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1.“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌(去掉大、小王)中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除四则混合运算(每张牌只能用1次)，使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13.
例如，抽到一组牌：3，5，$-6$，7，要使运算结果为24，则可列式为$3×[7-(-6+5)]=24.$
(1)甲同学抽到一组牌：3，12，$-1$，$-12$，要使运算结果为24，则可列式为
(2)乙同学抽到一组牌：7，3，$-3$，7，要使运算结果为24，则可列式为
(3)丙同学抽到一组牌：7，3，$-7$，$-3$，要使运算结果为24，则可列式为
例如，抽到一组牌：3，5，$-6$，7，要使运算结果为24，则可列式为$3×[7-(-6+5)]=24.$
(1)甲同学抽到一组牌：3，12，$-1$，$-12$，要使运算结果为24，则可列式为
$3×12−(−1)×(−12)=24$
；(2)乙同学抽到一组牌：7，3，$-3$，7，要使运算结果为24，则可列式为
$7×[3−(−3)÷7]=24$
；(3)丙同学抽到一组牌：7，3，$-7$，$-3$，要使运算结果为24，则可列式为
$7×[3+(−3)÷(−7)]=24$
.答案
1.(1)$3×12−(−1)×(−12)=24$
(2)$7×[3−(−3)÷7]=24$
(3)$7×[3+(−3)÷(−7)]=24$
(2)$7×[3−(−3)÷7]=24$
(3)$7×[3+(−3)÷(−7)]=24$
解析
【分析】
要解决24点游戏问题，需根据给定的四个数（含正负），利用加、减、乘、除四则混合运算，每张数仅用一次，通过调整运算顺序（括号）凑出结果24。需注意负数的运算规则，当常规加减乘难以凑出时，可尝试引入除法（可能产生分数），再通过乘法凑整得到24。
【解析】
(1) 观察数字3、12、-1、-12，先计算3×12=36，再计算(-1)×(-12)=12，两者的差为36-12=24，因此列式为：$3×12−(−1)×(−12)=24$；
(2) 对于数字7、3、-3、7，需用到除法：先计算$(-3)÷7=-\frac{3}{7}$，再算3与这个结果的差：$3 - (-\frac{3}{7})=\frac{24}{7}$，最后用7乘以这个差，得到$7×\frac{24}{7}=24$，因此列式为：$7×[3−(−3)÷7]=24$；
(3) 对于数字7、3、-7、-3，先计算$(-3)÷(-7)=\frac{3}{7}$，再算3与这个结果的和：$3 + \frac{3}{7}=\frac{24}{7}$，最后用7乘以这个和，得到$7×\frac{24}{7}=24$，因此列式为：$7×[3+(−3)÷(−7)]=24$；
【答案】
(1)$3×12−(−1)×(−12)=24$；(2)$7×[3−(−3)÷7]=24$；(3)$7×[3+(−3)÷(−7)]=24$
【知识点】
有理数的混合运算，正负数运算
【点评】
本题是典型的24点游戏题，重点考查有理数的四则混合运算能力，尤其是括号对运算顺序的调整作用，部分题目需灵活运用除法构造分数后再通过乘法凑整，对运算的灵活性要求较高。
【难度系数】
0.5
要解决24点游戏问题，需根据给定的四个数（含正负），利用加、减、乘、除四则混合运算，每张数仅用一次，通过调整运算顺序（括号）凑出结果24。需注意负数的运算规则，当常规加减乘难以凑出时，可尝试引入除法（可能产生分数），再通过乘法凑整得到24。
【解析】
(1) 观察数字3、12、-1、-12，先计算3×12=36，再计算(-1)×(-12)=12，两者的差为36-12=24，因此列式为：$3×12−(−1)×(−12)=24$；
(2) 对于数字7、3、-3、7，需用到除法：先计算$(-3)÷7=-\frac{3}{7}$，再算3与这个结果的差：$3 - (-\frac{3}{7})=\frac{24}{7}$，最后用7乘以这个差，得到$7×\frac{24}{7}=24$，因此列式为：$7×[3−(−3)÷7]=24$；
(3) 对于数字7、3、-7、-3，先计算$(-3)÷(-7)=\frac{3}{7}$，再算3与这个结果的和：$3 + \frac{3}{7}=\frac{24}{7}$，最后用7乘以这个和，得到$7×\frac{24}{7}=24$，因此列式为：$7×[3+(−3)÷(−7)]=24$；
【答案】
(1)$3×12−(−1)×(−12)=24$；(2)$7×[3−(−3)÷7]=24$；(3)$7×[3+(−3)÷(−7)]=24$
【知识点】
有理数的混合运算，正负数运算
【点评】
本题是典型的24点游戏题，重点考查有理数的四则混合运算能力，尤其是括号对运算顺序的调整作用，部分题目需灵活运用除法构造分数后再通过乘法凑整，对运算的灵活性要求较高。
