【变式4】已知函数$g(x)=\cos(4x+\frac{5π}{6})+1$，$x\in[-\frac{π}{8},\frac{π}{24}]$，求$g(x)$的值域.
角度2 $y=a\sin^2 x + b\sin x + c(a≠0)$型

解:当$x\in[-\frac{π}{8},\frac{π}{24}]$时,$4x+\frac{5π}{6}\in[\frac{π}{3},π]$,
所以$\cos(4x+\frac{5π}{6})\in[-1,\frac{1}{2}]$,
所以$g(x)=\cos(4x+\frac{5π}{6})+1\in[0,\frac{3}{2}]$,
即$g(x)$的值域为$[0,\frac{3}{2}]$.

【典例5】求函数$y=\cos^2 x + 2\sin x - 2, x\in\mathbb{R}$的值域.
解题指导 将$\cos^2 x$换成$1-\sin^2 x$,得到关于$\sin x$的二次函数,利用正弦函数的值域和二次函数的性质即可求解.
答案 解:$y=\cos^2 x + 2\sin x - 2 = -\sin^2 x + 2\sin x -1 = -(\sin x -1)^2$.

解：由同角三角函数的平方关系$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，代入函数解析式得：
$\begin{aligned}y&=\cos^2 x + 2\sin x - 2\\&=1 - \sin^2 x + 2\sin x - 2\\&=-\sin^2 x + 2\sin x - 1\\&=-(\sin x - 1)^2\end{aligned}$
令$t = \sin x$，因为$x\in\mathbb{R}$，所以$t\in[-1,1]$，函数转化为$y=-(t-1)^2$，$t\in[-1,1]$。
该二次函数开口向下，对称轴为$t=1$，在区间$[-1,1]$上单调递增。
当$t=-1$时，$y$取得最小值：$y_{\mathrm{min}}=-(-1-1)^2=-4$；
当$t=1$时，$y$取得最大值：$y_{\mathrm{max}}=-(1-1)^2=0$。
所以函数$y=\cos^2 x + 2\sin x - 2, x\in\mathbb{R}$的值域为$[-4,0]$。

【变式5】已知函数 $y = \sin^2 x + \cos x - 4$，$x \in [0, 2π)$，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的 $x$ 的值。

解:$y=\sin^2 x + \cos x - 4 = -\cos^2 x + \cos x - 3$,
$x\in[0,2π)$.
令$t=\cos x,t\in[-1,1]$,
则$f(t)=-t^2 + t - 3 = -(t-\frac{1}{2})^2 - \frac{11}{4}$.
当$t=\frac{1}{2}$时,$f(t)$取得最大值,最大值为$-\frac{11}{4}$,
此时$\cos x=\frac{1}{2}$.
由于$x\in[0,2π)$,则$x=\frac{π}{3}$或$x=\frac{5π}{3}$.
当$t=-1$时,$f(t)$取得最小值,最小值为$-5$,
此时$\cos x=-1$.
由于$x\in[0,2π)$,则$x=π$.
综上,当$x=\frac{π}{3}$或$x=\frac{5π}{3}$时,函数取得最大值,最大值为$-\frac{11}{4}$;当$x=π$时,函数取得最小值,最小值为$-5$.

【典例6】(1)已知函数$f(x)=\sin(x+\frac{π}{4}+\varphi)$ $(0＜\varphi＜π)$是偶函数，则$\varphi$的值为 （）

A.$-\frac{π}{2}$
B.$\frac{π}{2}$
C.$-\frac{π}{4}$
D.$\frac{π}{4}$

D

因为$f(x)=\sin(x+\frac{π}{4}+\varphi)$是偶函数，正弦型偶函数在$x=0$处取得最值$\pm1$，因此有：
$\sin(\frac{π}{4}+\varphi)=\pm1$
由正弦函数性质，$\sinα=\pm1$等价于$α=\frac{π}{2}+kπ,k\in\mathbb{Z}$，代入得：
$\frac{π}{4}+\varphi=\frac{π}{2}+kπ,k\in\mathbb{Z}$
整理得$\varphi=\frac{π}{4}+kπ,k\in\mathbb{Z}$。
结合条件$0＜\varphi＜π$，取$k=0$，得$\varphi=\frac{π}{4}$。

