应的计算公式，属于基础题型，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.9
首先观察由小正方体摆成的大正方体，确定每条棱上小正方体的数量，从而得出大正方体的棱长；再根据正方体有12条长度相等的棱，用棱长乘12计算棱长总和；最后根据正方体每个面都是正方形，利用正方形面积公式（边长×边长）计算每个面的面积。
【解析】
1. 确定大正方体的棱长：
由棱长为1 cm的小正方体摆成大正方体，每条棱上有3个小正方体，所以大正方体的棱长为 $1×3 = 3\ \mathrm{cm}$。
2. 计算棱长总和：
正方体有12条长度相等的棱，棱长总和 = 棱长×12，即 $3×12 = 36\ \mathrm{cm}$。
3. 计算每个面的面积：
正方体的每个面都是正方形，正方形面积 = 边长×边长，即 $3×3 = 9\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
3 cm；36 cm；9 cm²
【知识点】
正方体的特征；正方体棱长总和计算；正方形面积计算
【点评】
本题考查正方体的基本特征及相关计算，需要熟练掌握正方体棱、面的特点，以及对应的计算公式，属于基础题型，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.9
(2)正方体是长、宽、高都(
相等
)的长方体,在上面集合图中表示它们的关系。若把上面的长方体截成一个最大的正方体,可以怎么截? 在图上画一画,此时高减少了(2
)cm。答案
(2)相等 如下图。
解析：长方体包含正方体。正方体是长、宽、高都相等的长方体，是特殊的长方体。因此只要将长方体的高减少8 - 6 = 2(cm)即可截成最大的正方体。
解析
【分析】
首先，我们需要明确长方体和正方体的特征：正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高都相等，因此在集合图中，正方体的集合属于长方体集合的一部分。接着思考截最大正方体的方法，最大正方体的棱长只能取长方体长、宽、高中的最小值，这样才能保证正方体的各棱长都不超过长方体的对应棱长，最后用原长方体的高减去这个最小棱长，就能得到高减少的长度。
【解析】
1. 正方体的定义：正方体是长、宽、高都相等的长方体，是特殊的长方体，所以在集合图中，代表正方体的集合圈要包含在代表长方体的集合圈内部。
2. 截最大正方体的方法：要截出最大的正方体，需让正方体的棱长等于长方体长、宽、高中的最小值。已知原长方体的高为8cm，最小棱长为6cm，沿着平行于长方体底面的方向，在高为6cm的位置截取，即可得到棱长为6cm的最大正方体。
3. 计算高减少的长度：高减少的长度 = 原长方体的高 - 最大正方体的棱长 = 8 - 6 = 2(cm)。
【答案】
相等
2
【知识点】
正方体的定义、长方体与正方体的关系、截最大正方体
【点评】
本题考查了长方体和正方体的特征及包含关系，同时考查了在长方体中截取最大正方体的方法，需要学生掌握立体图形的基本特征，具备一定的空间想象能力，是对基础概念的综合应用。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要明确长方体和正方体的特征：正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高都相等，因此在集合图中，正方体的集合属于长方体集合的一部分。接着思考截最大正方体的方法，最大正方体的棱长只能取长方体长、宽、高中的最小值，这样才能保证正方体的各棱长都不超过长方体的对应棱长，最后用原长方体的高减去这个最小棱长，就能得到高减少的长度。
【解析】
1. 正方体的定义：正方体是长、宽、高都相等的长方体，是特殊的长方体，所以在集合图中，代表正方体的集合圈要包含在代表长方体的集合圈内部。