【难度系数】
0.5
2. 我们知道$\dfrac{1}{13}=0.\dot{0}7692\dot{3}$，$\dfrac{1}{27}=0.\dot{0}3\dot{7}$，现在有一个新的分数$\dfrac{1}{17}=0.\dot{0}58823529411764\dot{7}$。
(1)选用$12×12$的方格纸，按照顺时针方向螺旋排列填写$0.\dot{0}58823529411764\dot{7}$，请计算在填写过程中，数字5出现的次数是多少？
(2)若红色代表0，蓝色代表5，绿色代表8，用这三种颜色填充方格得到“$\dfrac{1}{17}$”的图案. 在图案中，蓝色方格数占总方格数的比例是多少？
3. 根据素材，探究完成任务.
| 活动目标 | 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 |
| --- | --- |
| 素材1 | 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统. 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
十进制数$1024=1×10^3+0×10^2+2×10^1+4$，记作1024；
八进制数$(1024)_8=1×8^3+0×8^2+2×8^1+4$，记作$(1024)_8$；
五进制数$(1024)_5=1×5^3+0×5^2+2×5^1+4$，记作$(1024)_5$；
二进制数$(1011)_2=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1$，记作$(1011)_2$；
十六进制数$(1A2F)_{16}=1×16^3+10×16^2+2×16^1+15$，记作$(1A2F)_{16}$.
（十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这六个数分别用字母A，B，C，D，E，F来表示）
$n$($n≥2$，且$n$为整数)进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将$n$进制数的每个数字，依次乘$n$的相应次幂，相加就可得到与它相等的十进制数. 例如，八进制数$(1024)_8$转化为十进制数为$(1024)_8=1×8^3+0×8^2+2×8^1+4=512+0+16+4=532$. |
| 素材2 | 逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法. 同样地，十进制数转化为八进制数可用除八取余法. 例如：
$46=(101110)_2$ $532=(1024)_8$ |
| 解决问题 |
| 任务1 | (1)将下列进制数转化为十进制数：
①$(1101)_2=$
(2)现有三进制数$a=(221)_3$，二进制数$b=(10111)_2$，试比较$a,b$的大小. |
| 任务2 | (3)十进制数21转化为二进制数得
(4)如何将一个二进制数$(101101)_2$转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法：
第一步：先将二进制数$(101101)_2$转化为十进制数得
第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数得
(1)选用$12×12$的方格纸，按照顺时针方向螺旋排列填写$0.\dot{0}58823529411764\dot{7}$，请计算在填写过程中，数字5出现的次数是多少？
(2)若红色代表0，蓝色代表5，绿色代表8，用这三种颜色填充方格得到“$\dfrac{1}{17}$”的图案. 在图案中，蓝色方格数占总方格数的比例是多少？
3. 根据素材，探究完成任务.
| 活动目标 | 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 |
| --- | --- |
| 素材1 | 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统. 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
十进制数$1024=1×10^3+0×10^2+2×10^1+4$，记作1024；
八进制数$(1024)_8=1×8^3+0×8^2+2×8^1+4$，记作$(1024)_8$；
五进制数$(1024)_5=1×5^3+0×5^2+2×5^1+4$，记作$(1024)_5$；
二进制数$(1011)_2=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1$，记作$(1011)_2$；
十六进制数$(1A2F)_{16}=1×16^3+10×16^2+2×16^1+15$，记作$(1A2F)_{16}$.
