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8.设$ A=a^2 $，$ B=a+2 $，$ C=b^2 $，$ D=2a $，对于以下说法：
①若$ A+C+D=-1 $，则$ A+B+D=3C $；
②若多项式$ A+B+C+xD-2 $的值不可能取负数，则$ x=-\dfrac{1}{2} $；
③若$ b $为正数，则多项式$ BC+D+A $的值一定是正数。
其中正确的有 $(\quad)$
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
①若$ A+C+D=-1 $，则$ A+B+D=3C $；
②若多项式$ A+B+C+xD-2 $的值不可能取负数，则$ x=-\dfrac{1}{2} $；
③若$ b $为正数，则多项式$ BC+D+A $的值一定是正数。
其中正确的有 $(\quad)$
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
答案
B
解析
逐个判断三个说法：
1. 判断①：
将$A=a^2$，$C=b^2$，$D=2a$代入$A+C+D=-1$，得：
$a^2 + b^2 + 2a = -1$，整理为$(a+1)^2 + b^2 = 0$。
由平方的非负性得$a=-1$，$b^2=0$，即$C=0$。
计算$A+B+D=a^2+(a+2)+2a=1+1-2=0$，$3C=0$，故$A+B+D=3C$，①正确。
2. 判断②：
将$A,B,C,D$代入多项式$A+B+C+xD-2$，化简得：
$a^2 + (a+2) + b^2 + 2ax -2 = a^2 + (1+2x)a + b^2$，配方得：
$(a+\frac{1+2x}{2})^2 + b^2 - (\frac{1+2x}{2})^2$。
若该多项式恒非负（不可能取负数），则必须满足$-(\frac{1+2x}{2})^2\ge0$，仅当$1+2x=0$即$x=-\frac{1}{2}$时成立，②正确。
3. 判断③：
将$B,C,D,A$代入多项式$BC+D+A$，化简得：
$(a+2)b^2 + 2a + a^2$，取$a=-1.5$，$b=1$（$b$为正数），代入得：
$0.5×1 + (-3) + 2.25 = -0.25＜0$，说明该多项式可以取负数，③错误。
综上，正确的是①②。
1. 判断①：
将$A=a^2$，$C=b^2$，$D=2a$代入$A+C+D=-1$，得：
$a^2 + b^2 + 2a = -1$，整理为$(a+1)^2 + b^2 = 0$。
由平方的非负性得$a=-1$，$b^2=0$，即$C=0$。
计算$A+B+D=a^2+(a+2)+2a=1+1-2=0$，$3C=0$，故$A+B+D=3C$，①正确。
2. 判断②：
将$A,B,C,D$代入多项式$A+B+C+xD-2$，化简得：
$a^2 + (a+2) + b^2 + 2ax -2 = a^2 + (1+2x)a + b^2$，配方得：
$(a+\frac{1+2x}{2})^2 + b^2 - (\frac{1+2x}{2})^2$。
若该多项式恒非负（不可能取负数），则必须满足$-(\frac{1+2x}{2})^2\ge0$，仅当$1+2x=0$即$x=-\frac{1}{2}$时成立，②正确。
3. 判断③：
将$B,C,D,A$代入多项式$BC+D+A$，化简得：
$(a+2)b^2 + 2a + a^2$，取$a=-1.5$，$b=1$（$b$为正数），代入得：
$0.5×1 + (-3) + 2.25 = -0.25＜0$，说明该多项式可以取负数，③错误。
综上，正确的是①②。
9.已知$a^m=2,a^n=5$，则$a^{3m+n}$的值为（）
A.10
B.20
C.40
D.80
A.10
B.20
C.40
D.80
答案
C
解析
逆用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则，可得：
$a^{3m+n}=a^{3m}· a^n=(a^m)^3· a^n$
将$a^m=2$，$a^n=5$代入上式：
原式$=2^3×5=8×5=40$
$a^{3m+n}=a^{3m}· a^n=(a^m)^3· a^n$
将$a^m=2$，$a^n=5$代入上式：
原式$=2^3×5=8×5=40$
10.若$mn≠0$，定义新运算$mΘn = m^{-2} + (mn)^{-1} + n^{-3}$，则$(-\dfrac{1}{3})Θ\dfrac{1}{2}$的值是（）
A.$-3$
B.$11$
C.$-\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{3}{2}$
A.$-3$
B.$11$
C.$-\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{3}{2}$
答案
B
解析
根据新运算定义，将$m=-\frac{1}{3}$，$n=\frac{1}{2}$代入公式计算：
