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8. 先化简，再求值：
(1) $[(3a + b)^{2}-(b + 3a)(3a - b)-6b^{2}]÷ (2b)$，其中$a=-\frac{1}{3}$，$b = - 2$。
(2) $[(x - y)^{2}-x(3x - 2y)+(x + y)(x - y)]÷ (2x)$，其中$x = 1$，$y = - 2$。
(1) $[(3a + b)^{2}-(b + 3a)(3a - b)-6b^{2}]÷ (2b)$，其中$a=-\frac{1}{3}$，$b = - 2$。
(2) $[(x - y)^{2}-x(3x - 2y)+(x + y)(x - y)]÷ (2x)$，其中$x = 1$，$y = - 2$。
答案
8. 解：（1）$[(3a + b)^{2}-(b + 3a)(3a - b)-6b^{2}]÷(2b)$
$=(9a^{2}+b^{2}+6ab + b^{2}-9a^{2}-6b^{2})÷(2b)$
$=(-4b^{2}+6ab)÷(2b)$
$=-2b + 3a$。
当 $a = -\frac{1}{3}$，$b = -2$ 时，
原式 $=-2×(-2)+3×(-\frac{1}{3}) = 3$。
（2）$[(x - y)^{2}-x(3x - 2y)+(x + y)(x - y)]÷(2x)$
$=(x^{2}-2xy + y^{2}-3x^{2}+2xy + x^{2}-y^{2})÷(2x)$
$=(-x^{2})÷(2x)$
$=-\frac{1}{2}x$。
当 $x = 1$，$y = -2$ 时，原式 $=-\frac{1}{2}$。
$=(9a^{2}+b^{2}+6ab + b^{2}-9a^{2}-6b^{2})÷(2b)$
$=(-4b^{2}+6ab)÷(2b)$
$=-2b + 3a$。
当 $a = -\frac{1}{3}$，$b = -2$ 时，
原式 $=-2×(-2)+3×(-\frac{1}{3}) = 3$。
（2）$[(x - y)^{2}-x(3x - 2y)+(x + y)(x - y)]÷(2x)$
$=(x^{2}-2xy + y^{2}-3x^{2}+2xy + x^{2}-y^{2})÷(2x)$
$=(-x^{2})÷(2x)$
$=-\frac{1}{2}x$。
当 $x = 1$，$y = -2$ 时，原式 $=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
这是两道整式化简求值题，解题思路是先处理括号内的整式运算，优先用乘法公式简化展开步骤：第一步分别用完全平方公式展开平方项，用平方差公式计算对应乘积项，用单项式乘多项式法则展开剩余乘积项；第二步合并中括号内的同类项，把括号内的多项式整理为最简形式；第三步按照多项式除以单项式的法则完成除法运算，得到最简整式后，再代入给定的字母数值计算最终结果。这个流程可以避免直接代入数值的复杂运算，大幅降低出错概率，展开过程中要重点留意去括号时的符号变化，不要出现漏乘、错号的问题。
【解析】
(1) 先展开中括号内的所有项：
利用完全平方公式得$(3a+b)^2=9a^2+6ab+b^2$，利用平方差公式得$(b+3a)(3a-b)=9a^2-b^2$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[9a^2+6ab+b^2-(9a^2-b^2)-6b^2]÷(2b)\\&=[9a^2+6ab+b^2-9a^2+b^2-6b^2]÷(2b)\\&=(6ab-4b^2)÷(2b)\\&=3a-2b\end{aligned}$
将$a=-\frac{1}{3}$，$b=-2$代入化简后的式子：
原式$=3×(-\frac{1}{3}) -2×(-2) = -1 +4 =3$
(2) 展开中括号内的所有项：
利用完全平方公式得$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，展开单项式乘多项式得$x(3x-2y)=3x^2-2xy$，利用平方差公式得$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[x^2-2xy+y^2-(3x^2-2xy)+x^2-y^2]÷(2x)\\&=[x^2-2xy+y^2-3x^2+2xy+x^2-y^2]÷(2x)\\&=(-x^2)÷(2x)\\&=-\frac{1}{2}x\end{aligned}$