（十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这六个数分别用字母A，B，C，D，E，F来表示）
$n$($n≥2$，且$n$为整数)进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将$n$进制数的每个数字，依次乘$n$的相应次幂，相加就可得到与它相等的十进制数. 例如，八进制数$(1024)_8$转化为十进制数为$(1024)_8=1×8^3+0×8^2+2×8^1+4=512+0+16+4=532$. |
| 素材2 | 逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法. 同样地，十进制数转化为八进制数可用除八取余法. 例如：
$46=(101110)_2$ $532=(1024)_8$ |
| 解决问题 |
| 任务1 | (1)将下列进制数转化为十进制数：
①$(1101)_2=$
13
；②$(521)_7=$260
；③$(1B3E)_{16}=$6974
.(2)现有三进制数$a=(221)_3$，二进制数$b=(10111)_2$，试比较$a,b$的大小. |
| 任务2 | (3)十进制数21转化为二进制数得
$(10101)_2$
；十进制数120转化为五进制数得$(440)_5$
.(4)如何将一个二进制数$(101101)_2$转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法：
第一步：先将二进制数$(101101)_2$转化为十进制数得
45
；第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数得
$(2D)_{16}$
. |答案
2. 解:(1)$\frac{1}{17}$的循环节长度是16.
$12×12=144,(144−1)÷16=8……15$,即循环节完整重复8次，
在循环节0588235294117647中，数字5出现了2次，
所以数字5出现的总次数为$8×2+2=18$.
(2)由题意,得蓝色方格数占总方格数的比例为$\frac{18}{144}=\frac{1}{8}$.
3.(1)13 260 6974
(2)解:因为$a=(221)_3=2×3^2+2×3^1+1=25$,
$b=(10111)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1=23,25＞23$,所以$a＞b$.
(3)$(10101)_2$ $(440)_5$
(4)45 $(2D)_{16}$
$12×12=144,(144−1)÷16=8……15$,即循环节完整重复8次，
在循环节0588235294117647中，数字5出现了2次，
所以数字5出现的总次数为$8×2+2=18$.
(2)由题意,得蓝色方格数占总方格数的比例为$\frac{18}{144}=\frac{1}{8}$.
3.(1)13 260 6974
(2)解:因为$a=(221)_3=2×3^2+2×3^1+1=25$,
$b=(10111)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1=23,25＞23$,所以$a＞b$.
(3)$(10101)_2$ $(440)_5$
(4)45 $(2D)_{16}$
解析
【分析】
第2题：首先明确$\frac{1}{17}$的循环节长度为16，$12×12$方格共144个格子，需计算144个位置对应循环节的出现情况：用总格子数减1后除以循环节长度，得到完整循环次数和剩余位数，再结合循环节中数字5的出现次数，计算总次数；第(2)问用蓝色方格数（即5的出现次数）除以总方格数得到比例。
第3题：进制转换核心规则：n进制转十进制是将每一位数字乘以n的对应次幂（从右往左，次幂从0开始）后求和；十进制转其他进制用“除基取余法”，逆序排列余数；二进制转十六进制可先转十进制再转十六进制，按规则计算即可。
【解析】
2. 解：(1) 已知$\frac{1}{17}$的循环节长度为16，$12×12=144$，计算循环节出现情况：
$(144-1)÷16=8······15$，即循环节完整重复8次，剩余15位。
循环节“0588235294117647”中数字5出现2次，因此数字5总次数为$8×2 + 2=18$。
(2) 蓝色方格数为数字5的出现次数18，总方格数144，比例为$\frac{18}{144}=\frac{1}{8}$。
3. 解：(1) 进制数转十进制：
① $(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=8+4+0+1=13$；
② $(521)_7=5×7^2+2×7^1+1×7^0=5×49+14+1=260$；