(2)已知函数$f(x)=2\sin(2x-\dfrac{π}{6})$，则下列说法错误的是（）
A.$f(x)$的图象关于点$(\dfrac{π}{12},0)$对称
B.$f(x)$的图象关于$x=\dfrac{π}{3}$对称
C.$f(x)$在$[-\dfrac{π}{12},\dfrac{π}{4}]$上单调递增
D.$f(x)$在$[-\dfrac{π}{6},\dfrac{π}{3}]$上单调递减
解题指导(1)利用$f(x)$是偶函数的条件可得出关于$\varphi$的等式，结合$0＜\varphi＜π$可得出$\varphi$的值.
(2)根据正弦函数的性质，利用代入验证的方法，可判断A,B;求出函数$f(x)$的单调区间，可判断C,D.
解析(1)因为函数$f(x)=\sin(x+\dfrac{π}{4}+\varphi)(0＜\varphi＜π)$是偶函数，则$\dfrac{π}{4}+\varphi=kπ+\dfrac{π}{2}(k\in\mathbb{Z})$，所以$\varphi=kπ+\dfrac{π}{4}(k\in\mathbb{Z})$.
又因为$0＜\varphi＜π$，所以$\varphi=\dfrac{π}{4}$.
(2)因为$f(\dfrac{π}{12})=2\sin(2×\dfrac{π}{12}-\dfrac{π}{6})=2\sin0=0$，所以$f(x)$的图象关于点$(\dfrac{π}{12},0)$对称，故A不符合题意.
因为$f(\dfrac{π}{3})=2\sin(2×\dfrac{π}{3}-\dfrac{π}{6})=2\sin\dfrac{π}{2}=2$，是函数$f(x)$的最大值，所以$f(x)$的图象关于$x=\dfrac{π}{3}$对称，故B不符合题意.
由$-\dfrac{π}{2}+2kπ≤2x-\dfrac{π}{6}≤\dfrac{π}{2}+2kπ,k\in\mathbb{Z}$，解得$-\dfrac{π}{6}+kπ≤ x≤\dfrac{π}{3}+kπ,k\in\mathbb{Z}$，所以$f(x)$的单调递增区间为$[-\dfrac{π}{6}+kπ,\dfrac{π}{3}+kπ],k\in\mathbb{Z}$.
当$k=0$时，$f(x)$在$[-\dfrac{π}{6},\dfrac{π}{3}]$上单调递增，且$[-\dfrac{π}{12},\dfrac{π}{4}]⊆[-\dfrac{π}{6},\dfrac{π}{3}]$，故C不符合题意，D符合题意.
答案(1)D (2)D
▶方法总结
(1)判断奇偶性的常用结论
①$y=A\sin(ω x+\varphi),A≠0,ω≠0$，当$\varphi=kπ(k\in\mathbb{Z})$时为奇函数；当$\varphi=kπ+\dfrac{π}{2}(k\in\mathbb{Z})$时为偶函数.
②$y=A\cos(ω x+\varphi),A≠0,ω≠0$，当$\varphi=kπ(k\in\mathbb{Z})$时为偶函数；当$\varphi=kπ+\dfrac{π}{2}(k\in\mathbb{Z})$时为奇函数.
(2)求对称轴方程(对称中心的横坐标)的方法
①求$f(x)=A\sin(ω x+\varphi)$图象的对称轴方程，只需令$ω x+\varphi=\dfrac{π}{2}+kπ,k\in\mathbb{Z}$，求$x$；求对称中心的横坐标只需令$ω x+\varphi=kπ,k\in\mathbb{Z}$，求$x$.
②求$f(x)=A\cos(ω x+\varphi)$图象的对称轴方程，只需令$ω x+\varphi=kπ,k\in\mathbb{Z}$，求$x$；求对称中心的横坐标只需令$ω x+\varphi=\dfrac{π}{2}+kπ,k\in\mathbb{Z}$，求$x$.

D

解：
对于选项A：
$f(\frac{π}{12})=2\sin(2×\frac{π}{12}-\frac{π}{6})=2\sin0=0$，
因此$f(x)$的图象关于点$(\frac{π}{12},0)$对称，A说法正确，不符合题意。
对于选项B：
$f(\frac{π}{3})=2\sin(2×\frac{π}{3}-\frac{π}{6})=2\sin\frac{π}{2}=2$，是$f(x)$的最大值，
因此$f(x)$的图象关于$x=\frac{π}{3}$对称，B说法正确，不符合题意。
求$f(x)$的单调递增区间：
令$-\frac{π}{2}+2kπ ≤ 2x-\frac{π}{6} ≤ \frac{π}{2}+2kπ,\ k\in\mathbb{Z}$，
解得$-\frac{π}{6}+kπ ≤ x ≤ \frac{π}{3}+kπ,\ k\in\mathbb{Z}$，
即$f(x)$的单调递增区间为$[-\frac{π}{6}+kπ,\frac{π}{3}+kπ],\ k\in\mathbb{Z}$。
当$k=0$时，对应的单调递增区间为$[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}]$：
因为$[-\frac{π}{12},\frac{π}{4}]⊆[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}]$，所以$f(x)$在$[-\frac{π}{12},\frac{π}{4}]$上单调递增，C说法正确，不符合题意。
又因为$f(x)$在$[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}]$上单调递增，并非单调递减，因此D说法错误，符合题意。