1. 如图,在$△ ABC$中,$DE$是$BC$的垂直平分线。若$AB=4$,$AC=3$,则$△ ACD$的周长为()

A.6
B.6.5
C.7
D.7.5

C

【分析】本题考查垂直平分线的性质及三角形周长计算，解题思路是：利用线段垂直平分线的性质，将△ACD周长中的线段进行等量转换，再结合已知边长计算结果。
【解析】
∵DE是BC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得DB=DC。
△ACD的周长 = AC + AD + DC，将DC替换为DB，则周长 = AC + AD + DB = AC + AB。
已知AB=4，AC=3，代入得△ACD的周长=3+4=7。
【答案】C
【知识点】垂直平分线性质、三角形周长计算
【点评】本题为基础题型，核心是利用垂直平分线的性质实现线段等量转换，简化周长计算，难度较低。
【难度系数】0.3

2.如图,在$△ ABC$中,PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线。若$∠ BAC=110°$,则$∠ PAQ=$()

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

A

【分析】
要计算∠PAQ的度数，需结合垂直平分线的性质和三角形内角和定理。首先，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可推出PA=PB、QA=QC，进而得到∠PAB=∠B、∠QAC=∠C；再利用三角形内角和为180°，算出∠B与∠C的和；最后用∠BAC减去∠PAB与∠QAC的和，就能得到∠PAQ的度数。
【解析】
∵ PM是线段AB的垂直平分线，
∴ PA = PB，
∴ ∠PAB = ∠B。
∵ QN是线段AC的垂直平分线，
∴ QA = QC，
∴ ∠QAC = ∠C。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
已知∠BAC = 110°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - 110° = 70°，
∴ ∠PAB + ∠QAC = ∠B + ∠C = 70°，
因此，∠PAQ = ∠BAC - (∠PAB + ∠QAC) = 110° - 70° = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
线段垂直平分线性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心考查垂直平分线的性质与三角形内角和的应用，通过转化角的关系即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.5

3. 如图,在$△ ABC$中,$BC$边的垂直平分线交$∠ ABC$的平分线$BD$于点$F$,交$BC$于点$E$。若$∠ BAC=50°,∠ ACF=46°$,则$∠ BFE=(\quad)$

A.$58°$
B.$60°$
C.$62°$
D.$65°$

C

【分析】
要解决这道题，需结合线段垂直平分线、角平分线的性质，以及三角形内角和定理推导角度：首先利用垂直平分线性质得到FB=FC，推出∠FBC=∠FCB；再由角平分线性质得∠ABC=2∠FBC；最后结合△ABC内角和求出∠FBC，再在直角三角形BEF中利用直角三角形两锐角互余计算∠BFE。
【解析】
1. 因为EF是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得FB=FC，由等边对等角可知：$∠ FBC = ∠ FCB$。
2. 因为BD是$∠ ABC$的平分线，根据角平分线的性质，得$∠ FBC = ∠ ABD$，即$∠ ABC = 2∠ FBC$。
3. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ BAC=50°$，因此：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 50° = 130°$。
4. 又因为$∠ ACB = ∠ ACF + ∠ FCB$，且$∠ ACF=46°$，$∠ FCB=∠ FBC$，代入上式得：
$2∠ FBC + (46° + ∠ FBC) = 130°$，
整理得$3∠ FBC = 130° - 46° = 84°$，解得$∠ FBC = 28°$。
5. 因为$EF ⊥ BC$，所以$∠ BEF=90°$，在$Rt△ BEF$中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ BFE = 90° - ∠ FBC = 90° - 28° = 62°$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线性质；角平分线性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查几何中线段垂直平分线、角平分线的性质，以及三角形内角和的应用，需熟练进行角度转换，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在$△ ABC$中,DE是AB的垂直平分线,连接AD。若$△ ABC$的周长为19,$△ ADC$的周长为13,则BE的长为________。

3

【分析】
要解决本题，需利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且垂直平分线会平分该线段。首先由DE是AB的垂直平分线，得到AD=BD、E为AB中点（AE=BE）；再结合△ABC和△ADC的周长，通过等量代换求出AB的长度，进而计算BE的长。
【解析】
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，AE=BE（垂直平分线的性质）。
已知△ABC的周长为19，即：$AB + AC + BC =19$；
△ADC的周长为13，即：$AC + CD + AD =13$。
将AD替换为BD（因AD=BD），则△ADC的周长可转化为：$AC + CD + BD = AC + BC =13$。
因此，$AB = △ABC的周长 - (AC + BC) =19 -13=6$。
又
∵ E是AB的中点，
∴ $BE = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2}=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题考查垂直平分线性质的应用，核心是利用线段等量代换结合周长关系求解，属于基础题型，思路清晰易掌握。
【难度系数】
0.6

5.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AB$的垂直平分线交$AB$于点$E$,交$BC$于点$F$,连接$AF$,则$∠ AFC=\_\_\_\_\_\_°$。

60

【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合已知∠BAC=120°，利用等腰三角形内角和定理求出底角∠B的度数；
2. EF是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），可得AF=BF，进而推出△ABF为等腰三角形，得到∠BAF=∠B；
3. ∠AFC是△ABF的外角，根据三角形外角的性质（外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可计算出∠AFC的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B=(180°−∠BAC)÷2=(180°−120°)÷2=30°。
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AF=BF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ △ABF是等腰三角形，∠BAF=∠B=30°。
又
∵ ∠AFC是△ABF的外角，
∴ ∠AFC=∠B + ∠BAF=30°+30°=60°。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形性质、垂直平分线性质、三角形外角性质
【点评】
本题考查等腰三角形、线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质，属于基础几何题，解题核心是利用垂直平分线的性质转化出相等角，再结合外角性质计算角度，难度适中。
【难度系数】
0.6

6. 如图,在$△ ABC$中,$AB$的垂直平分线$EF$分别交$BC$,$AB$于点$E$,$F$,过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$,且$D$为线段$CE$的中点。
(1)请说明:$BE=AC$。
(2)若$∠ B=35°$,求$∠ BAC$的度数。

(1) 已证得$BE=AC$；(2) $∠ BAC = 75°$

【分析】
第(1)问要证明BE=AC，需利用线段垂直平分线的性质：EF是AB的垂直平分线，可得AE=BE；AD垂直BC且D是CE中点，说明AD是CE的垂直平分线，可得AC=AE，通过等量代换即可得证。第(2)问，先由AE=BE得∠BAE=∠B，再利用外角性质求出∠AEC，结合AE=AC得∠C=∠AEC，最后根据三角形内角和计算∠BAC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ AD ⊥ BC，且D为CE的中点，
∴ AD是线段CE的垂直平分线，
∴ AC = AE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ BE = AC（等量代换）。
(2) 解：
由(1)知AE = BE，
∴ ∠BAE = ∠B = 35°（等边对等角）。
∵ ∠AEC是△ABE的外角，
∴ ∠AEC = ∠B + ∠BAE = 35° + 35° = 70°。
又
∵ AE = AC，
∴ ∠C = ∠AEC = 70°（等边对等角）。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 35° - 70° = 75°。
【答案】
(1) BE=AC；(2) ∠BAC=75°
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查线段垂直平分线、等腰三角形的性质及三角形内角和，解题核心是利用垂直平分线转化线段相等关系，进而推导角的关系，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.5