将$x=1$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$3a-2b$，求值结果为3；(2) 化简结果为$-\frac{1}{2}x$，求值结果为$-\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础常考题型，核心考察乘法公式的准确应用，运算过程中需要重点关注去括号时的符号变化，先化简再代入的解题思路能大幅简化计算流程，避免复杂数值运算的失误，适合巩固整式运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
这是两道整式化简求值题，解题思路是先处理括号内的整式运算，优先用乘法公式简化展开步骤：第一步分别用完全平方公式展开平方项，用平方差公式计算对应乘积项，用单项式乘多项式法则展开剩余乘积项；第二步合并中括号内的同类项，把括号内的多项式整理为最简形式；第三步按照多项式除以单项式的法则完成除法运算，得到最简整式后，再代入给定的字母数值计算最终结果。这个流程可以避免直接代入数值的复杂运算，大幅降低出错概率，展开过程中要重点留意去括号时的符号变化，不要出现漏乘、错号的问题。
【解析】
(1) 先展开中括号内的所有项：
利用完全平方公式得$(3a+b)^2=9a^2+6ab+b^2$，利用平方差公式得$(b+3a)(3a-b)=9a^2-b^2$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[9a^2+6ab+b^2-(9a^2-b^2)-6b^2]÷(2b)\\&=[9a^2+6ab+b^2-9a^2+b^2-6b^2]÷(2b)\\&=(6ab-4b^2)÷(2b)\\&=3a-2b\end{aligned}$
将$a=-\frac{1}{3}$，$b=-2$代入化简后的式子：
原式$=3×(-\frac{1}{3}) -2×(-2) = -1 +4 =3$
(2) 展开中括号内的所有项：
利用完全平方公式得$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，展开单项式乘多项式得$x(3x-2y)=3x^2-2xy$，利用平方差公式得$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[x^2-2xy+y^2-(3x^2-2xy)+x^2-y^2]÷(2x)\\&=[x^2-2xy+y^2-3x^2+2xy+x^2-y^2]÷(2x)\\&=(-x^2)÷(2x)\\&=-\frac{1}{2}x\end{aligned}$
将$x=1$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$3a-2b$，求值结果为3；(2) 化简结果为$-\frac{1}{2}x$，求值结果为$-\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础常考题型，核心考察乘法公式的准确应用，运算过程中需要重点关注去括号时的符号变化，先化简再代入的解题思路能大幅简化计算流程，避免复杂数值运算的失误，适合巩固整式运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知$A=\frac{1}{2}x$，$B$是多项式，王虎同学在计算$A + B$时，将$A + B$看成了$A× B$，结果得到$3x^{3}-2x^{2}-x$。
(1) 求多项式$B$；
(2) 求$A + B$。
(1) 求多项式$B$；
(2) 求$A + B$。
答案
9. 解：（1）因为 $A× B=\frac{1}{2}x· B = 3x^{3}-2x^{2}-x$，
所以 $B=(3x^{3}-2x^{2}-x)÷(\frac{1}{2}x)=6x^{2}-4x - 2$。
（2）$A + B=\frac{1}{2}x + 6x^{2}-4x - 2 = 6x^{2}-\frac{7}{2}x - 2$。
所以 $B=(3x^{3}-2x^{2}-x)÷(\frac{1}{2}x)=6x^{2}-4x - 2$。