③ $(1B3E)_{16}=1×16^3+11×16^2+3×16^1+14×16^0=4096+2816+48+14=6974$；
(2) 比较$a=(221)_3$和$b=(10111)_2$：
$a=2×3^2+2×3^1+1×3^0=18+6+1=25$，
$b=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0=16+0+4+2+1=23$，
因为$25＞23$，所以$a＞b$；
(3) 十进制转二进制（除二取余）：
$21÷2=10$余1，$10÷2=5$余0，$5÷2=2$余1，$2÷2=1$余0，$1÷2=0$余1，逆序得$(10101)_2$；
十进制转五进制（除五取余）：
$120÷5=24$余0，$24÷5=4$余4，$4÷5=0$余4，逆序得$(440)_5$；
(4) 二进制转十六进制：
第一步：$(101101)_2=1×2^5+0×2^4+1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=32+0+8+4+0+1=45$；
第二步：$45÷16=2$余13（13对应十六进制的D），得$(2D)_{16}$；
【答案】
2. (1)18；(2)$\frac{1}{8}$
3. (1)①13；②260；③6974；(2)$a＞b$；(3)$(10101)_2$，$(440)_5$；(4)45，$(2D)_{16}$
【知识点】
循环小数的循环节、进制转换
【点评】
本题结合循环小数规律与进制转换知识，需掌握循环节计数方法及不同进制转换规则，题目难度适中，注重基础应用。
【难度系数】
0.6
第2题：首先明确$\frac{1}{17}$的循环节长度为16，$12×12$方格共144个格子，需计算144个位置对应循环节的出现情况：用总格子数减1后除以循环节长度，得到完整循环次数和剩余位数，再结合循环节中数字5的出现次数，计算总次数；第(2)问用蓝色方格数（即5的出现次数）除以总方格数得到比例。
第3题：进制转换核心规则：n进制转十进制是将每一位数字乘以n的对应次幂（从右往左，次幂从0开始）后求和；十进制转其他进制用“除基取余法”，逆序排列余数；二进制转十六进制可先转十进制再转十六进制，按规则计算即可。
【解析】
2. 解：(1) 已知$\frac{1}{17}$的循环节长度为16，$12×12=144$，计算循环节出现情况：
$(144-1)÷16=8······15$，即循环节完整重复8次，剩余15位。
循环节“0588235294117647”中数字5出现2次，因此数字5总次数为$8×2 + 2=18$。
(2) 蓝色方格数为数字5的出现次数18，总方格数144，比例为$\frac{18}{144}=\frac{1}{8}$。
3. 解：(1) 进制数转十进制：
① $(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=8+4+0+1=13$；
② $(521)_7=5×7^2+2×7^1+1×7^0=5×49+14+1=260$；
③ $(1B3E)_{16}=1×16^3+11×16^2+3×16^1+14×16^0=4096+2816+48+14=6974$；
(2) 比较$a=(221)_3$和$b=(10111)_2$：
$a=2×3^2+2×3^1+1×3^0=18+6+1=25$，
$b=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0=16+0+4+2+1=23$，
因为$25＞23$，所以$a＞b$；
(3) 十进制转二进制（除二取余）：
$21÷2=10$余1，$10÷2=5$余0，$5÷2=2$余1，$2÷2=1$余0，$1÷2=0$余1，逆序得$(10101)_2$；
十进制转五进制（除五取余）：
$120÷5=24$余0，$24÷5=4$余4，$4÷5=0$余4，逆序得$(440)_5$；
(4) 二进制转十六进制：
第一步：$(101101)_2=1×2^5+0×2^4+1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=32+0+8+4+0+1=45$；
第二步：$45÷16=2$余13（13对应十六进制的D），得$(2D)_{16}$；
【答案】
2. (1)18；(2)$\frac{1}{8}$
3. (1)①13；②260；③6974；(2)$a＞b$；(3)$(10101)_2$，$(440)_5$；(4)45，$(2D)_{16}$
【知识点】
循环小数的循环节、进制转换
【点评】
本题结合循环小数规律与进制转换知识，需掌握循环节计数方法及不同进制转换规则，题目难度适中，注重基础应用。
【难度系数】
0.6
