1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
C.$\sqrt{1+a^2}$
D.$\sqrt{3^2+4^2}$

C

最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。A选项√12=2√3，含能开尽的因数4，不是最简；B选项√(1/3)被开方数含分母，不是最简；C选项√(1+a²)满足最简二次根式条件；D选项√(3²+4²)=√25=5，含能开尽的因数25，不是最简。

2. 下列计算正确的是 （）

A.$\sqrt{16}=\pm4$
B.$\pm\sqrt{9}=3$
C.$(-\sqrt{3})^2=3$
D.$\sqrt{(-3)^2}=-3$

C

根据算术平方根和平方根的定义逐一分析：A选项，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4，错误；B选项，$\pm\sqrt{9}$是9的平方根，结果为$\pm3$，错误；C选项，$(-\sqrt{3})^2=3$，正确；D选项，$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，错误。

3. 下列运算结果正确的是 （）

A.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = 5\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
D.$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9}$

C

A选项，2√3与3√2不是同类二次根式，不能合并，错误；B选项，2√3×3√2=(2×3)×√(3×2)=6√6≠5√6，错误；C选项，√8÷√2=√(8÷2)=√4=2，正确；D选项，√(-4)、√(-9)无意义，错误。

4. 已知$n$是一个正整数，$\sqrt{108n}$是整数，则$n$的最小值是。

3

先对108分解质因数，108=2²×3³，因此√(108n)=√(2²×3³×n)=6√(3n)。要使√(108n)是整数，则√(3n)必须为整数，即3n需为完全平方数。因为n是正整数，所以n的最小值为3（此时3n=9，是完全平方数）。

5. 化简：$\sqrt{y^4 + x^2 y^2} (x ≥ 0, y ≥ 0) =$ .

$y\sqrt{x^2 + y^2}$

先对被开方数因式分解：$\sqrt{y^4 + x^2 y^2} = \sqrt{y^2(y^2 + x^2)}$，已知$x≥0,y≥0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，可得$\sqrt{y^2}=y$，因此化简结果为$y\sqrt{x^2 + y^2}$。

6. 对于任意两个不相等的正实数$ a,b $,定义一种新运算“⊕”,即 $ a \oplus b = \frac{\sqrt{ab}}{a+b} $. 例如: $ 4 \oplus 5 = \frac{\sqrt{4 × 5}}{4+5} = \frac{2\sqrt{5}}{9} $. 计算: $ 6 \oplus 8 = $ .

$\frac{2\sqrt{3}}{7}$

根据新运算“⊕”的定义，$a \oplus b = \frac{\sqrt{ab}}{a+b}$，将$a=6$，$b=8$代入得：$6 \oplus 8 = \frac{\sqrt{6 × 8}}{6 + 8} = \frac{\sqrt{48}}{14} = \frac{4\sqrt{3}}{14} = \frac{2\sqrt{3}}{7}$。

7. 在学习了勾股定理后，小明对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣. 如图，音乐喷泉池为四边形ABCD，在AC连线上有一地方性标志物E. 据了解，修建该喷泉池时要求$EC=2\sqrt{3}AE$，四边形ABCD为人行观赏步道. 小明通过仪器测量得到，点A在点C的正西方，点D在点A的东北方向，且$DA=DC$，点B在点E的正南方150 m处，恰好又在点A的南偏东$30°$方向. 由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下.（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{6}\approx2.449$）
（1）求A，C两点之间的距离.（结果保留根号）
（2）小明和姐姐同时从点A出发，沿着不同的方向到点C汇合，其中小明沿着$A\rightarrow B\rightarrow C$的方向步行，姐姐沿着$A\rightarrow D\rightarrow C$的方向步行. 通过计算说明哪一条路更近.（结果精确到个位）

（1）$ (300 + 50\sqrt{3}) \, \mathrm{m} $；（2）$ A \rightarrow B \rightarrow C $的路更近。

（1）设$ AE = x \, \mathrm{m} $，由$ EC = 2\sqrt{3}AE $得$ EC = 2\sqrt{3}x \, \mathrm{m} $，故$ AC = AE + EC = (1 + 2\sqrt{3})x \, \mathrm{m} $。过$ B $作$ BE ⊥ AC $于$ E $（因$ B $在$ E $正南，故$ BE ⊥ AC $），则$ BE = 150 \, \mathrm{m} $。由题意，点$ B $在$ A $南偏东$ 30° $，故$ ∠ BAE = 60° $，在$ \mathrm{Rt}△ ABE $中，$ \tan∠ BAE = \frac{BE}{AE} $，即$ \sqrt{3} = \frac{150}{x} $，解得$ x = 50\sqrt{3} $。因此$ AC = (1 + 2\sqrt{3}) × 50\sqrt{3} = 50\sqrt{3} + 300 \, \mathrm{m} $。（2）由$ DA = DC $，点$ D $在$ A $东北方向，得$ ∠ DAC = 45° $，故$ △ ADC $为等腰直角三角形，$ AD = DC = \frac{AC}{\sqrt{2}} $，因此$ AD + DC = AC × \sqrt{2} = (300 + 50\sqrt{3}) × \sqrt{2} \approx (300 + 86.6) × 1.414 \approx 547 \, \mathrm{m} $。在$ \mathrm{Rt}△ ABE $中，$ AB = \frac{BE}{\sin60°} = \frac{150}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 100\sqrt{3} \approx 173.2 \, \mathrm{m} $；在$ \mathrm{Rt}△ BEC $中，$ BC = \sqrt{BE^2 + EC^2} = \sqrt{150^2 + 300^2} = 150\sqrt{5} \approx 335.4 \, \mathrm{m} $，故$ AB + BC \approx 173.2 + 335.4 = 509 \, \mathrm{m} $。因$ 509 ＜ 547 $，故$ A \rightarrow B \rightarrow C $的路更近。