（2）$A + B=\frac{1}{2}x + 6x^{2}-4x - 2 = 6x^{2}-\frac{7}{2}x - 2$。
解析
【分析】
这道题可以顺着题目给出的误算条件反向推导：首先已知A的表达式，还知道误算A×B得到的结果，第一问求B时，利用乘除法的互逆关系，用乘积除以已知的因数A就能得到B，对应多项式除以单项式的运算规则。第二问求A+B，只需要把求出的B和已知的A代入，合并同类项化简即可，整体思路清晰，不需要复杂变形。
【解析】
(1) 由题意可知，误算得到的乘积满足$A×B=3x^3-2x^2-x$，已知$A=\frac{1}{2}x$，根据乘除互逆可得：
$\begin{aligned}B&=(3x^3-2x^2-x)÷ A\\&=(3x^3-2x^2-x)÷(\frac{1}{2}x)\end{aligned}$
按照多项式除以单项式的法则，将多项式每一项分别除以$\frac{1}{2}x$：
$3x^3÷\frac{1}{2}x=6x^2$，$-2x^2÷\frac{1}{2}x=-4x$，$-x÷\frac{1}{2}x=-2$
因此$B=6x^2-4x-2$。
(2) 将$A=\frac{1}{2}x$和$B=6x^2-4x-2$代入$A+B$：
$\begin{aligned}A+B&=\frac{1}{2}x + 6x^2 -4x -2\\&=6x^2 + (\frac{1}{2}x-4x) -2\\&=6x^2-\frac{7}{2}x -2\end{aligned}$
【答案】
(1) $B=6x^{2}-4x - 2$；(2) $A + B=6x^{2}-\frac{7}{2}x - 2$
【知识点】
多项式除以单项式，整式加减运算
【点评】
本题是整式运算的基础情境题，借助看错运算符号的设定考察核心运算规则，解题时要注意多项式除以单项式的每一项都要参与运算，不要漏符号，合并同类项时一次项的系数计算要仔细，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
这道题可以顺着题目给出的误算条件反向推导：首先已知A的表达式，还知道误算A×B得到的结果，第一问求B时，利用乘除法的互逆关系，用乘积除以已知的因数A就能得到B，对应多项式除以单项式的运算规则。第二问求A+B，只需要把求出的B和已知的A代入，合并同类项化简即可，整体思路清晰，不需要复杂变形。
【解析】
(1) 由题意可知，误算得到的乘积满足$A×B=3x^3-2x^2-x$，已知$A=\frac{1}{2}x$，根据乘除互逆可得：
$\begin{aligned}B&=(3x^3-2x^2-x)÷ A\\&=(3x^3-2x^2-x)÷(\frac{1}{2}x)\end{aligned}$
按照多项式除以单项式的法则，将多项式每一项分别除以$\frac{1}{2}x$：
$3x^3÷\frac{1}{2}x=6x^2$，$-2x^2÷\frac{1}{2}x=-4x$，$-x÷\frac{1}{2}x=-2$
因此$B=6x^2-4x-2$。
(2) 将$A=\frac{1}{2}x$和$B=6x^2-4x-2$代入$A+B$：
$\begin{aligned}A+B&=\frac{1}{2}x + 6x^2 -4x -2\\&=6x^2 + (\frac{1}{2}x-4x) -2\\&=6x^2-\frac{7}{2}x -2\end{aligned}$
【答案】
(1) $B=6x^{2}-4x - 2$；(2) $A + B=6x^{2}-\frac{7}{2}x - 2$
【知识点】
多项式除以单项式，整式加减运算
【点评】
本题是整式运算的基础情境题，借助看错运算符号的设定考察核心运算规则，解题时要注意多项式除以单项式的每一项都要参与运算，不要漏符号，合并同类项时一次项的系数计算要仔细，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
10. 已知多项式$(2x - 1)^{2}-2(x + 1)(x - 1)-x(x - 2)$除以整式$B$，所得商式为$x + 1$，余式为$2 - 4x$，求整式$B$。
答案
10. 解：因为 $[(2x - 1)^{2}-2(x + 1)(x - 1)-x(x - 2)]÷ B=(x + 1)···(2 - 4x)$，
