7.化简$\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}$的结果是。

解：
由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得
$\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=|1-\sqrt{3}|$
因为$\sqrt{3}＞1$，即$1-\sqrt{3}＜0$，
所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$。
最终结果为$\sqrt{3}-1$。

8.若实数$a,b$满足$a+b=6$,我们就说$a$与$b$是关于6的“如意数”,则与$3-\sqrt{2}$是关于6的“如意数”的是.

$\boldsymbol{3+\sqrt{2}}$

解：设与$3-\sqrt{2}$是关于6的“如意数”的数为$x$，
根据定义可得：
$x + 3 - \sqrt{2} = 6$
解得：
$x = 6 - 3 + \sqrt{2} = 3+\sqrt{2}$

9. 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{3}{4}} = $.

解：
原式$=2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

10.若$\sqrt{3a - 4}$是最简二次根式，则整数a的最小值为。

解：
要使$\sqrt{3a-4}$是最简二次根式，需满足：
1. 被开方数为正整数：$3a - 4 ＞ 0$，
解得$a ＞ \frac{4}{3}$。
2. 被开方数不含能开得尽方的因数。
∵$a$是整数，从大于$\frac{4}{3}$的最小整数开始验证：
当$a=2$时，$3a-4=3×2 - 4=2$，$\sqrt{2}$是最简二次根式，符合条件。
∴整数$a$的最小值为$\boldsymbol{2}$。

11. 计算：
(1)$\sqrt{18}-\sqrt{2}$；(2)$2a(a^2 - b^2)$；(3)$(2x - 3y)(3y + 2x)$；(4)$\frac{m^2}{m - n} + \frac{n^2}{m - n} + \frac{2mn}{-m + n}$。

解：
(1) 原式$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
(2) 原式$=2a· a^2 - 2a· b^2=2a^3 - 2ab^2$
(3) 原式$=(2x-3y)(2x+3y)=(2x)^2-(3y)^2=4x^2-9y^2$
(4) 原式$=\frac{m^2}{m-n}+\frac{n^2}{m-n}-\frac{2mn}{m-n}$
$=\frac{m^2+n^2-2mn}{m-n}$
$=\frac{(m-n)^2}{m-n}$
$=m-n$

12. 已知 $ a\sqrt{2} + \sqrt{b} - \sqrt{18} = \sqrt{2} + 2\sqrt{3} $，且 $ a,b $ 均为正整数。
(1) 分别求 $ a $ 和 $ b $ 的值；
(2) 若 $ a,b $ 分别是一个直角三角形的直角边长和斜边长，求该直角三角形的面积。

解：
(1) 化简得$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，将原式移项合并同类二次根式：
$a\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{b} = \sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
$(a-3)\sqrt{2} + \sqrt{b} = \sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
由$a$、$b$为正整数，等式两边同类二次根式对应相等，得：
$a-3=1,\quad \sqrt{b}=2\sqrt{3}$
解得$a=4$，对$\sqrt{b}=2\sqrt{3}$两边平方得$b=12$。
(2) 设该直角三角形的未知直角边长为$x$，由勾股定理：
$x^2 + a^2 = b^2$
代入$a=4$，$b=12$：
$x^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128$
∵$x＞0$，∴$x=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$
该直角三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2} × a × x = \frac{1}{2} × 4 × 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$
答：该直角三角形的面积为$16\sqrt{2}$。