2. 截最大正方体的方法：要截出最大的正方体，需让正方体的棱长等于长方体长、宽、高中的最小值。已知原长方体的高为8cm，最小棱长为6cm，沿着平行于长方体底面的方向，在高为6cm的位置截取，即可得到棱长为6cm的最大正方体。
3. 计算高减少的长度：高减少的长度 = 原长方体的高 - 最大正方体的棱长 = 8 - 6 = 2(cm)。
【答案】
相等
2
【知识点】
正方体的定义、长方体与正方体的关系、截最大正方体
【点评】
本题考查了长方体和正方体的特征及包含关系，同时考查了在长方体中截取最大正方体的方法，需要学生掌握立体图形的基本特征，具备一定的空间想象能力，是对基础概念的综合应用。
【难度系数】
0.8
(3)把右面的这块长方体木料平均锯成2段,每段都正好是一个正方体。
①原来的长方体木料的宽是(
②2段小木料的棱长总和比原来长方体木料的棱长总和多(
①原来的长方体木料的宽是(
6
)dm,高是(6
)dm。②2段小木料的棱长总和比原来长方体木料的棱长总和多(
48
)dm。答案
(3)①6 6
②48
解析：①1.2 m = 12 dm，每个正方体的棱长为12÷2 = 6(dm)，即长方体的宽 = 高 = 6 dm。
②如下图，锯开后增加了2个面，每个面有4条棱，一共增加了2×4 = 8(条)棱，所以棱长总和增加了8×6 = 48(dm)。
解析
【分析】
①题目说明把长方体锯成2段后每段是正方体，这意味着原来长方体的长是宽和高的2倍。已知长方体的长是1.2m，先将长度单位换算为分米，再用长除以2即可得到宽和高的长度。
②把长方体锯成2段时，会增加2个正方形的面，每个面包含4条棱，总共会增加8条与宽（高）长度相等的棱，用增加的棱的数量乘以每条棱的长度，就能算出增加的棱长总和。
【解析】
①单位换算：$1.2\,\mathrm{m}=12\,\mathrm{dm}$
由于锯成的每段是正方体，所以长方体的宽和高相等，且长是宽（高）的2倍，因此宽和高为：$12÷2=6(\mathrm{dm})$
②锯开后增加了2个正方形面，每个面有4条棱，增加的棱的总数为：$2×4=8(\mathrm{条})$
每条棱长度是6dm，所以增加的棱长总和为：$8×6=48(\mathrm{dm})$
【答案】
(3)①6 6
②48
【知识点】
1. 长方体与正方体棱长计算
2. 长度单位换算
3. 立体图形切割的棱长变化
【点评】
本题考查长方体和正方体的特征及棱长相关计算，需要结合空间想象理解切割后棱长的变化情况，同时注意单位换算的准确性，锻炼学生的空间思维能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
①题目说明把长方体锯成2段后每段是正方体，这意味着原来长方体的长是宽和高的2倍。已知长方体的长是1.2m，先将长度单位换算为分米，再用长除以2即可得到宽和高的长度。
②把长方体锯成2段时，会增加2个正方形的面，每个面包含4条棱，总共会增加8条与宽（高）长度相等的棱，用增加的棱的数量乘以每条棱的长度，就能算出增加的棱长总和。
【解析】
①单位换算：$1.2\,\mathrm{m}=12\,\mathrm{dm}$
由于锯成的每段是正方体，所以长方体的宽和高相等，且长是宽（高）的2倍，因此宽和高为：$12÷2=6(\mathrm{dm})$
②锯开后增加了2个正方形面，每个面有4条棱，增加的棱的总数为：$2×4=8(\mathrm{条})$
每条棱长度是6dm，所以增加的棱长总和为：$8×6=48(\mathrm{dm})$
【答案】
(3)①6 6
②48
【知识点】
1. 长方体与正方体棱长计算
2. 长度单位换算
3. 立体图形切割的棱长变化
【点评】
本题考查长方体和正方体的特征及棱长相关计算，需要结合空间想象理解切割后棱长的变化情况，同时注意单位换算的准确性，锻炼学生的空间思维能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
3工人叔叔要在地面上搭建一个正方体玻璃房,钢制框架如下图。至少需要多少米钢材?