所以 $B = [(2x - 1)^{2}-2(x + 1)(x - 1)-x(x - 2)-(2 - 4x)]÷(x + 1)=(x + 1)^{2}÷(x + 1)=x + 1$。
所以 $B = [(2x - 1)^{2}-2(x + 1)(x - 1)-x(x - 2)-(2 - 4x)]÷(x + 1)=(x + 1)^{2}÷(x + 1)=x + 1$。
解析
【分析】
这道题的核心解题依据是多项式除法的基本等量关系：被除式 = 除式 × 商式 + 余式。我们已知被除式、商式和余式，要求除式B，只需要把上述公式变形得到：除式B = (被除式 - 余式) ÷ 商式。接下来先利用完全平方公式、平方差公式把给出的被除式展开合并化简，再减去余式，得到的结果化简后除以商式x+1，就能算出整式B，计算过程要注意每一项的符号不要出错。
【解析】
解：根据多项式除法的运算规则：被除式 = 除式 × 商式 + 余式，对公式变形可得：
除式 $ B = (\mathrm{被除式} - \mathrm{余式}) ÷ \mathrm{商式} $
1. 先化简给定的被除式：
$\begin{aligned}&(2x - 1)^{2}-2(x + 1)(x - 1)-x(x - 2)\\=&4x^2 -4x +1 -2(x^2 -1) -x^2 +2x\\=&4x^2 -4x +1 -2x^2 +2 -x^2 +2x\\=&x^2 -2x +3\end{aligned}$
2. 计算被除式减去余式的结果：
$\begin{aligned}&(x^2 -2x +3) - (2 - 4x)\\=&x^2 -2x +3 -2 +4x\\=&x^2 +2x +1\\=&(x+1)^2\end{aligned}$
3. 将上述结果除以商式$x+1$，得到整式B：
$B=(x+1)^2 ÷ (x+1) = x+1$
【答案】
整式$B = x + 1$
【知识点】
多项式除法关系，整式混合运算，乘法公式
【点评】
本题重点考察多项式除法各部分的等量关系，属于整式运算的常规题型，易错点是展开整式时符号处理错误，或者记错除式的推导逻辑，先对被除式做整体化简再进行后续运算，能大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
这道题的核心解题依据是多项式除法的基本等量关系：被除式 = 除式 × 商式 + 余式。我们已知被除式、商式和余式，要求除式B，只需要把上述公式变形得到：除式B = (被除式 - 余式) ÷ 商式。接下来先利用完全平方公式、平方差公式把给出的被除式展开合并化简，再减去余式，得到的结果化简后除以商式x+1，就能算出整式B，计算过程要注意每一项的符号不要出错。
【解析】
解：根据多项式除法的运算规则：被除式 = 除式 × 商式 + 余式，对公式变形可得：
除式 $ B = (\mathrm{被除式} - \mathrm{余式}) ÷ \mathrm{商式} $
1. 先化简给定的被除式：
$\begin{aligned}&(2x - 1)^{2}-2(x + 1)(x - 1)-x(x - 2)\\=&4x^2 -4x +1 -2(x^2 -1) -x^2 +2x\\=&4x^2 -4x +1 -2x^2 +2 -x^2 +2x\\=&x^2 -2x +3\end{aligned}$
2. 计算被除式减去余式的结果：
$\begin{aligned}&(x^2 -2x +3) - (2 - 4x)\\=&x^2 -2x +3 -2 +4x\\=&x^2 +2x +1\\=&(x+1)^2\end{aligned}$
3. 将上述结果除以商式$x+1$，得到整式B：
$B=(x+1)^2 ÷ (x+1) = x+1$
【答案】
整式$B = x + 1$
【知识点】
多项式除法关系，整式混合运算，乘法公式
【点评】
本题重点考察多项式除法各部分的等量关系，属于整式运算的常规题型，易错点是展开整式时符号处理错误，或者记错除式的推导逻辑，先对被除式做整体化简再进行后续运算，能大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
11. 观察下列各式：
$(x^{2}-1)÷ (x - 1)=x + 1$；
$(x^{3}-1)÷ (x - 1)=x^{2}+x + 1$；
$(x^{4}-1)÷ (x - 1)=x^{3}+x^{2}+x + 1$；