1. 计算$m^{-2}$：$(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=9$
2. 计算$(mn)^{-1}$：$mn=-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$，故$(-\frac{1}{6})^{-1}=-6$
3. 计算$n^{-3}$：$(\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^3}=8$
将三项求和：$9+(-6)+8=11$
1. 计算$m^{-2}$：$(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=9$
2. 计算$(mn)^{-1}$：$mn=-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$，故$(-\frac{1}{6})^{-1}=-6$
3. 计算$n^{-3}$：$(\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^3}=8$
将三项求和：$9+(-6)+8=11$
11.计算：$(6xy^2 - 4x^2y) ÷ 2xy = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$\boldsymbol{3y - 2x}$
解析
解：
原式 = 6xy²÷2xy - 4x²y÷2xy
= 3y - 2x
原式 = 6xy²÷2xy - 4x²y÷2xy
= 3y - 2x
12.计算:$(x+6)^2=$。
答案
解：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a=x$，$b=6$代入计算：
$(x+6)^2 = x^2 + 2× x×6 + 6^2 = x^2 +12x +36$
最终结果为$\boldsymbol{x^2+12x+36}$。
$(x+6)^2 = x^2 + 2× x×6 + 6^2 = x^2 +12x +36$
最终结果为$\boldsymbol{x^2+12x+36}$。
13.一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿千米，用科学记数法表示1.496亿是。
答案
$\boldsymbol{1.496×10^8}$
解析
解：
1.496亿 = 1.496 × 100000000 = $1.496×10^8$
1.496亿 = 1.496 × 100000000 = $1.496×10^8$
14.某同学在做作业时，不小心弄污了一道数学题，题目变成$x^2$
$x+25$。看不清x前面是什么，只知道这个二次三项式是完全平方式，则
表示的是。
$x+25$。看不清x前面是什么，只知道这个二次三项式是完全平方式，则表示的是。答案
解：
由完全平方公式 $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a\pm b)^2$，
可知该二次三项式的首项为$x^2$，末项为$25=5^2$，
因此中间项应为$\pm 2 · x · 5 = \pm 10x$，
则■表示的数是$\pm10$。
由完全平方公式 $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a\pm b)^2$，
可知该二次三项式的首项为$x^2$，末项为$25=5^2$，
因此中间项应为$\pm 2 · x · 5 = \pm 10x$，
则■表示的数是$\pm10$。
15.已知$x^{2n}=3$，则$(-\dfrac{1}{3}x^{3n})^4 ÷ 4(x^3)^{2n}$的值为。
答案
解：
先对所求式子进行化简：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{3}x^{3n})^4 ÷ 4(x^3)^{2n}&= (-\frac{1}{3})^4 · (x^{3n})^4 ÷ (4 · x^{6n}) \\&= \frac{1}{81}x^{12n} ÷ 4x^{6n} \\&= \frac{1}{324}x^{6n} \\&= \frac{1}{324} · (x^{2n})^3\end{aligned}$
将$x^{2n}=3$代入上式：
$\frac{1}{324} × 3^3 = \frac{1}{324} × 27 = \frac{1}{12}$
故答案为：$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$
先对所求式子进行化简：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{3}x^{3n})^4 ÷ 4(x^3)^{2n}&= (-\frac{1}{3})^4 · (x^{3n})^4 ÷ (4 · x^{6n}) \\&= \frac{1}{81}x^{12n} ÷ 4x^{6n} \\&= \frac{1}{324}x^{6n} \\&= \frac{1}{324} · (x^{2n})^3\end{aligned}$