答案
3. 3×8 = 24(m)
答：至少需要24 m钢材。
解析：根据题图可知，正方体玻璃房中有8条棱需要使用钢材搭建。
答：至少需要24 m钢材。
解析：根据题图可知，正方体玻璃房中有8条棱需要使用钢材搭建。
解析
【分析】
首先观察图形，这个正方体玻璃房搭建在地面上，与地面接触的4条棱不需要使用钢材。正方体一共有12条棱，因此需要钢材的棱数为12-4=8条。已知每条棱的长度是3m，要求至少需要多少米钢材，只需要用每条棱的长度乘以需要的棱的数量即可。
【解析】
正方体共有12条棱，地面上的4条棱无需钢材，所以需要钢材的棱数：$12-4=8$（条）
总钢材长度：$3×8=24$（m）
答：至少需要24 m钢材。
【答案】
24 m
【知识点】
正方体的棱的特征、整数乘法应用
【点评】
本题需要结合实际场景判断所需钢材的棱的数量，不能直接用正方体12条棱计算，要注意观察图形，排除不需要的部分，再进行计算。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，这个正方体玻璃房搭建在地面上，与地面接触的4条棱不需要使用钢材。正方体一共有12条棱，因此需要钢材的棱数为12-4=8条。已知每条棱的长度是3m，要求至少需要多少米钢材，只需要用每条棱的长度乘以需要的棱的数量即可。
【解析】
正方体共有12条棱，地面上的4条棱无需钢材，所以需要钢材的棱数：$12-4=8$（条）
总钢材长度：$3×8=24$（m）
答：至少需要24 m钢材。
【答案】
24 m
【知识点】
正方体的棱的特征、整数乘法应用
【点评】
本题需要结合实际场景判断所需钢材的棱的数量，不能直接用正方体12条棱计算，要注意观察图形，排除不需要的部分，再进行计算。
【难度系数】
0.8
4聪聪准备给家里的小狗做一个新窝。如图,聪聪用铁丝制作了一个长方体窝的框架后,发现高度太低,于是改成了一个正方体框架。改后框架的高是多少分米?
答案
4. (8 + 4 + 3)×4 = 60(dm)
60÷12 = 5(dm)
答：改后框架的高是5 dm。
解析：改造前后，框架的棱长总和不变。
60÷12 = 5(dm)
答：改后框架的高是5 dm。
解析：改造前后，框架的棱长总和不变。
解析
【分析】
这道题的核心是抓住“改造前后铁丝的总长度（即框架的棱长总和）不变”这一关键条件。我们需要先计算出原长方体框架的棱长总和，再利用正方体12条棱长度相等的特征，用棱长总和除以12，即可得到改后正方体框架的棱长，也就是框架的高。
【解析】
1. 计算长方体框架的棱长总和：
根据长方体棱长总和公式：$\mathrm{棱长总和}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽}+\mathrm{高})×4$，代入数据可得：
$(8 + 4 + 3)×4$
$=15×4$
$=60(\mathrm{dm})$
2. 计算正方体框架的棱长（即改后框架的高）：
因为正方体的12条棱长度相等，所以$\mathrm{正方体棱长}=\mathrm{棱长总和}÷12$，代入数据可得：
$60÷12=5(\mathrm{dm})$
答：改后框架的高是5 dm。
【答案】
改后框架的高是5分米。
【知识点】
长方体棱长总和、正方体棱长总和
【点评】
本题考查长方体和正方体棱长总和公式的实际应用，解题关键是明确改造前后框架的总长度不变，需熟练掌握长方体和正方体的棱长特征及相关计算公式。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是抓住“改造前后铁丝的总长度（即框架的棱长总和）不变”这一关键条件。我们需要先计算出原长方体框架的棱长总和，再利用正方体12条棱长度相等的特征，用棱长总和除以12，即可得到改后正方体框架的棱长，也就是框架的高。
【解析】
1. 计算长方体框架的棱长总和：