$(x^{5}-1)÷ (x - 1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$；
……
根据你发现的规律解答下列各题：
(1) 直接写出结果：
$(x^{6}-1)÷ (x - 1)=$
(2) 若$n$是正整数，且$n≥2$，则$(x^{n}-1)÷ (x - 1)=$
(3) 根据你发现的规律，计算$1 + 2+2^{2}+2^{3}+···+2^{2024}+2^{2025}$的值。
解：$1 + 2+2^{2}+2^{3}+···+2^{2024}+2^{2025}=(2 - 1)×(2^{2025}+2^{2024}+···+2^{3}+2^{2}+2 + 1)=2^{2026}-1$。
用上面的解题方法求$1 + 3+3^{2}+3^{3}+···+3^{2024}+3^{2025}$的值。
$(x^{2}-1)÷ (x - 1)=x + 1$；
$(x^{3}-1)÷ (x - 1)=x^{2}+x + 1$；
$(x^{4}-1)÷ (x - 1)=x^{3}+x^{2}+x + 1$；
$(x^{5}-1)÷ (x - 1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$；
……
根据你发现的规律解答下列各题：
(1) 直接写出结果：
$(x^{6}-1)÷ (x - 1)=$
$x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$
；(2) 若$n$是正整数，且$n≥2$，则$(x^{n}-1)÷ (x - 1)=$
$x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1$
；(3) 根据你发现的规律，计算$1 + 2+2^{2}+2^{3}+···+2^{2024}+2^{2025}$的值。
解：$1 + 2+2^{2}+2^{3}+···+2^{2024}+2^{2025}=(2 - 1)×(2^{2025}+2^{2024}+···+2^{3}+2^{2}+2 + 1)=2^{2026}-1$。
用上面的解题方法求$1 + 3+3^{2}+3^{3}+···+3^{2024}+3^{2025}$的值。
答案
11. 解：（1）$x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$
（2）$x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1$
（3）原式 $=\frac{1}{2}×(3 - 1)×(3^{2025}+3^{2024}+···+3^{3}+3^{2}+3 + 1)=\frac{1}{2}(3^{2026}-1)$。
（2）$x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1$
（3）原式 $=\frac{1}{2}×(3 - 1)×(3^{2025}+3^{2024}+···+3^{3}+3^{2}+3 + 1)=\frac{1}{2}(3^{2026}-1)$。
解析
【分析】
解题思路分三步推进：首先观察给出的4组已知等式，对比被除数中x的最高次幂和商的最高次幂、项数的对应关系：被除数是$x^k -1$时，商的最高次幂是$k-1$，之后依次降1次，直到常数项1，所有项系数都是1。第一问k=6，直接对应写出商即可。第二问把k推广为正整数n（n≥2），归纳出通用的表达式。第三问逆向使用第二问得到的规律，已知多个3的幂次相加的和，对应规律里的和式，此时x=3，和式的最高次幂是2025，对应规律里的n就是2026，由于规律里和式$=\frac{x^n-1}{x-1}$，代入x=3得到和式$=\frac{3^{2026}-1}{3-1}$，也就是$\frac{1}{2}(3^{2026}-1)$，类比题目给的2的求和示例，凑出$(3-1)$乘和式的形式，再补乘$\frac{1}{2}$保证等式成立即可。
【解析】
(1) 观察已知等式的对应规律：
$(x^2-1)÷(x-1)$的商最高次为1，共2项；
$(x^3-1)÷(x-1)$的商最高次为2，共3项；
以此类推，$(x^6-1)÷(x-1)$的商最高次为5，依次降次到常数项1，因此结果为$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$。