将$x^{2n}=3$代入上式：
$\frac{1}{324} × 3^3 = \frac{1}{324} × 27 = \frac{1}{12}$
故答案为：$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$
16.若$a^2 - a = 5$，则$2a(a - 1)$的值为。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
解：
$2a(a-1)=2a^2-2a=2(a^2-a)$
将$a^2-a=5$代入上式，得：
原式$=2×5=10$
$2a(a-1)=2a^2-2a=2(a^2-a)$
将$a^2-a=5$代入上式，得：
原式$=2×5=10$
17. ①$(x-1)(x+1)=x^2 -1$
②$(x-1)(x^2 +x +1)=x^3 -1$
③$(x-1)(x^3 +x^2 +x +1)=x^4 -1$
……
A题:猜想$(x-1)(x^{49} +x^{48} +x^{47} +\dots +x +1)= \_\_\_\_\_\_$。
B题:当$(x-1)(x^5 +x^4 +x^3 +x^2 +x +1)=0$时,代数式$x^{2026} -1= \_\_\_\_\_\_$。
②$(x-1)(x^2 +x +1)=x^3 -1$
③$(x-1)(x^3 +x^2 +x +1)=x^4 -1$
……
A题:猜想$(x-1)(x^{49} +x^{48} +x^{47} +\dots +x +1)= \_\_\_\_\_\_$。
B题:当$(x-1)(x^5 +x^4 +x^3 +x^2 +x +1)=0$时,代数式$x^{2026} -1= \_\_\_\_\_\_$。
答案
A题$\boldsymbol{x^{50}-1}$；B题$\boldsymbol{0}$
解析
解：
A题：观察已知等式可得规律：
$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = x^{n+1} - 1$
当$n=49$时，
$(x-1)(x^{49} + x^{48} + x^{47} + \dots + x + 1) = x^{50} - 1$
B题：根据上述规律可得
$(x-1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 - 1$
由题设条件得$x^6 - 1 = 0$，即$x^6 = 1$。
在实数范围内，$x^6=1$的解为$x=1$或$x=-1$：
当$x=1$时，$x^{2026} - 1 = 1^{2026} - 1 = 0$；
当$x=-1$时，$x^{2026} - 1 = (-1)^{2026} - 1 = 1 - 1 = 0$。
因此$x^{2026} - 1 = 0$。
A题：观察已知等式可得规律：
$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = x^{n+1} - 1$
当$n=49$时，
$(x-1)(x^{49} + x^{48} + x^{47} + \dots + x + 1) = x^{50} - 1$
B题：根据上述规律可得
$(x-1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 - 1$
由题设条件得$x^6 - 1 = 0$，即$x^6 = 1$。
在实数范围内，$x^6=1$的解为$x=1$或$x=-1$：
当$x=1$时，$x^{2026} - 1 = 1^{2026} - 1 = 0$；
当$x=-1$时，$x^{2026} - 1 = (-1)^{2026} - 1 = 1 - 1 = 0$。
因此$x^{2026} - 1 = 0$。
18.若$a+b=3$且$a^2+b^2=6$，那么以$a$，$b$的长为直角边的直角三角形的面积等于________。
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
解析
解：
∵ $a + b = 3$
∴ $(a + b)^2 = 3^2 = 9$
展开得 $a^2 + 2ab + b^2 = 9$
又∵ $a^2 + b^2 = 6$
代入得 $6 + 2ab = 9$
解得 $ab = \frac{3}{2}$
∵ 该直角三角形的两条直角边长为$a,b$
∴ 三角形面积 $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$
∵ $a + b = 3$
∴ $(a + b)^2 = 3^2 = 9$
展开得 $a^2 + 2ab + b^2 = 9$
又∵ $a^2 + b^2 = 6$
代入得 $6 + 2ab = 9$
解得 $ab = \frac{3}{2}$
∵ 该直角三角形的两条直角边长为$a,b$
∴ 三角形面积 $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$