根据长方体棱长总和公式：$\mathrm{棱长总和}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽}+\mathrm{高})×4$，代入数据可得：
$(8 + 4 + 3)×4$
$=15×4$
$=60(\mathrm{dm})$
2. 计算正方体框架的棱长（即改后框架的高）：
因为正方体的12条棱长度相等，所以$\mathrm{正方体棱长}=\mathrm{棱长总和}÷12$，代入数据可得：
$60÷12=5(\mathrm{dm})$
答：改后框架的高是5 dm。
【答案】
改后框架的高是5分米。
【知识点】
长方体棱长总和、正方体棱长总和
【点评】
本题考查长方体和正方体棱长总和公式的实际应用，解题关键是明确改造前后框架的总长度不变，需熟练掌握长方体和正方体的棱长特征及相关计算公式。
【难度系数】
0.7
5一个正方体的六个面分别写着君子六艺:礼、乐、射、御、书、数,如图。与礼、书、乐相对的面分别是(
御
)、(数
)、(射
)。答案
5. 御 数 射
解析：解答本题时有两种方法。
方法一：无法直接判断谁是谁相对的面，但可根据题图中的字判断哪些不是相对的面，如下图。
方法二：如下图，这个正方体向右转了一下，向后转了一下，可推出乐→射，书→数，礼→御。
解析
【分析】
要解决正方体相对面的问题，我们可以利用“正方体每个面有4个相邻面，仅1个相对面”的特性来思考。有两种核心思路：一是排除法，先找出与目标面相邻的所有面，剩下的那个面就是相对面；二是转动追踪法，观察正方体的转动过程，追踪每个面的位置变化，直接确定相对的面。我们可以结合题目中的三个正方体状态，通过这两种思路推导相对面。
【解析】
方法一：排除法
观察三个正方体的展示面：
1. 与“礼”相邻的面有书、乐、射、数，正方体六个面为礼、乐、射、御、书、数，因此与“礼”相对的面是剩下的“御”；
2. 与“书”相邻的面有礼、乐、射、御，因此与“书”相对的面是剩下的“数”；
3. 最后剩下的“乐”和“射”互为相对面。
方法二：转动追踪法
观察正方体的转动过程：
第一次转动后，原来的“乐”面被转到背面，“射”面出现；第二次转动后，原来的“书”面被转到背面，“数”面出现，结合“礼”面的位置变化，最终可推出：与“礼”相对的是“御”，与“书”相对的是“数”，与“乐”相对的是“射”。
【答案】
御、数、射
【知识点】
正方体相对面判断，空间想象能力
【点评】
本题考查正方体相对面的判断，需要学生具备一定的空间想象能力，可通过排除法或追踪转动过程两种思路解题，核心是利用正方体每个面仅有一个相对面的特性进行分析。
【难度系数】
0.4
要解决正方体相对面的问题，我们可以利用“正方体每个面有4个相邻面，仅1个相对面”的特性来思考。有两种核心思路：一是排除法，先找出与目标面相邻的所有面，剩下的那个面就是相对面；二是转动追踪法，观察正方体的转动过程，追踪每个面的位置变化，直接确定相对的面。我们可以结合题目中的三个正方体状态，通过这两种思路推导相对面。
【解析】
方法一：排除法
观察三个正方体的展示面：
1. 与“礼”相邻的面有书、乐、射、数，正方体六个面为礼、乐、射、御、书、数，因此与“礼”相对的面是剩下的“御”；
2. 与“书”相邻的面有礼、乐、射、御，因此与“书”相对的面是剩下的“数”；
3. 最后剩下的“乐”和“射”互为相对面。
方法二：转动追踪法
观察正方体的转动过程：
第一次转动后，原来的“乐”面被转到背面，“射”面出现；第二次转动后，原来的“书”面被转到背面，“数”面出现，结合“礼”面的位置变化，最终可推出：与“礼”相对的是“御”，与“书”相对的是“数”，与“乐”相对的是“射”。
【答案】
御、数、射
【知识点】
正方体相对面判断，空间想象能力
【点评】
本题考查正方体相对面的判断，需要学生具备一定的空间想象能力，可通过排除法或追踪转动过程两种思路解题，核心是利用正方体每个面仅有一个相对面的特性进行分析。
【难度系数】
0.4