(2) 对正整数$n≥2$，$(x^n-1)÷(x-1)$的商最高次为$n-1$，从$x^{n-1}$依次降1次，直到常数项1，因此结果为$x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1$。
(3) 类比题目给出的2的求和方法，逆向使用上述规律：
$1 + 3+3^{2}+3^{3}+\dots+3^{2024}+3^{2025}$
$=\frac{1}{2}×(3-1)×(3^{2025}+3^{2024}+\dots+3+1)$
根据第(2)问的规律，$(3^{2026}-1)÷(3-1)=3^{2025}+3^{2024}+\dots+3+1$，因此上式
$=\frac{1}{2}×(3^{2026}-1)$
【答案】
(1) $x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$；
(2) $x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1$；
(3) $\frac{1}{2}(3^{2026}-1)$
【知识点】
整式除法规律探究，归纳推理，等比数列求和
【点评】
本题属于整式规律探究的典型题型，先通过特殊等式归纳通用公式，再逆向迁移公式求解高次幂求和问题，避免了复杂硬算，重点考察学生的观察归纳能力和知识迁移能力，解题时注意第三问凑出$(x-1)$的因子后，要补乘对应系数$\frac{1}{2}$，避免遗漏系数导致结果错误。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步推进：首先观察给出的4组已知等式，对比被除数中x的最高次幂和商的最高次幂、项数的对应关系：被除数是$x^k -1$时，商的最高次幂是$k-1$，之后依次降1次，直到常数项1，所有项系数都是1。第一问k=6，直接对应写出商即可。第二问把k推广为正整数n（n≥2），归纳出通用的表达式。第三问逆向使用第二问得到的规律，已知多个3的幂次相加的和，对应规律里的和式，此时x=3，和式的最高次幂是2025，对应规律里的n就是2026，由于规律里和式$=\frac{x^n-1}{x-1}$，代入x=3得到和式$=\frac{3^{2026}-1}{3-1}$，也就是$\frac{1}{2}(3^{2026}-1)$，类比题目给的2的求和示例，凑出$(3-1)$乘和式的形式，再补乘$\frac{1}{2}$保证等式成立即可。
【解析】
(1) 观察已知等式的对应规律：
$(x^2-1)÷(x-1)$的商最高次为1，共2项；
$(x^3-1)÷(x-1)$的商最高次为2，共3项；
以此类推，$(x^6-1)÷(x-1)$的商最高次为5，依次降次到常数项1，因此结果为$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$。
(2) 对正整数$n≥2$，$(x^n-1)÷(x-1)$的商最高次为$n-1$，从$x^{n-1}$依次降1次，直到常数项1，因此结果为$x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1$。
(3) 类比题目给出的2的求和方法，逆向使用上述规律：
$1 + 3+3^{2}+3^{3}+\dots+3^{2024}+3^{2025}$
$=\frac{1}{2}×(3-1)×(3^{2025}+3^{2024}+\dots+3+1)$
根据第(2)问的规律，$(3^{2026}-1)÷(3-1)=3^{2025}+3^{2024}+\dots+3+1$，因此上式
$=\frac{1}{2}×(3^{2026}-1)$
【答案】
(1) $x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$；
(2) $x^{n - 1}+x^{n - 2}+···+x + 1$；
(3) $\frac{1}{2}(3^{2026}-1)$
【知识点】
整式除法规律探究，归纳推理，等比数列求和
【点评】
本题属于整式规律探究的典型题型，先通过特殊等式归纳通用公式，再逆向迁移公式求解高次幂求和问题，避免了复杂硬算，重点考察学生的观察归纳能力和知识迁移能力，解题时注意第三问凑出$(x-1)$的因子后，要补乘对应系数$\frac{1}{2}$，避免遗漏系数导致结果错误。
【难度系数】
0.6
