登录
一、单项选择题
1. 下列是二元一次方程的是 （）
A.$2x + 3 = \dfrac{5}{2}$
B.$4x^2 - 7y = 11$
C.$y + 6 = x$
D.$\dfrac{1}{x} + y = 4$
1. 下列是二元一次方程的是 （）
A.$2x + 3 = \dfrac{5}{2}$
B.$4x^2 - 7y = 11$
C.$y + 6 = x$
D.$\dfrac{1}{x} + y = 4$
答案
C
解析
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐一判断：
选项A：仅含1个未知数x，是一元一次方程，不符合要求；
选项B：未知数x的次数是2，属于二元二次方程，不符合要求；
选项C：含有x、y两个未知数，且含未知数的项次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义；
选项D：分母含有未知数x，是分式方程，不属于整式方程，不符合要求。
选项A：仅含1个未知数x，是一元一次方程，不符合要求；
选项B：未知数x的次数是2，属于二元二次方程，不符合要求；
选项C：含有x、y两个未知数，且含未知数的项次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义；
选项D：分母含有未知数x，是分式方程，不属于整式方程，不符合要求。
2. 下列各组数中，是方程$x+2y=4$的解的是（）
A.$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$
答案
C
解析
将各选项的x、y值分别代入方程$x+2y=4$的左侧计算，验证是否等于右侧的4：
选项A：代入得$-1 + 2×3=5≠4$，不是方程的解；
选项B：代入得$2 + 2×(-1)=0≠4$，不是方程的解；
选项C：代入得$0 + 2×2=4$，与右侧相等，是方程的解；
选项D：代入得$4 + 2×1=6≠4$，不是方程的解。
选项A：代入得$-1 + 2×3=5≠4$，不是方程的解；
选项B：代入得$2 + 2×(-1)=0≠4$，不是方程的解；
选项C：代入得$0 + 2×2=4$，与右侧相等，是方程的解；
选项D：代入得$4 + 2×1=6≠4$，不是方程的解。
3. 下列是二元一次方程组的是 （）
A.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ 3y + z = 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 5x + y = 2, \\ xy = 1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ 3y + z = 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 5x + y = 2, \\ xy = 1 \end{cases}$
答案
B
解析
根据二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，含未知数的项的次数都为1，逐一判断：
选项A：第一个方程$\frac{1}{x}+y=4$是分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项B：方程组含两个未知数$x、y$，两个方程都是整式方程，未知数的次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
选项C：方程组含有$x、y、z$共3个未知数，是三元方程组，不符合要求；
选项D：第二个方程$xy=1$中$xy$的次数是2，是二次方程，不符合要求。
综上，只有B是二元一次方程组。
选项A：第一个方程$\frac{1}{x}+y=4$是分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项B：方程组含两个未知数$x、y$，两个方程都是整式方程，未知数的次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
选项C：方程组含有$x、y、z$共3个未知数，是三元方程组，不符合要求；
选项D：第二个方程$xy=1$中$xy$的次数是2，是二次方程，不符合要求。
综上，只有B是二元一次方程组。
4. 解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=-4\end{cases}$的方程组可以是 （ ）
A.$\begin{cases} x-y=-1, \\ 3x-y=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-y=1, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=3, \\ 3x-y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-2y=-3, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x-y=-1, \\ 3x-y=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-y=1, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=3, \\ 3x-y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-2y=-3, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
答案
C
解析
将$\begin{cases}x=-1 \\ y=-4\end{cases}$依次代入各选项的两个方程，验证等式是否同时成立：
1. 代入A选项：$x-y=-1-(-4)=3≠-1$，不满足第一个方程，排除；
2. 代入B选项：$x-y=-1-(-4)=3≠1$，不满足第一个方程，排除；
3. 代入C选项：$x-y=-1-(-4)=3$，满足第一个方程；$3x-y=3×(-1)-(-4)=1$，满足第二个方程，两个等式均成立；
4. 代入D选项：$3x+y=3×(-1)+(-4)=-7≠5$，不满足第二个方程，排除。
1. 代入A选项：$x-y=-1-(-4)=3≠-1$，不满足第一个方程，排除；
2. 代入B选项：$x-y=-1-(-4)=3≠1$，不满足第一个方程，排除；
3. 代入C选项：$x-y=-1-(-4)=3$，满足第一个方程；$3x-y=3×(-1)-(-4)=1$，满足第二个方程，两个等式均成立；
4. 代入D选项：$3x+y=3×(-1)+(-4)=-7≠5$，不满足第二个方程，排除。
5.《算法统宗》中有一首数学诗:好酒一瓶醉三客,薄酒三瓶醉一人,共同饮了一十九,三十三客醉醺醺,试问高明能算士,几多醾酒几多醇? 译文:好酒一瓶,可以醉倒三个客人;薄酒三瓶,可以醉倒一个客人,如今三十三个客人醉倒了,他们总共饮十九瓶酒.试问:其中好酒、薄酒分别是多少瓶? 设有好酒$x$瓶,薄酒$y$瓶.根据题意,可列方程组为 ()
A.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=19, \\ x+3y=33 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=19, \\ \dfrac{1}{3}x+3y=33 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+y=33 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=19, \\ x+3y=33 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=19, \\ \dfrac{1}{3}x+3y=33 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+y=33 \end{cases}$
答案
A
解析
根据题意梳理等量关系：
1. 总饮酒瓶数为19，好酒有$x$瓶，薄酒有$y$瓶，可得方程：$x+y=19$；
2. 1瓶好酒醉3客，$x$瓶好酒可醉$3x$人，3瓶薄酒醉1客，$y$瓶薄酒可醉$\frac{1}{3}y$人，总醉客数为33，可得方程：$3x+\frac{1}{3}y=33$。
联立得到方程组$\begin{cases} x+y=19 \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$，对应选项A。
1. 总饮酒瓶数为19，好酒有$x$瓶，薄酒有$y$瓶，可得方程：$x+y=19$；
2. 1瓶好酒醉3客，$x$瓶好酒可醉$3x$人，3瓶薄酒醉1客，$y$瓶薄酒可醉$\frac{1}{3}y$人，总醉客数为33，可得方程：$3x+\frac{1}{3}y=33$。
联立得到方程组$\begin{cases} x+y=19 \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$，对应选项A。
